杆的拉压超静定问题上课

解平衡方程和补充方程，得: 、温度应力
N1 σ1 = = 66.7MPa A1
N2 σ2 = = 33.3MPa A2
杆的拉压内容复习
一、轴向拉压杆的内力及轴力图 1、轴力的表示? 2、轴力的求法? P 3、轴力的正负规定? 4、轴力图：FN=FN(x)的图象表示? FN P 为什么画轴力图? 应注意什么? + x A B P A 简图 FN C P
三、装配应力 装配产生的拉压超静定问题 拉压超静定问题） （装配产生的拉压超静定问题）
在超静定结构中,有时并无载荷作用,但由 于构件制造不准确,在强行装配后,而在杆中产 生附加内力,象这种附加内力称为装配内力,与 之相应的应力称为装配应力. 如 装配前杆长: l + δ ( δ 是制造误差) 装配后杆长:
§6-2 拉压超静定问题
一、固定端约束的拉压超静定问题 （1）建立静力学平衡方程 ）
R A + RB − P = 0
E1 A1
A
A
ℓ1
E1 A1
ℓ1
(1)
C
C
P
E 2 A2
（2）寻找几何方程 ）
ℓ2
P
E 2 A2
ℓ2
∆ℓ = ∆ℓ AC + ∆ℓ BC = 0
（3）建立物理方程 ）
(2)
B
RB
A
第 六 章 简单的超静定问题
主要内容
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
【基本要求】 基本要求】 • 理解超静定结构中的一些基本概念，即： 静定与超静定、超静定次数、多余约束、 多余约束反力、超静定系统（结构）、基 本静定系（相当系统）等。 • 熟练掌握简单超静定问题的求解方法及解 题步骤 • 掌握温度应力和装配应力的计算方法 • 了解简单超静定问题的特点 【重点】超静定问题的求解方法及解题思路步骤 重点】 难点】 【难点】根据变形协调条件建立变形几何相容方程
N 1
多余约束反力：与多余约束相 应的支反力或内力。如
N1 或
N2
N 2
超静定次数：所有未知约束反力和内力的总数 超静定次数 与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。 也等于多余约束或多余支反力的数目。 基本静定系（相当系统） 基本静定系（相当系统）：解除超静定结构的 某些约束后，用多余约束力代替多余约束的静 定系统 变形协调条件: 变形协调条件: 相当系统在多余未知约束反力作用处相应的位 移应满足原超静定结构的约束条件
N2
∆L2
∆L3
A1
∆L1
N1
β β
A
、补充方程
N1L1 N 3 L3 + ∆Tα1L1 = ( + ∆Tα 3 L3 ) cos β E1 A1 E3 A3
解平衡方程和补充方程，得:
B 3 1
D
C 2
β β
A
E1 A1 (α1 − α3 cos2 β )∆T N1 = N2 = − 1 + 2 cos3 β E1 A1 / E3 A3
∆L2
∆L3
A1
∆L1
2E1 A1 (α1 − α3 cos2 β )∆T cos β N3 = 1 + 2 cos3 β E1 A1 / E3 A3
思考： 思考： 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃ 时被固定,杆的上下两段的面积分别 a
Α1=5cm2 ， Α2=10cm2，当温度升至T2
=25℃时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数α =12.5× 10−6 1 弹性模量E=200GPa)
§6-1 超静定问题及其解法
一.基本概念 超静定问题：用静力学平衡方程无法确定全部约 超静定问题 束力和内力的问题。如
N 1
N 3
N 1
P
N 2
未知力数: 2 未知力数 平衡方程数: 平衡方程数 1
P
N2
都无法定Ni
未知力数: 未知力数 3 平衡方程数: 平衡方程数 2
静定问题：其全部约束反力与内力都可由静 力平衡方程求出的问题。 多余约束：多于维持平衡所必须的支座或杆 件,称为多余约束。如上端或下端
[ F m ≤ Aσ ] ; N ax
[F] = f (F max ) N
四、拉压杆的变形及应变 1、等内力拉压杆的弹性定律 F 2、变内力拉压杆的弹性定律 FN(x) x dx F
图示杆的A、B、C、D点分别作用着5P、8P、4P、P的力，方 向如图，试画出杆的轴力图。
O
A 5P 8P
B 5P
C 4P
D P
FN 2P
P x –3P
二、拉压杆的应力 1、横截面上的应力:
P
