2019-2020学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列函数完全相同的是( )
A. f(x)=|x|，g(x)=(√x)2
B. f(x)=x 2
−9
x−3
，g(x)=x +3 C. f(x)=|x|，g(x)=x 2
x
D. f(x)=|x|，g(x)=√x 2
2. 已知集合A ={x|x 2−3x −4>0}，B ={x|x >1}，则∁R A ∩B =( )
A. φ
B. (0,4]
C. (1,4]
D. (4,+∞) 3. 已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r =20cm ，则扇形的弧长为( )
A. 1080cm
B. 3πcm
C. 6πcm
D. 540cm 4. 若函数f(x)的定义域是[−1,4]，则y =f(2x −1)的定义域是( )
A. [0,5
2] B. [−1,4]
C. [−5,5]
D. [−3,7]
5. 函数f(x)=ln(4+3x −x 2)的单调递减区间是( )
A. (−∞,32]
B. [3
2,+∞) C. (−1,3
2] D. [3
2,4)
6. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 3
4
(log 34)，则( ) A. a <b <c
B. a <c <b
C. c <a <b
D. c <b <a
7. 已知f(x)=ax 2−x −c ，不等式f(x)>0的解集为{x|−2<x <1}，则函数y =f(−x)的图象
为( )
A.
B.
C.
D.
8. 若函数f(x)=log 3x −1
x+1的零点为x 0，则x 0属于( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,5
2) D. (5
2,3)
9. 已知函数f(x)=2x 2−ax −1，在[−1,2]上单调，则实数a 的取值范围是( )．
A. [−4,8]
B. (−∞,−4]
C. [8,+∞]
D. (−∞,−4]∪[8,+∞)
10. 设f(x)=ax 2+bx +2是定义在[1+a,1]上的偶函数，则a +2b =( )
A. 0
B. 2
C. −2
D. 1
2
11. 已知函数f(x)=x −2−x ，且f(m 2)<f(m)，则实数m 的取值范围是( )
A.
B.
C. (0,1)
D.
12. 下列函数满足“对∀x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2时恒有
f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1
<0”的是( )
A. f(x)=1
x B. f(x)=(x −1)2 C. f(x)=e x
D. f(x)=ln(x +1)
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 若函数f(x)=log a x 的图像经过点(2,1)，则f (1
2)=_______________． 14. 已知角θ满足sinθ
tanθ>0且cosθ⋅tanθ<0，则角θ的终边在第______象限．
15. 若f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，且在(−1,1)上是增函数，则不等式f(1−x)+f(1−2x)<0
的解集为______ ．
16. 若函数f(x)={2x −a ,x ≤0lnx, x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 已知角θ的终边经过点P(3t,−4t)，t ≠0，求sinθ，cosθ，tanθ
18. 已知集合A ={x|−3≤x ≤3}，B ={x|x >2}．
(1)求(∁R B)∩A ；
(2)设集合M ={x|x ≤a +6}，且A ⊆M ，求实数a 的取值范围．
19. 已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m −1．
(1)如果函数f(x)的一个零点为0，求m的值．
(2)当函数f(x)有两个零点时，求m的取值范围．
(3)当函数f(x)有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求m的取值范围．20.已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]=9x+4，求函数f(x)的解析式．
)=1；
21.已知函数y=f(x)(x>0)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，当x<1时f(x)>0，且f(1
2
(1)证明：y=f(x)是(x>0)上的减函数；
)−2．
(2)解不等式f(x−3)>f(1
x
22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b
是奇函数．
2x+1+a
(1)求a，b的值；
(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；
(3)若对任意的θ∈[0,π
2]，f(cos2θ+λsinθ+2)+1
6
<0恒成立，求实数λ的取值范围
23.(1)已知x>3，求y=x+4
x−3
的最小值，并求取到最小值时x的值；
(2)已知x>0，y>0，x
2+y
3
=2，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
【分析】
本题考查函数的相等关系．正确掌握判断函数相等的方法是解题关键．函数相等，必须三要素相同．属于基础题．
判断两个函数是否相同，看它们的三要素是否相同即可．
【解答】
解：A．g(x)=(√x)2=x，x≥0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
=x+3，x≠3，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
B.f(x)=x2−9
x−3
=x，x≠0，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数．
C.g(x)=x2
x
