人口预测模型灰色预测

灰色理论概况

社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是根据研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。用“黑’’表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰"表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。

在人们的生活、经济活动或科研活动中，经常会遇到信息不完全的情况。例如，在农业生产中，即使是播种面积、、化肥、灌溉等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍难以准确地预计出产量、产值；在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为预测不准金融政策、利率政策、企业改革、政治风云和国际市场变化及其某些板块价格波动对其他板块之影响的确切信息。

灰色系统理论经过20年的发展其主要内容包括以灰色哲学为基础的思想体系，以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色模型(GM)为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。

灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等方面 的内容。

灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机行，挖机潜在的规律，经过差分方程与微分方程之间的互换，实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程。

灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有(1,1)GM )模型、残差(1,1)GM 模型、新陈代谢(1,1)GM 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。

灰色组合模型包括灰色经济计量学模型(G ．E)、灰色生产函数模型(G —CD)、灰色马尔可夫模型(G —M)、灰色序列组合模型等。 3．2灰色预测模型

运用(1,1)GM 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型三个模型对深圳人口数量进行预测研究。

3．2．1 (1,1)GM 模型 定义3．2．1设(0)

(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,()),((1),(2),,,())X x x x n X x x x n ==

称

(0)()()()k X k ax k b +=

为(1,1)GM 模型的原始形式。

其中G 表示灰色(grey)，M 表示模型(Model)，第一个1表示一阶方程，第二l 表示1个变量。

GM(1，1)模型首先对原始数据进行一阶累加生成，然后利用指数曲线拟合并预测，最后通过累减还原得到预测值。一般将原始数据序列记为(0)

X

，将一阶累加生成序列记为

(1)X 。建(1,1)GM 模型的步骤如下：

(1) 假定原始数据序列为

(0)(0)(0)(0)((1),(2),,,())X x x x n =

对原始数据序列进行一阶累加生成

(1)(1)(1)(1)((1),(2),,,())X x x x n =

其中，

(1)

(0)1

()() 1,2,,k

i X k x i k n ===∑

(2) 构造(1)

Z

序列

令(1)

(1)(1)1()()(1)2

x k x k x k ⎡⎤=

+-⎣⎦，得 (0)(0)(0)(0)((1),(2),,,())Z z z z n =

(3) 建立白化方程

(1)

(1)dx ax b dt

+= (4) 求参数a 和b

若[]ˆ,T

a

a b =为参数序列，且(1)(1)(1)1

(2)1

21

(3)121

()1

2

z z B z n --=- ， (0)

(0)(0)(2)(3)()n x x Y x n ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

用最小二乘法求解 []1,()T

T T

n a a b B B B Y -==

(5) 将白化方程离散化，微分变差分，得GM(1，1)灰微分方程

(0)(1)()()x k az k b +=

称为(1,1)GM 模型的基本形式。 (6) 白化微分方程求解 求得到微分方程的解为：

(1)(1)()((1))at b b

x t x e a a

-=-+

(1,1)GM 灰色预测模型(0)(1)()()x k az k b +=的时间响应方程为：

(1)(0)ˆ(1)((1))ak b b

x

k x e a a

-+=-+ 还原值为

(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()x

k x k x k +=+- 其中a 为发展系数，[]2,2a ∈-，反映了(1)ˆ()x

k 及(0)

ˆx 的发展态势。b 为灰色作用量。

(1,1)GM 模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，

其确切内涵是灰色的。

灰色模型预测检验一般有残差检验和后验差检验。 一、残差检验

按预测模型计算(1)ˆ()x k ，累减(1)ˆ()x k 生成(0)ˆ()x k ，再计算原始序列(0)()x k 和(0)ˆ()x

k 的绝对误差和相对误差序列：

0(0)(0)ˆ()()(), 1,2,,k x k x

k k n =-= (0)(0)()

()100%, 1,2,,()

k k k n x k φ∆=⨯=

二、后验差检验法

后验差检验其检验步骤是：

(1) 计算原始序列均值及均方差分别为：

(0)

11

1(), S n k x x k n ===

∑

(2) 计算残差均值及均方差分别为：

(0)(0)21

1

()(), n

k k k S n =∆=

∆=∑(3) 计算后验差比值：2

1

S C S =

(4) 1(()0.6745)p P k S εε=-<称为小误差概率。