张量分析课件第五章5 协变基底矢量导数

表示为：
jri (jri)rk rk
（5.3-4）
定义：
ik j i k j ( jr i)r k ;
ijk ij,k ( jr i)r k
（5.3-5）
式中
k ij
,
i
jk
称为第一类和第二类Christoffel符号。由Chris-
toffel符号， j ri 矢量可表示为：
（5.3-14）
323 233 332 h 3 2 h 3
111 h 1 1 h 1
222 h 2 2 h 2
333 h 3 3 h 3
k：
ij
3 12
1 23
2 31
2 13
1 32
3 21
0
2 11
h1(h2 )2 2h1
3 11
h1(h3 )2 3h1
（5.3-15）
∴
f l
f x i
r
i
l
（5.4-1）
该式与 (2.4-20) 比较可知 ，该式就是曲线坐标系中标量场
f (x) 沿l方向的方向导数。与（2.4-21）式对应的 （Hami-
lton）算符为：
ri
x i
r ii
（5.4-2）
对任意 ： f (x1,x2,x3)
f r ii f
（5.4-3）
称为曲线坐标系函数 f 的梯度（或称绝对导数）。
f(x1,x2,x3)f(x)
则 x 在 x 方向上增加 | x | 时，函数的增量为：
f(xx)f(x)
设l为曲线坐标系中一单位矢量。且：
x|x|l
∵
x x1 r1 x2r2 x3r3
;
ll1r1l2r2l3r3
∴ 定义：
则：
xi | x|li ; (i 1 ,2 ,3 )
limf(xx)f(x)f
r3
21 3
1 r
r2
r2 x2
r2
r1
22 1
r2
22 2
r3
22 3
r r1
r2 x3
r2
r1
23 1
r2
23 2
r3
23 3
c tg r3
r3 x1
r3 r
r1
31 1
r2
31 2
r3
31 3
1 r
r3
r3 x2
r3
r1
32 1
r2
32 2
r3
32 3
ctg
r3
r3 x3
ri
r i ;
x j
x j
为书写简明，记：
ri xj
jri
;
ri xj
jri
（5.3-2）
因为 j ri 是矢量，且 j ri 可以在协变基底上线性表示，因此
有：
jri (jri)rk rk
（5.3-3）
式中 ( jri ) rk 是矢量 j ri 在协变基矢量rk上的线性表示系数（ 或称为 rk 上的坐标）。同理， j ri 也可以在逆变基底上线性
g i j , k k ( r i r j ) ( k r i ) r j r i ( k r j ) i k j j k i k i j k j i
同理有： g j k , i i j k i k j ;g k i , j j k i j i k ;g j k , i g k i , j g i j , k 2 i j k
∴
ij k1 2(gj k,i gk,ij gij,k)
∵
ikj gkrijr
∴ 3．∵
∴
ikj1 2gk(rgj,ri gr,ij gi,jr)
r1(r2r3) g
k[r1(r2r3)]k g
k [r1 (r2 r3 )] (k r1) (r2 r3 ) r1 [(k r2 ) r3] r1 [r2 (kr3)]
5.3 协变（逆变）基底矢量导数
在曲线坐标系中，在位置矢量 x =xi ii 处的自然协变和逆变 基底矢量是 x 的矢量函数：
ri ri(x ) ;
r i r i(x )
（5.3-1）
当位置矢量 x 处的张量在曲线坐标系的自然基底上表示时
（如 AAi1Lirri1Lrir），对张量的分析涉及到自然基底的导数 。即需要确定：
;
k k
ij
ji
（5.3-9）
2． 3．
i j k 1 2 ( g j k , i g k i ,j g i j , k ) ;
k ik
i(ln
1 g) gi
g
i k j 1 2 g k r ( g j r , i g r i ,j g i j , r )
（5.3-10） （5.3-11）
|x| 0
|x|
l
