2019-2020学年人教A版河北省石家庄二中高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．设集合，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）
A．B．[0，2] C．D．
2．设a＝log30.6，b＝30.6，c＝0.63，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
3．函数f（x）＝lg（x2﹣1）的单调递减区间为（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
4．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．19 B．3 C．﹣1 D．﹣17
5．设tan160°＝k，则sin160°＝（）
A．B．C．D．
6．已知，ln（1+cosα）＝s，，则ln sinα＝（）A．s﹣t B．s+t C．D．
7．设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零常数，且满足，则f（2020）＝（）
A．B．C．D．
8．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝g（x）图象，则函数y＝g（x）（）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
9．设函数f（x）＝，则满足f（x）﹣f（﹣x）＞0的x的取值范围为（）A．B．
C．D．
10．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣2x（x+2）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．
（二）多项选择题：共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
11．已知定义在区间[﹣π，π]的函数f（x）＝cos x﹣x2，则下列条件中能使f（x1）＜f （x2）恒成立的有（）
A．﹣π≤x1＜x2≤0 B．0≤x1＜x2≤πC．|x1|＞|x2| D．x12＜x22
12．已知，若sin2θ＝m，cos2θ＝n且m≠n，则下列选项中与恒相等的有（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数为奇函数，则实数a的值为；
14．已知向量，夹角为30°，且，，则＝；
15．若在区间[﹣a，a]上是增函数，则正实数a的最大值为；16．已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，，，则的值为．
三、解答题
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|2≤x≤4}．
（1）求A∩（∁U B）；
（2）若集合C＝{x|a≤x≤4a，a＞0}，满足C∪A＝A，C∩B＝B，求实数a的取值范围．18．已知函数，x∈R．
（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（2）求时，函数y＝f（x）的值域．
19．已知向量，，．（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且，求sinα．
20．已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）若方程f（x）＝1+log a x有两个不等实根，求实数a的取值范围．
21．经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度y1与时间t满足关系式：y1＝4﹣t（0≤t≤4），服用药物N后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度y2与时间t满足关系式：y2＝．现假定某患者餐后立刻服用药物N，且血液中微量元素总浓度y等于y1与y2的和．
（1）求4小时内血液中微量元素总浓度y的最高值；
（2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案．请你判断是否需要调整治疗方案．
22．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．（1）求x＞0时，f（x）的解析式；
（2）设x∈[1，2]时，函数g（x）＝2f（x）+m•2x﹣2m，是否存在实数m使得g（x）的最小值为5，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．设集合，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（）
A．B．[0，2] C．D．
【分析】根据交集的定义即可求出．
解：集合＝[，+∞}，N＝{x|3x≥1}＝[0，+∞），则M∩N＝[，+∞），
故选：D．
2．设a＝log30.6，b＝30.6，c＝0.63，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．
