导数与变化率(教案)

变化率与导数
（一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π=
⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均 膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?
1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
h
t
o
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)
0()49
65
(
m s h h v =--=， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可
以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
知 识 梳 理
平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子
1
212)
()(x x x f x f --表示,
称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样
)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为
=
∆∆=∆∆x f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111
212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x
f
1212)()(x x x f x f --表示什么?
直线AB 的斜率
x 1
x 2
O
y
y =f (x )
f (x 1) f (x 2) △x = x 2-x 1 △y =f (x 2)-f (x 1)
x
一、情境引入
在前面我们解决的问题：
1、求函数2
)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x x
x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t t
t v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)
()(，故斜率为 o t 2 二、知识点讲解
上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，
t V ∆∆(x
V
∆∆)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，
x
x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，
上述两个问题中：（1）4)2('=f ，（2）o o t t V 2)('= 三、几何意义：
我们上述过程可以看出
)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。

例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2
例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。

解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
20)( x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02
0202022
所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
【变式】若2
)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f 注意分析两者之间的区别。

1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f ′(x 0)与[f (x 0)]′是不一样的，f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，不一定为0；而[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点
00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.
问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线
PT 的斜率k ，即0000
()()
lim
()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)
f ′(x )＝a x ln a (a >0)
图3.1-2
f (x )＝e x
f ′(x )＝e x f (x )＝lo
g a x (a ＞0，a ≠1)
f ′(x )＝1
x ln a f (x )＝ln x
f ′(x )＝1
x
（三）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f (x )
g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．
例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2
+1在点P (1,2)处的切线方程.
（2）求函数y =3x 2
在点(1,3)处的导数.
解：（1）222
100[(1)1](11)2|lim
lim 2x x x x x x y x x
=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=
（2）因为222211113313(1)
|lim
lim lim3(1)611
x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=
求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． [来源:学&科&网]
解：x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32
)1()1(2 200(1)(1)2
(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x
→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆
例2．如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，
在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，
所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2
() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．
1．对导数概念的理解
(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×) 2．对导数的几何和物理意义的理解
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)
(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2
＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝0．(×) (5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×) 3．导数运算问题
(6)若f (x )＝a 3
＋2ax －x 2
，则f ′(x )＝3a 2
＋2a －2x ．(×)
(7)函数f (x )＝x 2
ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x
＝2．(×)
(8)函数y ＝e x x 的导数是y ′＝x e x ＋e
x
x
2
．(×)
考点一 利用导数的几何意义求曲线的切线方程
【例1】 已知函数f (x )＝x 3
－4x 2
＋5x －4． (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
审题路线 (1)求f ′(x )⇒求f ′(2)⇒求f (2)⇒由点斜式写出切线方程．
(2)设切点P (x 0，y 0)⇒求f ′(x 0)⇒由点斜式写出过点A 的切线方程⇒把点P 代入切线方程⇒求x 0⇒再代入求得切线方程．
解 (1)∵f ′(x )＝3x 2
－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，
又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0． (2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)， ∵f ′(x 0)＝3x 2
0－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 3
0－4x 2
0＋5x 0－4)，∴x 3
0－4x 2
0＋5x 0－2＝(3x 2
0－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2
(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，
∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0．
规律方法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意区分是曲线在某点处的切线，还是过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求过某点的切线方程时需设出切点坐标，进而求出切线方程．
【训练2】 (1)已知函数f (x )＝x 3
－ax 2
＋10．
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2
－2x ，f (2)＝14，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8， ∴曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －14＝8(x －2)，即8x －y －2＝0．