D.g(x)=√x2=|x|，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数，
故选D．
2.答案：C
解析：解：A={x|x<−1，或x>4}；
∴∁R A={x|−1≤x≤4}；
∴∁R A∩B=(1,4]．
故选：C．
可求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．
考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．
3.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查求扇形弧长的知识，属于基础题．
由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值．
【解答】
解：∵一扇形的弧所对的圆心角为54∘，半径r=20cm，
π⋅20=6π(cm)，
则扇形的弧长l=α⋅r=54
180
故选C．
解析：∵函数f(x)的定义域是[−1,4]，∴函数y =f(2x −1)的定义域满足−1≤2x −1≤4，∴0≤x ≤5
2， ∴y =f(2x −1)的定义域是[0,5
2]．
5.答案：D
解析：解：要使函数有意义，则4+3x −x 2>0，即x 2−3x −4<0解得−1<x <4， 设t =4+3x −x 2，则函数t 在(−1,3
2]上单调递增，在[3
2,4)上单调递减． 因为函数y =lnt ，在定义域上为增函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[3
2,4)． 故选：D
求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．
6.答案：C
解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 3
4
(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．
利用指数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.答案：B
解析：
【分析】 本题考查二次函数的性质，属于基础题．
根据不等式f(x)>0的解法，利用根与系数的关系求得a ，c ，从而可得f(−x)，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：由根与系数的关系知1
a =−2+1，−c
a =−2， 得a =−1，c =−2，
所以f(−x)=−x 2+x +2=−(x −12)2
+94，图象开口向下，顶点坐标为(12,9
4)，
故选B ．
解析：
【分析】
本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
根据函数的零点存在性定理判断即可．
【解答】
解：因为函数f(x)=log3x−1
x+1
，
所以f(x)是增函数，f(1)=−1
2
<0，
，
f(1)f(2)<0，
则x0属于(1,2)．
故选B．
9.答案：D
解析：
【分析】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．结合二次函数的图象与性质以及f(x)在区间[−1,2]上单调，可得a的取值范围．
【解答】
解：∵函数f(x)=2x2−ax−1的图象是开口朝上，且以直线x=a
4
为对称轴的抛物线，
且f(x)在区间[−1,2]上单调，
∴a
4≤−1或a
4
≥2，
解得：a∈(−∞,−4]∪[8,+∞)，
故选D．
10.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键．根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．比较基础．
【解答】
解：∵f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数，
∴f(−x)=f(x)且1+a+1=0，
∴ax2−bx+2=ax2+bx+2，且a=−2，
则得b=0，a=−2，
∴a+2b=−2．
故选：C．
11.答案：C
解析：
【分析】
本题考查复合函数的单调性，属于基础题．
根据题意得出函数f(x)=x−2−x在R上单调递增是解题的关键．
【解答】
解：由题意，∵函数y=x和函数y=−2−x在R上单调递增，
根据复合函数单调性的性质可知，函数函数f(x)=x−2−x在R上单调递增，
∴f(m2)<f(m)⇔m2<m⇔m(m−1)<0，解得0<m<1．
故选C．
12.答案：A
解析：
【分析】
本题考查了函数的单调性，根据已知条件可以得到函数f(x)在区间(0,+∞)上为减函数，故根据函数性质逐项判断即可．
【解答】
解：A中函数在(0,+∞)上为减函数，符合，
B中函数在(0,1)上为减函数，(1,+∞)上为增函数，不符合，
C中函数在(0,+∞)上为增函数，不符合，
D中函数在(0,+∞)上为增函数，不符合，
故选A．
13.答案：−1
解析：
【分析】
本题考查对数函数及其性质．
将点(2,1)代入解a ，再求f (1
2)即可． 【解答】
解：因为log a 2=1， 所以a =2，
所以f (1
2)=log21
2=−1． 故答案为−1．
14.答案：四
解析： 【分析】
本题考查三角函数在象限内的符号，属于基础题． 【解答】
解：角θ满足sinθ
tanθ>0，即同号，所以角θ的终边在一，四象限， cosθ⋅tanθ<0，即
异号，所以角θ的终边在三，四象限，
综上得角θ的终边在四象限． 故答案为四．
15.答案：(2
3,1)
解析： 【分析】
利用函数为奇函数，f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)，根据f(x)在(−1,1)上是增函数，可得不等式组，由此即可求得结论．
本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】
解：∵f(x)是奇函数，∴−f(x)=f(−x)，
∴f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)， ∵f(x)在(−1,1)上是增函数， ∴{−1<1−x <1
−1<1−2x <11−x <−1+2x ， ∴2
3<x <1，
∴不等式f(1−x)+f(1−2x)<0的解集为(2
3,1)， 故答案为(2
3,1).