解：a＝log30.6＜0，b＝30.6＞1，c＝0.63∈（0，1），
则a，b，c的大小关系是b＞c＞a．
故选：C．
3．函数f（x）＝lg（x2﹣1）的单调递减区间为（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【分析】由对数函数的真数大于0求出函数的定义域，在求出内层函数二次函数的减区间得答案．
解：由x2﹣1＞0，得x＜﹣1或x＞1，
∴函数f（x）＝lg（x2﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
令t＝x2﹣1，该函数在（﹣∞，﹣1）上单调递减，而外层函数y＝lgt为定义域内的增函数，
∴函数f（x）＝lg（x2﹣1）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．
故选：A．
4．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．19 B．3 C．﹣1 D．﹣17
【分析】根据题意，由向量平行的坐标计算公式可得3（m﹣1）＝6，解可得m的值，即可得答案．
解：根据题意，向量，，
若，则3（m﹣1）＝6，解可得：m＝3，
故选：B．
5．设tan160°＝k，则sin160°＝（）
A．B．C．D．
【分析】利用同角三角函数基本关系式即可求解．
解：设tan160°＝k＜0，sin160°＞0，
可得cos2160°＝＝，
可得sin160°＝＝||＝．
故选：B．
6．已知，ln（1+cosα）＝s，，则ln sinα＝（）A．s﹣t B．s+t C．D．
【分析】推导出ln sinα＝ln sin2α＝ln（1﹣cos2α）＝ln[（1+cosα）（1﹣cos α）]，由此能求出结果．
解：∵，ln（1+cosα）＝s，，
∴ln sinα＝ln sin2α＝ln（1﹣cos2α）＝ln[（1+cosα）（1﹣cosα）]＝（s ﹣t）．
故选：C．
7．设函数f（x）＝a sin（πx+α）+b cos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零常数，且满足，则f（2020）＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简即可．
解：∵f（2019）＝﹣，
∴f（2019）＝a sin（2019π+α）+b cos（2019π+β）＝a sin（π+α）+b cos（π+β）＝﹣a sinα﹣b cosβ＝﹣，
即a sinα+b cosβ＝，
则f（2020）＝a sin（2020π+α）+b cos（2020π+β）＝a sinα+b cosβ＝，
故选：C．
8．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝g（x）图象，则函数y＝g（x）（）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x）的解析式，进而利用三角函数图象之间的关系进行判断即可．
解：将函数y＝sin（x+）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝g（x）＝sin（2x+），
对于A，由于g（﹣）＝sin（﹣+）＝sin（﹣）＝﹣1，即函数关于（﹣，0）不对称，故错误；
对于B，由于g（﹣）＝sin（﹣﹣）＝sin（﹣）＝﹣1，即函数关于（﹣，0）不对称，故错误；
对于C，由于g（）＝sin（2×+）＝sin（）＝1，即关于直线对称，故正确；
对于D，由于g（）＝sin（2×+）＝sin＝≠1，即不关于直线x＝对称，故错误；
故选：C．
9．设函数f（x）＝，则满足f（x）﹣f（﹣x）＞0的x的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，结合函数的解析式按x的范围分3种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝，
分3种情况讨论：
①，当x＝0时，f（x）﹣f（﹣x）＞0即f（0）﹣f（0）＞0，不成立；
②，当x＜0时，﹣x＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0即（x+1）＞4x，解可得：﹣＜x＜0，
③，当x＞0时，﹣x＜0，f（x）﹣f（﹣x）＞0即4﹣x＞（﹣x+1），解可得：x＞，
综合可得：x的取值范围为（﹣，0）∪（，+∞）；
故选：D．
10．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣2x（x+2）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．
【分析】由f（x）＝2f（x+2），判断函数值的变化情况，作出函数f（x）的的图象，再确定m所在的区间，求出临界点即可求出结果．
解：当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）在（﹣2，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，所以f（x）max＝f（﹣1）＝2，