(2)由已知得a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x
3，
∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，∴g (x )在[1，2]上是减函数．
1.能力培养
g (x )min ＝g (2)＝9
2，∴a >92
，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫92
，＋∞．
考点二 导数运算与导数几何意义的应用
【例2】 (2013·北京卷) 设l 为曲线C ：y ＝ln x
x
在点(1，0)处的切线．
(1)求l 的方程；
(2)试证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 审题路线 (1)求f ′(1)点斜式求直线l 的方程
(2)构建g (x )＝x －1－f (x )g (x )>0对x >0且x ≠1恒成立研究函数y ＝g (x )的性质―→获得结论 解 (1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2
．∴f ′(1)＝1－ln 11＝1，即切线l 的斜率k ＝1． 由l 过点(1，0)，得l 的方程为y ＝x －1．
(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．
g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x
x 2
．
当0<x <1时，x 2
－1<0，ln x <0，∴g ′(x )<0，故g (x )在(0，1)上单调递减； 当x >1时，x 2
－1>0，ln x >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．
所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．
规律方法 (1)准确求切线l 的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l 的位置关系转化为函数g (x )＝x －1－f (x )在区间(0，＋∞)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．
(2)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
【训练3】设函数f (x )＝ax －b
x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0． (1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． (1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12
．
又f ′(x )＝a ＋b
x 2
，于是⎩⎪⎨⎪⎧
2a －b 2＝12，a ＋b 4＝7
4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
故f (x )＝x －3
x
．
(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x
2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0
)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0
，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－6x 0．
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
－6x 0|2x 0|＝6．
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f ′(x 0)与[f (x 0)]′是不一样的，f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝
x 0处的导数值，不一定为0；而[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定
为0，即[f (x 0)]′＝0．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周
【典例】 (2014·杭州质检)若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x 和y ＝x 2
＋a 都相切，则a 的值是________．
[错解] ∵点O (0，0)在曲线f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x 上，∴直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点O ． 则k ＝f ′(0)＝2，直线l 的方程为y ＝2x ．
又直线l 与曲线y ＝x 2
＋a 相切，∴x 2＋a －2x ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，a ＝1． [答案] 1
[错因] (1)片面理解“过点O (0，0)的直线与曲线f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x 相切”．这里有两种可能：一是点O 是切点；二是点O 不是切点，但曲线经过点O ，解析中忽视后面情况．
(2)本题还易出现以下错误：一是认为O (0，0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻．
[正解] 易知点O (0，0)在曲线f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x 上， (1)当O (0，0)是切点时，同上面解法．
(2)当O (0，0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 3
0－3x 2
0＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 2
0－6x 0＋2．① 又k ＝y 0
x 0
＝x 2
0－3x 0＋2，②
由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x ．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－14x ，
y ＝x 2＋a ，
得x 2
＋14x ＋a ＝0．依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164
．
综上，a ＝1或a ＝1
64．
[答案] 1或1
64
[防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P 处的切线与在点P 处的切线的差异．
(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．
【变式】若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3
和y ＝ax 2
＋7x －7都相切，则a 等于________．
解析 设过(1，0)的直线与y ＝x 3
相切于点(x 0，x 3
0)，所以切线方程为y －x 3
0＝3x 2
0(x －x 0)，即y ＝3x 2
0x －2x 3
0． 又(1，0)在切线上，则x 0＝0或32
．
当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2
＋7x －7相切可得a ＝－74；
当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2
＋7x －7相切可得a ＝－116．
答案 －74或－1
16
课后作业
基础巩固题组
一、填空题
1．(2014·辽宁五校联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是________．
解析 由题意知y ′＝3
x
＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1，3)．
答案 (1，3)
2．已知函数f (x )＝2ln x －xf ′(1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程是________．
解析 易知f ′(x )＝2
x
－f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2－f ′(1)，∴f ′(1)＝1，因此f (x )＝2ln x －x ，
∴f (1)＝－1，∴所求的切线方程为y ＋1＝1·(x －1)，即x －y －2＝0． 答案 x －y －2＝0
3．(2014·烟台期末)设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )
的部分图象为________．
解析 函数f (x )的导函数为f ′(x )＝(x sin x ＋cos x )′＝x cos x ，即k ＝g (t )＝t cos t ，则函数g (t )为奇函数，图象关于原点对称，排除①，③．当0＜t ＜π
2
时，g (t )＞0，所以排除④，选②． 答案 ②
4．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________． 解析 y ′＝
cos 2
x ＋sin 2
x
sin x ＋cos x 2
＝
1
1＋sin 2x ，故所求切线斜率k ＝
＝12
． 答案 12
5．(2014·温州三模) f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线斜率为1
2，则tan 2x 0
的值为________．
解析 f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，∴f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1
2，即3sin x 0－cos x 0＝0，
∴tan x 0＝33，∴tan 2x 0＝2tan x 0
1－tan 2
x 0＝2×
3
31－1
3
＝3． 6．(2013·广东卷)若曲线y ＝ax 2
－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________． 解析 y ′＝2ax －1x ，∴y ′|x ＝1＝2a －1＝0，∴a ＝1