16.答案：(0,1]
解析：解：当x>0时，由f(x)=lnx=0，得x=1．
∵函数f(x)有两个不同的零点，
∴当x≤0时，函数f(x)=2x−a还有一个零点，
令f(x)=0得a=2x，
∵0<2x≤20=1，∴0<a≤1，
∴实数a的取值范围是0<a≤1．
故答案为：(0,1]．
由f(x)=lnx=0，得x=1.由题意得，当x≤0时，函数f(x)=2x−a还有一个零点，运用指数函数的单调性，即可求出a的取值范围．
本题考查指数函数的单调性和运用，考查对数的性质及应用，函数的零点问题，属于基础题．17.答案：解：由题意可得x=3t，y=4t，得r=√(3t)2+(4t)2=5|t|．
当t>0时，r=5t.因此sinθ=−4
5,cosθ=3
5
,tanθ=−4
3
；
当t<0时，r=−5t.因此sinθ=4
5,cosθ=−3
5
,tanθ=−4
3
．
解析：由题意可得x=3t，y=4t，得r=√(3t)2+(4t)2=5|t|，再利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得sinθ，cosθ，tanθ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
18.答案：解：(1)∵B={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}，
∵集合A={x|−3≤x≤3}，∴(∁R B)∩A={x|−3≤x≤2}，
(2)∵集合M={x|x≤a+6}，且A⊆M，
∴a+6≥3，解得a≥−3，
∴实数a的取值范围是[−3,+∞)．
解析：(1)由题意和补集的运算求出∁R B，由交集的运算求出(∁R B)∩A；
(2)由题意和子集的定义列出不等式，求出实数a的取值范围．
本题考查交、并、补集的混合运算，以及子集的定义，属于基础题．
19.答案：解：(1)由f(0)=2m−1=0，得m=1
2
．
(2)因为函数f(x)有两个零点，
所以方程f(x)=0有两个不相等的实数根，
所以2(m+1)≠0，Δ=16m2−4×2(m+1)(2m−1)>0．
解得m ≠−1且m <1．
故m 的取值范围为{m|m <1且m ≠1}．
(3)当f (x )有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，
有{2(m +1)>0,f (1)<0
或{2(m +1)<0,f (1)>0, 解得−1<m <−18．
故m 的取值范围为{m |−1<m <−18}．
解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系．
由条件利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得m 的范围．
20.答案：解：设f(x)=ax +b ，a 、b ∈R ，
则f[f(x)]=f[ax +b]=a(ax +b)+b
即a 2x +ab +b =9x +4，
∴{a 2=9ab +b =4
； 解得{a =3b =1，或{a =−3b =−2
； ∴f(x)=3x +1或f(x)=−3x −2．
解析：根据题意，设f(x)=ax +b ，代入f[f(x)]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a 、b 的值即可．
本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是基础题．
21.答案：(1)证明：设0<x 1<x 2，则0<x 1x 2<1，
由题意f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2⋅x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)+f(x 2)−f(x 2)=f(x
1x 2)>0， 则f(x 1)>f(x 2)，
∴y =f(x)是(x >0)上的减函数；
(2)由函数的定义域知：{x −3>01x
>0，解得x >3；
又∵f(12)=1，
∴f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=1+1=2，
由f(x −3)>f(1x )−2.得f(x −3)+2>f(1x )，
即f(x −3)+f(14)>f(1x )，
即f(x−34)>f(1x
)， 由(2)得x−34<1x ， 解得−1<x <4，
综上知3<x <4为所求．
解析：(1)根据函数单调性的定义即可证明y =f(x)是(x >0)上的减函数；
(2)根据抽象函数的关系将不等式进行转化，结合函数的单调性即可解不等式f(x −3)>f(1x )−2． 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性的定义以及根据函数单调性的关系是解决本题的关键． 22.答案：解：(1)由题意，定义域为R 的函数f(x)=−2x +b 2x+1+a 是奇函数．
得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，
∴b =1，a =2，
那么f(x)=1−2x 2x+1+2
， 由f(−x)=1−1
2x
21−x +2=2x −1
2x
22x +2=2x −12+2x+1=−f(x)，
故得b =1，a =2；
(2)由(1)可得f(x)=1−2x 2x+1+2=1−2x 2(2x +1)=
−(2x +1)+22(2x +1)=−12+1
2x +1， 设x 1<x 2，
则f(x 2)−f(x 1)=12x 2+1−12x 1+1=2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，
∵x 1<x 2，
∴2x 1−2x 2<0
则f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1)；
∴函数f(x)在R 上是减函数；
(3)由f(cos 2θ+λsinθ+2)+16<0，即f(cos 2θ+λsinθ+2)<−16，
∵f(1)=−16
，f(x)在R 上是减函数； ∴cos 2θ+λsinθ+2>1，θ∈[0,π2]，
即2−sin 2θ+λsinθ>0，θ∈[0,π2]恒成立，
设sinθ=t ，(0≤t ≤1)，
∴2−t 2+λt >0，
当t =0时，2>0恒成立，
当0<t≤1时，转化为λ≥t−2
t
，
∵函数y=t−2
t
在(0,1]递增，
∴λ≥1−2
1
，
即λ≥−1；
故得实数λ的取值范围[−1,+∞)．
解析：本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．
(1)根据f(0)=0，f(−1)=−f(1)即可求解a，b的值；
(2)分离常数，利用定义即可证明
(3)利用奇函数和减函数；脱去“f”，即可求解；
23.答案：(1)解：已知x>3，
则：x−3>0，
故：y=x+4
x−3=x−3+4
x−3
+3≥2√(x−3)4
(x−3)
+3=7，
当且仅当：x−3=4
x−3
，
解得：x=5，
即：当x=5时，y的最小值为7;
(2)解：已知x>0，y>0，x
2+y
3
=2，
则：x
2+y
3
≥2√xy
6
，
解得：xy≤6，
当且仅当x
2=y
3
=1，即x=2，y=3时，xy的最大值为6．
解析：(1)本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果;
(2)本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．。