l f | l i x m | 0 | 1 x | x f 1 l 1 x f 2 l 2 x f 3 l 3 | x | 0 ( | x |) x f 1 l 1 x f 2 l 2 x f 3 l 3
∵
lilri ; (i1,2,3)
证：
1．∵
∴ 2．
r i x x i jr i x j x x i x 2 j x x i x i 2 x x j x i x x j ir j
i j k ( j r i ) r k ( i r j ) r k j i k ; i j k ( j r i ) r k ( i r j ) r k j k i
;
ik (i不求和)
iji jii 12gii,j
;
(i不求和)
ijk 0
k ii
12gii,kgkk
i ij
12gii,jgkk
;
i j k
;
ik (i,k不求和)
;
(i不求和)
（5.3-12） （5.3-13）
将
ijk
,
k ij
当i
,
j
,
k
=1,2,3时的值用h1,
h2,
h3表示时有：
：
i jk
o
r2 x1
r2 r
r1
21 1
r2
21 2
r3
21 3
1 r
r2
r2 x2
r2
r1
22 1
r2
22 2
r3
22 3
rr2
r2 x3
r2 z
r1
23 1
r2
23 2
r3
23 3
o
r3 x1
r3 r
r1
31 1
r2
31 2
r3
31 3
o
r3 x2
r3
r1
32 1
r2
32 2
1 22
h2 (h1)2 1h2
3 22
h2 (h3 )2 3h2
1 33
h 3 (h 1)2 1h 3
2 33
h 3(h 2 )2 2h 3
1 12
1 21
(h 1)1 2h 1
1 13
1 31
(h 1)1 3h 1
2 21
2 12
(h 2 )1 1h 2
（5.3-15）
2 23
2 32
因此有：
ri rj 0 ; (ij) g ij g ij 0 ; ( i j )
g11 ( g 11)1 (h1)2
g 2 2 ( g )2 2 1 ( h 2 ) 2
g 33 ( g 33 )1 (h 3 )2
由（5.3-10）式得：
ijk 0
;
i j k
ijk 12gii,k
(
i 1k
ri
)
(r2
r3
)
r1
[(
i 2k
ri
)
r3
]
r1
[r2
(
i 3k
ri
)]
i 1k
ri
(r2
r3
)
i 2k
r1
(ri
r3
)
i 3k
r1
(r2
ri
)
1 1k
r1
(r2
r3
)
2 1k
r2
(r2
r3
)
3 1k
r3
(r2
r3
)
1 2k
r1
(r1
r3
)
2 2k
r1
(r2
r3
)
3 2k
r1
(r3
r3
)
由(5.3-154)式得，除 1h2、1h3、2h3偏导数分别为 1、 sin、 rcos、
外，其余的偏导数均为零。
∴
1 22
r
,
1 33
r
sin 2
2 12
2 21
3 13
3 31
1 r
2 33
sin
cos
3 23
3 32
ctg
k ij
0
;
( i , j , k ) 的其它取值。
由（5.3-6）式：
df (f)dx
（5.4-4）
称为曲线坐标系函数 f 的绝对微分。
例12：
设{o; i1, i2, i3}是参考标准正交坐标系。xi(x1,x2,x3);(1,2,3)是曲
线坐标。r 是位置矢量。即 r = xi ii 。试求 dr = ？ 解：
∵
r x iii
∴
d r ( d x i ) ii
ikj ijrgrk
(jri)rk(ir jrr)rkir jg rk
( jr i)r k (ijrr r)r kijrrrr kijk
ijk irj grk
证毕。
jri kijrk
（5.3-8）
j(ik ) 0 ;
ik r ir k
j( r ir k ) 0 ; ( j r i) r k r i( j r k ) 0
1
(s in 2 c o s2 s in 2 s in 2 c o s2)2 1
1
h2
x1
2
x2
2
x3
22
1
[r2cos2cos2r2cos2sin2r2sin2)2 r
1
h3
x1 2