2．
答案 1
2
7．已知f (x )＝x 2
＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________．
解析 由题意得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2． 答案 －2
8．(2013·江西卷)若曲线y ＝x α
＋1(α∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________． 解析 y ′＝αx α－1
，∴斜率k ＝y ′|x ＝1＝α＝2－0
1－0
＝2，∴α＝2．
答案 2
二、解答题
9．(2014·江西九校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (c ＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式(用含c 的式子表示)； (2)令g (x )＝
f (x )
x
，求y ＝g (x )在[1，2]上的最大值． 解 (1)∵f ′(x )＝2ax ＋b ，由图可知，f ′(x )＝2x ＋1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝2，b ＝1，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1，
故所求函数的解析式为f (x )＝x 2
＋x ＋c ．
(2)g (x )＝f (x )x ＝x 2＋x ＋c x ＝x ＋c x ＋1，则g ′(x )＝1－c x 2＝x 2－c x 2＝(x ＋c )(x －c )x 2
．
①若c ＜1，即0＜c ＜1时，g ′(x )＞0，
∴g (x )在[1，2]上是增函数，故g (x )max ＝g (2)＝c
2
＋3．
②若1≤c ≤2，即1≤c ≤4，当1≤x ＜c 时，g ′(x )＜0，当c ＜x ≤2时，g ′(x )＞0， ∵g (1)＝c ＋2，g (2)＝c
2
＋3，
∴当1≤c ≤2时，g (1)≤g (2)，g (x )max ＝g (2)＝c
2＋3；当2＜c ≤4时，g (1)＞g (2)，g (x )max ＝g (1)＝c ＋2．
③若c ＞2，即c ＞4时，g ′(x )＜0，∴g (x )在[1，2]上是减函数，故g (x )max ＝g (1)＝c ＋2． 综上所述，当0＜c ≤2时，g (x )max ＝c
2
＋3；当c ＞2时，g (x )max ＝c ＋2．
10．(2014·温州五校联考)已知函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f (x )的解析式；
(2)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝3ax 2
＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a ＋2b －3＝0，
3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0．
∴f (x )＝x 3
－3x ．
(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)，
∵曲线方程为y ＝x 3
－3x ，∴点A (1，m )(m ≠－2)不在曲线上． 设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 3
0－3x 0．
∵f ′(x 0)＝3(x 20
－1)，∴切线的斜率为3(x 20
－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1
，整理得2x 30－3x 2
0＋m ＋3＝0．
∵过点A (1，m )可作曲线的三条切线，∴关于x 的方程2x 3－3x 2
＋m ＋3＝0有三个实根． 设g (x )＝2x 3
－3x 2
＋m ＋3，则g ′(x )＝6x 2
－6x ，由g ′(x )＝0，得x ＝0或1．
∴g (x )在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，极值点为x ＝0和1．
∴关于x 0的方程2x 3
－3x 20
＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是⎩
⎪⎨
⎪⎧
g
0>0，g 1<0，
解得－3<m <－2．
故所求实数m 的取值范围是(－3，－2)．
能力提升题组
一、填空题
1．(2014·盐城一模)设P 为曲线C ：y ＝x 2
＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围是________． 解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，y ′＝2x ＋2，则k ＝tan α＝2x 0＋2∈[0，1]，解得x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12．
答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12
2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *
，则f 2 013(x )＝________． 解析 f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin
x ，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f 2 013(x )f 1(x )＝cos x ．
答案 cos x
3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x
n ＋1
(n ∈N *
)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切
线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．
解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n
，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，得x ＝1－
1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x 2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝1
2 013
． 则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013(x 1x 2…x 2 012)＝－1． 答案 －1 二、解答题
4．(2013·四川卷)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x ＋a ，x ＜0，
ln x ，x ＞0，其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))
为该函数图像上的两点，且x 1＜x 2． (1)指出函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f (x )的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．
解 (1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．
(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1．
当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2．
因为x 1＜x 2＜0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0． 因此x 2－x 1＝1
2
[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－
2x 1＋2]2x 2＋2＝1，
当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－1
2时等号成立．
所以函数f (x )的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1． (3)当x 1＜x 2＜0或0＜x 1＜x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2．
当x 1＜0时，函数f (x )的图像在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 2
1＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 2
1＋a ．
当x 2＞0时，函数f (x )的图像在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1
x 2
·x ＋ln x 2－1．
两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧
1x 2
＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21
＋a .②
由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0；由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 2
1－ln(2x 1＋2)－1．
设h (x 1)＝x 2
1－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)，则h ′(x 1)＝2x 1－1
x 1＋1
＜0，所以h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数． 则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1，所以a ＞－ln 2－1
又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 故当函数f (x )的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。