由f（x﹣2）＝f（x），可得当图象向右平移2个单位时，
最大值变为原来的倍，最大值不断变小，
由f（x）＝2f（x+2），可得当图象向左平移2个单位时，
最大值变为原来的2倍，最大值不断变大，
当x∈[0，2）时，f（x）max＝f（1）＝1，
当x∈[2，4）时，f（x）max＝f（3）＝，
设x∈[0，2），x﹣2∈[﹣2，0），f（x﹣2）＝﹣2x（x﹣2）＝2f（x），
即f（x）＝﹣x（x﹣2），
由﹣x（x﹣2）＝，解得x＝或x＝，
根据题意，当m≥时，f（x）≤恒成立，
故选：D．
（二）多项选择题：共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
11．已知定义在区间[﹣π，π]的函数f（x）＝cos x﹣x2，则下列条件中能使f（x1）＜f （x2）恒成立的有（）
A．﹣π≤x1＜x2≤0 B．0≤x1＜x2≤πC．|x1|＞|x2| D．x12＜x22
【分析】由奇偶性的定义和基本函数的单调性，判断f（x）为偶函数，在[0，π]递减，即可得到所求结论．
解：定义在区间[﹣π，π]的函数f（x）＝cos x﹣x2，
可得f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣（﹣x）2＝cos x﹣x2＝f（x），即有f（x）为偶函数，当x∈[0，π]，y＝cos x递减，y＝﹣x2递减，则y＝f（x）为减函数，
当x∈[﹣π，0]，y＝f（x）为增函数，
可得﹣π≤x1＜x2≤0⇒f（x1）＜f（x2）；0≤x1＜x2≤π⇒f（x1）＞f（x2）；
f（x1）＜f（x2）⇔|x2|＜|x1|≤π，
故选：AC．
12．已知，若sin2θ＝m，cos2θ＝n且m≠n，则下列选项中与恒相等的有（）
A．B．C．D．
【分析】结合两角差的正切公式及同角基本关系对所求式子进行化简，然后结合选项即可判断．
解：由＝＝＝
＝＝．
由＝＝＝＝＝．
故选：AD．
二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数为奇函数，则实数a的值为 1 ；
【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣x）＝﹣f（x），进而即可得出
，从而可得出a的值．
解：∵f（x）为奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），即＝
，
∴a＝1．
故答案为：1．
14．已知向量，夹角为30°，且，，则＝；
【分析】直接根据|﹣3|2再代入已知条件即可求解．
解：因为向量，夹角为30°，且，
则|﹣3|2＝﹣6•+9
＝22﹣6×2×||cos30°+9||2＝13
⇒||2﹣2||﹣＝0
⇒||＝（负值舍）；
故答案为：
15．若在区间[﹣a，a]上是增函数，则正实数a的最大值为；
【分析】求出函数f（x）的单调递增区间，再根据f（x）在区间[﹣，]上是单调增函数求得正实数a的最大值．
解：中，
令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z；
解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z；
令k＝0，得﹣≤x≤，
所以f（x）在区间[﹣，]上是单调增函数；
若f（x）在区间[﹣a，a]上是增函数，
令﹣a＝﹣，得a＝，
所以正实数a的最大值为．
故答案为：．
16．已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，，，则的值为．
【分析】建立坐标系，设出各点坐标，结合已知条件即可求出结论
解：建立如图坐标系；
设A（0，b），B（﹣a，0）C（a，0）D（x，0）
∴a2+b2＝9；①
＝（﹣a，﹣b），＝（x，﹣b），＝（a，﹣b）；
∴•＝﹣ax+b2＝6 ②
•＝ax+b2＝③；
联立②③得b2＝；
代入①得a2＝；
∴＝b2﹣a2＝＝；
故答案为：
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|2≤x≤4}．
（1）求A∩（∁U B）；
（2）若集合C＝{x|a≤x≤4a，a＞0}，满足C∪A＝A，C∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出A＝{x|﹣1≤x≤5}，∁U B＝{x|x＜2或x＞4}，由此能求出A∩（∁U B）．（2）由C∪A＝A得C⊆A，由C∩B＝B得B⊆C，由此能求出实数a的取值范围．
解：（1）由题A＝{x|﹣1≤x≤5}，∁U B＝{x|x＜2或x＞4}，
∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1≤x＜2或4＜x≤5}．
（2）由C∪A＝A得C⊆A，解得，
由C∩B＝B得B⊆C，解得1≤a≤2．
从而实数a的取值范围为．
18．已知函数，x∈R．
（1）求函数y＝f（x）的单调递增区间；
（2）求时，函数y＝f（x）的值域．
【分析】（1）先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）结合正弦函数的最值性质可求、
解：＝．
（1）令，
