高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.2知识点总结含同步练习及答案

− |3 × 0 &#+ 12 − |AB| − − − − − − √− 10 设直线 l 与圆 C 的交点为 A 、B ，则 ． = √r2 − d 2 = 2 2 − |AB| = √−
为 √5 ，点 (0, 1) 到直线 l 的距离为 d =
可知 Δ = 4m(3m + 4)．
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 Δ > 0 ，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 Δ < 0 ，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
当 Δ = 0 ，即 m = 0 或 m = −
2.圆的切线 描述： 圆的切线长 过圆外一点P (x 0 , y 0 ) 向圆 M 作两条切线，其中圆心 M 的坐标为 (a, b) ，如图，
切：d = r；直线与圆相离：d > r． 2. 代数法：把直线的方程与圆的方程联立，得方程组，消去 y 或 x 整理得到关于 x 或 y 的一 元二次方程，其判别式为Δ ，直线与圆相交：Δ > 0 ；直线与圆相切：Δ = 0 ；直线与圆 相离：Δ < 0 ． 例题： 当 m 为何值时，直线 mx − y − m − 1 = 0 与圆 x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 相交？相切？相 离？ 解：法一：（几何法） 由已知，得圆心坐标为 (2, 1)，半径 r = 2，圆心 (2, 1) 到直线 mx − y − m − 1 = 0 的距离
解得 A(
4.圆与圆的位置关系 描述： 圆与圆的位置关系
平面上两圆的位置关系有五种：
判断两圆的位置关系 判断圆C1 ：(x − a1 )2 + (y − b 1 )2 = r2 与圆C2 ：(x − a2 )2 + (y − b 2 )2 = r2 的位置关系，主要 1 2 有两种方法： ①几何法：比较圆心距与两圆半径的关系，设两圆的圆心距为d ， 当d > r1 + r2 时，两圆外离； 当d = r1 + r2 时，两圆外切； 当|r1 − r2 | < d < r1 + r2 时，两圆相交； 当d = |r1 − r2 | 时，两圆内切； 当0 ≤ d < |r1 − r2 | 时，两圆内含． ②代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 圆 C1 的方程与圆 C2 的方程联立，消去 x 或 y 得到关于y 或关于x的一元二次方程， 当Δ > 0 ⇒ 两圆相交； 当Δ = 0 ⇒ 两圆内切或外切； 当Δ < 0 ⇒ 两圆外离或内含． 例题： a 为何值时，两圆 C1 ：x 2 + y 2 − 2ax + 4y + a2 − 5 = 0 和C2 ： x2 + y 2 + 2x − 2ay + a2 − 3 = 0 ． （1）外切；（2）相交；（3）外离． 解：将两圆方程写成标准方程，
y0 − b ，又切线与直线 l 1 垂直，故可求出切线的斜率，利用点斜 x0 − a
直，可知所求切线的斜率为 −1． 由直线的点斜式方程得所求切线的方程为 y − 3 = −(x − 2)，即 x + y − 5 = 0．
3−2 = 1 ，因所求切线与直线 CP 垂 2−1
求过点 P (3, 2) 的圆 x 2 + y 2 = 9 的切线方程． 解：当切线斜率存在时，设所求切线的方程为 y − 2 = k(x − 3)，即 kx − y + 2 − 3k = 0．又圆
法三：（几何法） 由
1 = 0, { x2+ y − 2 x + y = 8, − 1 − √− − − 1 + √− − 1 + √− 1 − √− 15 15 15 15 , )，B( , )． 2 − 2 2 2− − − − −− − −− − − −− − −− − − −− − −− − − −− − −− − −− − − −− − −− − − − − − 2 − − − − 2 1 − √− 1 + 1 + 1 − 15 √ 15 √ 15 √ 15 − − 所以 |AB| = ( − ) +( − ) = √30 ． ⎷ 2 2 2 2
心为 O(0, 0)，半径 r = 3，而圆心到切线的距离为 d = 过直线 x − y + 4 = 0 上任意一点 P (x, y) 向圆 x2 + y 2 = 1 引切线，求切线长的最小值． 解：如图，过圆 O 点向直线 x − y + 4 = 0 引垂线，垂足为 P ，过 P 作圆 x2 + y 2 = 1 的 一条切线 P A ，A 为切点，此时 P 点是直线上所有点中到 O 点的距离最小的点，又
2 2 2 2 2
4 |P A| = |P O| − |AO| ，|OA| = 1 ，所以 |P A| = ( ) − 1 = 7．所以 |P A| = √7 ，故 √2 切线长的最小值为 √7 ．
√
3.直线被圆截得的弦长 描述： 设直线与圆交于A(x 1 , y 1 )、B(x 2 , y 2 ) 两点，弦长为|AB|
其中，圆的弦长问题，常用几何法，后两种方法较为复杂，一般不用；但是在圆锥曲线学 习中，弦长公式运用较广，也同样需要掌握． 例题： 求直线 l ：3x + y − 6 = 0 被圆 C ：x2 + y 2 − 2y − 4 = 0 截得的弦长． 解：法一：圆 C ：x 2 + y 2 − 2y − 4 = 0 可化为 x2 + (y − 1)2 = 5，圆心坐标为 (0, 1)，半径
1. 几何法：直线被圆截得的半弦长
2. 将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间距离公式 3. 弦长公式：
− − − − − − l = 2√r2 − d 2 ．
l l 、弦心距 d 和圆的半径 r 满足r2 = ( )2 + d 2 ．所以 2 2
− − − −− − − − − − − − − − − − − − − |AB| = √(x1 − x2 )2 + (y 1 − y 2 )2 求解；