σ
N(x)
σ=
F (x) N A
2、拉压杆斜截面上的应力
α
α
x
σ0 σ α α = 2 (1+cos2 ) α = σ0 sin 2 τ α 2
1 2
α α
A P
∑Y = N cosα + N
α α
A P N2
cosα + N 3 − P = 0
B 3 1
D
C 2
几何方程——变形协调方程：
∆ L1 = ∆ L 3 cos α
α α
A
物理方程——弹性定律：
∆ L1 = N 1 L1 E 1 A1 ∆ L3 = N 3 L3 E 3 A3
∆L2
1 2
、几何方程 A1
(δ − ∆ L3 ) cos α = ∆ L1
α N2
A1
∆L1 ∆L2
δ
A
N3 N1 α
、物理方程及补充方程：
α N2
A1
N1L1 N 3 L3 = (δ − ) cos α E1 A1 E3 A3
、解平衡方程和补充方程，得:
∆L3 A 1
δ
∆L1
A
E1 A1 cos2 α N1 = N 2 = ⋅ L3 1 + 2 cos3 α E1 A1 / E3 A3
N(l +δ) Nl ≈ 产生杆端压力 N ,显然有: δ = EA EA
l
(∵l ≫δ)
∴
N E σ= = δ A l
这就是装配应力
三、装配应力——预应力 装配应力 预应力 装配产生的拉压超静定问题 拉压超静定问题） （装配产生的拉压超静定问题）
B C
1、静定结构无装配应力 、
1 A 3 D 2 2
δ
∆L2
2 E1 A1 cos3 α N3 = ⋅ L3 1 + 2 cos3 α E1 A1 / E3 A3
δ
思考: 思考: 不计自重的刚架挂在三根平行的金属杆上
,杆间距为a,横截面面积为A,弹性模量均为E,杆长 杆间距为a,横截面面积为A,弹性模量均为E,杆长 a,横截面面积为A,弹性模量均为E, 杆短了δ 计算安装后各杆的内力。 为L, 2 杆短了δ。试：计算安装后各杆的内力。
解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。 解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。
同学思考
A l
EA
F1
l
F2
l
B
二、铰链约束的拉压超静定问题 列出求解图示静不定结构的静力学平衡方程、几何方程 和物理方程。 3 解： 1）静力学平衡方程 ） a A F
N3
∆ℓ 3
∆ℓ 2
2 a
1 L B
∑ Fy = 0 : N 1 + N 2 + N 3 = P ∑ M A = o : N 1 × 2a + N 2 × a = 0
R A ℓ 1 RB ℓ 2 − =0 E1 A1 E 2 A2
(4)
）、（4）， （5）联立方程（1）、（ ），即可求解未知力 ）联立方程（ ）、（ ），即可求解未知力
PE1 A1ℓ 2 R1 = E A ℓ + E A ℓ 1 1 2 2 2 1 PE 2 A2 ℓ 1 R = 2 E1 A1ℓ 2 + E 2 A2 ℓ 1
a
C；
N1 解： 、平衡方程：
∑Y = N − N
1
2
=0
a
、几何方程： a
∆L = ∆LT − ∆LN = 0
N2
、物理方程
∆ LT = 2 a ∆ Tα ;
、补充方程
N 1a N 2 a ∆ LN = + EA1 EA2
N1 N2 2∆Tα = + EA1 EA2
N1 = N2 = 33.3kN
二.超静定问题的求解方法
——解除多余约束，建立相当系统 解除多余约束， 解除多余约束 ——比较变形 比较相当系统与原超静定结构在多 比较变形(比较相当系统与原超静定结构在多 比较变形 比较相当 余约束处的变形) 余约束处的变形 ——列变形协调条件 得变形几何方程 列变形协调条件,得变形几何方程 列变形协调条件 ——将变形与力 力偶 之间的物理关系带入变形几 将变形与力(力偶 将变形与力 力偶)之间的物理关系带入变形 何方程得到补充方程 ——与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知量 与静力平衡方程联立求解， 与静力平衡方程联立求解
，
l
温度升高 ∆T ，长为百度文库l + ∆lt ,
∆lt = αtl∆T
(αt为热膨胀系数)
此时杆能自由伸长,杆内没有应力
管道通过高温蒸汽时，管道温度增加∆ 例6-4: 管道通过高温蒸汽时，管道温度增加∆T， 当管道受热膨胀时， 当管道受热膨胀时，两端阻碍它自由伸展即有约束 反力R 两约束反力。 反力RA,RB。求：两约束反力。