得，
所以函数y＝f（x）的单调递增区间为．
（2）得，
所以﹣sin（2x+）≤1，
则f（x）
从而函数y＝f（x）的值域为．
19．已知向量，，．（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且，求sinα．
【分析】（1）根据平面向量的减法法则，表示出﹣，进而表示出，代入已知的，两边平方后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cos（α﹣β）的方程，求出方程的解即可得到cos（α+β）的值；
（2）根据小于0，得到β的范围，再由α的范围，求出α﹣β的范围，然后由（1）求出的cos（α﹣β）的值及sinβ的值，分别利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值和cosβ的值，把所求式子中的α变为（α+β）﹣β，利用两角差的正弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出值．
解：（1）∵，，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（2）∵，∴，
∵，∴．
∵，∴，
∴sinα＝sin[（α﹣β）+β]
＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ
＝
20．已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）若方程f（x）＝1+log a x有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据对数函数定义域列出＞0，解出即可；
（2）方程等价于a＝，其中x∈（1，+∞），令g（x）＝，求出g（x）值域再结合a＞0即可
解：（1）根据题意得＞0，解得x＜﹣1或x＞1，则函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
（2）方程f（x）＝1+log a x即﹣log a x＝1，整理得＝1，
所以a＝，其中x∈（1，+∞），
令g（x）＝＝＝，x∈（1，+∞），
则g（x）≤，当仅当（x﹣1）2＝2，即x＝+1时取等号，
所以a≤＝3﹣2，
又因为a＞0，所以a的取值范围是（0，3﹣2）
21．经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度y1与时间t满足关系式：y1＝4﹣t（0≤t≤4），服用药物N后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度y2与时间t满足关系式：y2＝．现假定某患者餐后立刻服用药物N，且血液中微量元素总浓度y等于y1与y2的和．
（1）求4小时内血液中微量元素总浓度y的最高值；
（2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度y不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案．请你判断是否需要调整治疗方案．
【分析】（1）由题意分类写出微量元素在血液内的总浓度y与时间t的关系，再由配方法及基本不等式求最值；
（2）分类求解不等式可得t的范围，与2比较大小得结论．
解：（1）由题微量元素在血液内的总浓度y与时间t的关系为：
当0≤t＜1时，，当时取最大值；
当1≤t≤4时，，当时取得最大值．
∵，故微元素总浓度最大值为；
（2）当0≤t＜1时，，解得0≤t＜1；
当1≤t≤4时，，解得1≤t≤2．
可知注射药物N后两小时内血液中微量元素总浓度不低于4，则不需要调整治疗方案．22．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，．（1）求x＞0时，f（x）的解析式；
（2）设x∈[1，2]时，函数g（x）＝2f（x）+m•2x﹣2m，是否存在实数m使得g（x）的最小值为5，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）x＞0，则﹣x＜0，，再利用奇函数的性质，即f（x）＝﹣f（﹣x）可得解；
（2）通过换元，问题转化为二次函数h（t）在[2，4]上的最小值为5，再通过分类讨论得出结论．
解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，由当x＜0时，可知，
，
又f（x）为R上的奇函数，
于是，
故当x＞0时，；
（2）由（1）可知，当x∈[1，2]时，g（x）＝（2x）2+（m+1）2x﹣2m，
令t＝2x∈[2，4]，h（t）＝t2+（m+1）t﹣2m，函数g（x）在[1，2]上的最小值为5，即为函数h（t）在[2，4]上的最小值，
①当，即m＞﹣5时，函数h（t）在[2，4]上为增函数，
于是h（t）min＝h（2）＝6≠5，此时不存在满足条件的实数m；
②当，即﹣9≤m≤﹣5时，，解得m＝﹣3或m ＝﹣7，此时m＝﹣7满足题设条件；
③当，即m＜﹣9时，函数h（t）在[2，4]上为减函数，
于是h（t）min＝h（4）＝2m+20＝5，解得，此时不存在满足条件的实数m；综上，存在m＝﹣7使得函数g（x）的最小值为5．。