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − 1 2 2 |AB| = √1 + k ⋅ √(x1 + x2 ) − 4x1 x2 = √1 + ⋅ √(y 1 + y 2 )2 − 4y 1 y 2 ． k2 将直线方程与圆的方程联立消去 y 或 x ，得关于 x 或 y 的一元二次方程，然后求出两根之 和，两根之积，最后将其代入弦长公式，其中，k 为直线AB 的斜率．
| − 1|
=
√2 ，则有 2
1 = 0, { x2+ y − 2 x + y = 8,
消去 y ，得 2x 2 − 2x − 7 = 0． 设 A(x 1 , y 1 )，B(x 2 , y 2 ) ，所以 x1 + x2 = 1 ，x1 x2 = − 所以
7 ． 2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − |AB| = √1 + k2 √(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 − −− − − − − − . 7 − − − = √− 1− + 1 ⋅ √1 2 + 4 ⋅ = √− 30 2
|aA + bB + C | − − − − − − − ，直线与圆相交：d < r；直线与圆相 √A 2 + B 2
d=
当 d = 2，即 m = 0 或 m = −
|2m − 1 − m − 1| |m − 2| = − − − − − − − − − − − −. √1 + m 2 √1 + m 2
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− − −− − |P M | = √(x0 − a)2 + (y 0 − b)2 ，切线长|P H | = √|P M | 2 − r2 ．
√
√
圆的切线方程 1. 过圆外一点 P (x 0 , y 0 ) 的圆的切线方程：设切线方程为 y − y 0 = k(x − x0 )，与圆的方程 联立，根据 Δ 即可求出 k 的值；也可根据圆心到直线的距离等于半径求出 k 的值．特别要 注意若解出一个 k ，则还有一条斜率不存在的直线． 2. 过圆(x − a)2 + (y − b)2 = r2 上一点P (x0 , y 0 ) 的切线方程：过圆心和点 P (x0 , y 0 ) 的直 线 l 1 的斜率为 k1 = 式即可求得切线方程． 结论：过圆 (x − a)2 + (y − b)2 = r2 上一点 P (x0 , y 0 ) 的切线方程是 (x0 − a)(x − a) + (y 0 − b)(y − b) = r2． 例题： 已知圆 C ：(x − 1)2 + (y − 2)2 = 2，求过点 P (2, 3) 的圆的切线方程． 解：因为 (2 − 1)2 + (3 − 2)2 = 2，所以点 P 在圆 C 上． 由圆的方程可得圆心 C (1, 2) ，由斜率公式得 KCP =
高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系
一、学习任务 能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位 置关系（外离、外切、相交、内切、内含）；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；体会用 代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一，初步掌握数形结合的思想方 法在研究数学问题中的应用． 二、知识清单
√2 − − − − − − − − − − − 1 −． |AB| = 2√r2 − d 2 = 2√8 − = √− 30 2 由题意知直线 l 的方程为 y − 2 = −(x + 1)，即 x + y − 1 = 0．
法二：（弦长公式） 由题意知直线 l 的方程为 y − 2 = −(x + 1)，即 x + y − 1 = 0． 由
| − 3k + 2| − − − − − = 3 ，即 √k 2 + 1 − − − − − 5 5 5 ，所以方程为 − |3k − 2| = 3√k2 + 1 ，所以 k = − x−y+2+3× = 0，即 12 12 12 5x + 12y − 39 = 0． 当切线斜率不存在时，方程为x = 3，可知圆心到直线的距离为 3 ，所以 x = 3 也为圆的切线． 故所求切线方程为 x = 3 或 5x + 12y − 39 = 0．
4 时，直线与圆相切； 3 4 当 d < 2，即 m > 0 或 m < − 时，直线与圆相交； 3 4 当 d > 2，即 − < m < 0 时，直线与圆相离． 3
法二：（代数法） 将 y = mx − m − 1 代入圆的方程，化简并整理，得
(1 + m 2 )x2 − 2(m 2 + 2m + 2)x + m 2 + 4m + 4 = 0.
直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆的切线 圆与圆的公共弦 直线被圆截得的弦长
三、知识讲解
1.直线与圆的位置关系 描述： 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆相交，有两个公共点；
2. 直线与圆相切，有一个公共点；
3. 直线与圆相离，没有公共点．
判断直线与圆的位置关系 1. 几何法：直线 l ：Ax + By + C = 0(A 2 + B 2 ≠ 0) ，以 O(a, b) 为圆心，以 r 为半径的 圆，圆心O 到直线 l 的距离 d =
−． 所以弦长 |AB| = √− 10 法二：联立直线 l 、圆 C 的方程，得
2
2
+ y − 6 = 0, { 3x 解得 { x 1 = 1, { x2 = 2, 2 2 y 1 = 3, y 2 = 0. x + y − 2y − 4 = 0,
则直线 l 与圆 C 的交点的坐标为 A(1, 3)，B(2, 0)． −． 直线 l ：3x + y − 6 = 0 被圆 x 2 + y 2 − 2y − 4 = 0 截得的弦长 |AB| = √− 10 过圆 x 2 + y 2 = 8 内的点 P (−1, 2) 作直线 l 交圆于 A 、B 两点，若直线 l 的倾斜角为 135 ∘ ，求弦 AB 的长． 解：法一：（直接法） 由题意知直线 l 的方程为 y − 2 = −(x + 1)，即 x + y − 1 = 0． 圆心 O(0, 0) 到直线 l 的距离是 d =