x2
2
x3
22
1
(r2sin2sin2r2sin2cos20)2 rsin
x x
i j
r
j
(
d
x
m
r
m
)
i
i
xi x j
1 3k
r1
(r2
r1
)
2 3k
r1
(r2
r2
)
3 3k
r1
(r2
r3
)
1 1k
g
2 2k
g
3 3k
g
i ik
g
iik 1gk gk(lng)
对一般曲线坐标系（5.3-6）和（5.3-8）式给出了协变基矢 量和逆变基矢量的曲线坐标偏导数 。当曲线坐标系是正交 曲线坐标系时。由于：
ri ri
; (i1,2,3)
jri
r k
ij k
rk
ijk
（5.3-6）
两个基本关系：
1．
2． 证：
k ij
ijrgrk
ijk irj grk
（5.3-7a） （5.3-7b）
1．∵
∴ 2．∵
∴
例9： 证明：
证： ∵ ∴
又∵
( jr i)rk (is jr s)rkis j s kik j
( jr i) r k (ijr r r ) r kijr r rr kijr g r k
jriik jrk ; (i,j 1 ,2 ,3)
得：
r1 x1
r1 r
r1
11 1
r2
11 2
r3
11 3
o
r1 x2
r1
r1
12 1
r2
12 2
r3
21 3
1 r
r2
r1 x3
r1
r1
13 1
r2
13 2
r3
13 3
1 r r3
r2 x1
r2 r
r1
21 1
r2
21 2
r i( jr k ) ( jr i)r k is jr sr k ik j
r i( jr k ) ik j lk jr ir l r i( lk jr l)
∴
jr k lk jr l
;
jr i k ijr k
Christoffel符号基本性质：
1． ijk jik
123 231 312 132 321 213 0
121 211 112 h 1 2 h 1
131 311 113 h 1 3 h 1
212 122 221 h 2 1 h 2
232 322 223 h 2 3 h 2 313 133 331 h 3 1 h 3
r3
32 3
o
r3 x3
r3 z
r1
33 1
r2
33 2
r3
33 3
o
例11：
试求球坐标： x 1 r s i n c o s ; x 2 r s i n s i n;
（式中 ）的 x1r,x2,x3
k ij
。
解：
1
∵
பைடு நூலகம்
h1
xr1
2
xr2
2
xr3
22
x 3 r c o s
k ij
0
;
i , j , k 的其它取值
由（5.3-6）式： 得：
jriik jrk ; (i,j1 ,2 ,3)
r1 x1
r1 r
r1
11 1
r2
11 2
r3
11 3
o
r1 x2
r1
1 12
r1
r2
12 2
r3
21 3
1 r
r2
r1 x3
r1 z
1 13
r1
2 13
r2
r3
13 3
（式中 ）的 x1r,x2,x3z
i jk
,
k ij
。
解：
∵
h 1 1, h 2r , h 3 1
由（5.3-14）、（5.3-15）式得，除 1 h 2 的偏导数为1外，其
余的偏导数均为零。
∴
212122221h2r ijk0 ; i,j,k的 其 它 取 值
1 22
r
2 12
2 21
1 r
r3
r1
33 1
r2
33 2
r3
33 3
r s in 2 r1 s in
c o s r2
5.4 曲线坐标系张量场分析
在4.5中给出了标准正交坐标系中的张量场分析。本节将 在曲线坐标中讨论张量场的绝对微分和绝对导数。
一、曲线坐标系中标量场梯度
设 f(x1,x2,x3)是曲线坐标 x1、x2、x3的标量值函数。若记：
(h 2 )1 3h 2
3 31
3 13
(h 3 )1 1h 3
3 32
3 23
(h 3)1 2h 3
1 11
( h 1 ) 1 1h 1
2 22
(h 2 )1 2h 2
3 33
(h 3 )1 3h 3
例10：
试求柱坐标： x 1 r c o s ； x 2 r s i n ； x 3 z