B 1
α α
C
2、静不定结构存在装配应力 、
A1 A
δ
例题6-3： 如图，3号杆的尺寸误差 为δ，求各杆的装配内力
B 1 3 D 2 解： 、平衡方程: C
α α
A1 A N3 N1 α
δ
∆L3
∑ X = N sin α − N sin α = 0 ∑Y = N1 cosα + N2 cosα − N3 = 0
解：
L
高温蒸 汽锅炉
R A
原 动 机
R B
∑X =0⇒ RA = RB
∆ t =α×∆ ×L L T
R ×L ∆ = A L E A
∆ t =∆ 变形几何方程 L L
∆L
RA = RB =α⋅∆T ⋅ EA
思考：
B 3 1 D C 2
如图，1、2号杆的尺寸及材料都相 同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆 的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别 为αi ; △T= T2 -T1)
(1)
∆3 L
( 3)
( 2)
解：
Y ∑ =0 ∑M =0
B
∆1 L
δ
−N −N2 + N3 =0 N1 = N2 1
∆2 L
变形几何方程
N1
N3
N2
∆ 3 =δ −∆ 1 L L
五.温度应力 没有载荷作用,只是由于温度变化,而在在超 静定结构中引起的应力,称为温度应力. 在静定结构中,不存在温度应力.如左图的杆 温度为 T 时，长为
思考： 思考：
设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：
L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。 解： 、平衡方程: B 3 1 D C 2 N3 N1
∑X
= N 1 sin α − N 2 sin α = 0
E1 A1
B
RA
R Aℓ 1 ∆ ℓ AC = E A 1 1 (3) − RBℓ 2 ∆ℓ ( R B引起的轴力为压力 BC = E 2 A2
ℓ1
C
)
P
E 2 A2
ℓ2
B
RB
（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调 ） 条件（或称相容方程、补充方程） 条件（或称相容方程、补充方程）
三、强度设计准则（Strength Design Criterion）： 强度设计准则（ ）： 1、强度设计准则? 、强度设计准则?
F (x) σ m = m ( N ) ≤[σ ] ax ax A x) (
校核强度：
σm ≤[σ ] ax
A in ≥ m Fm N ax
设计截面尺寸：
[σ ]
设计载荷：
∆L3
A1
∆L1
补充方程：由几何方程和物理方程得。
N 1 L1 N 3L3 = cos α E 1 A1 E 3 A3
解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:
E1 A1P cos2 α E3 A3 P N1 = N 2 = ; N3 = 3 2 E1 A1 cos α + E3 A3 2 E1 A1 cos3 α + E3 A3
2）几何方程 ）
∆ℓ 2 − ∆ℓ 1 a 1 = = ∆ℓ 3 − ∆ℓ 1 2a 2
刚体
N2
N1
∆ℓ 1
∴ ∆ℓ 1 + ∆ℓ 3 = 2∆ℓ 2
F
总结： 总结：拉压超静定问题求解具体方法 关键：变形分析——变形协调方程 关键 具体解题步骤： 具体解题步骤 • 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超 静定次数 • 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几 何方程 • 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补 充方程 • 联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力
β β
A
∆L2
∆L3
A1
∆L1
解： 、平衡方程:
∑X = N sin β − N sin β = 0
1 2
∑Y = N cosβ + N cosβ + N
1 2
3
=0
、几何方程 B 3 1 D C 2 N3 、物理方程：
∆ L1 = ∆ L3 cos β
β β
A
Ni Li ∆Li = + ∆Tαi Li Ei Ai