近代平差理论概述分解共65页
第一章(近代平差理论简介)
1964年高德曼（Goldmen）蔡勒(Zelen)： Q，P满秩 Q ， P奇异（奇异权逆阵的最小二乘）
V T QV min
1971年劳（Rao）广义高斯——马尔柯夫
ˆ V AX L
R ( A) t
D 0 Q
2
det(Q) 0
2.4 最小二乘滤波、推估和配置
最小二乘平差：X未知参数是非随机的量，不具有随机 的性质 1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）提出了 带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波：L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY' ' 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号 Y；未 知参数与观测值没有建立函数模型。
随机模型的验后估计的方法有: ① 赫尔默特估计法： 2 T 建立各类观测值 Vi PVi 与对应的 i 的关系式，通过平差 求得的 ViT PVi ,求 i2 i2 i , ②MINQUE估计法（Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数。把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的 极值问题，求极值的解。 BIQUE法（Koch 1980） ③库贝克（Kubik ）最大似然法： 假设随机变量服从正态分布，然法函数可表示为方差— 协方差的数学期望的函数，然后使该函数为最大。
ˆ BV AX f ˆ W CX E 0
当B=-E,C=0时,间接平差（参数平差） ˆ ˆ ( V BX l ) V AX f 当A=0,C=0时,条件平差： BV f ( AV W 0 ) 当B=-E时,带约束的间接平差：
ˆ V AX f
现代平差理论与测量平差
现代测量与现代平差技术摘要:本文首先简述了现代测量平差中的各种理论与经典测量平差之间的关系,指出现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法,并以图描述了经典测量与现代测量数据处理中各种理论之间的关系。
然后分别阐述了现代测量数据处理中粗差理论、系统误差的处理、病态问题的处理、非线性问题的处理、不等式约束的平差等的发展,最后综述了其他数据处理理论的一些发展情况。
最后讲了整体平差法是一个严格而又有效的平差方法,其应用与现代计算机技术密切相关。
具体介绍了整体平差法的基本原理,并以实测GPS控制网的布设为例,探讨了它在现代测量控制网建立中的具体应用及其技术优势。
关键词:经典测量平差;现代测量平差;高斯-马尔柯夫误差模型;误差模型扩展整体平差分级平差GPS控制网Abstract: This paper described the relationship between the theories in modern surveying adjustment and the traditional surveying adjustment. It pointed out that the theories of modern surveying adjustment and the data processing should be still based on Gauss-Markov error model. Through enlargement and development in different aspects of the model, new theories and methods are worked out. A figure showing such relationship is given.Meanwhile, the theories on blunder detection, systematic error processing, ill-pose problem, nonlinear model,inequality constraints are elaborated. At the last the progresses of other theories on data processing are summarized.Key words: traditional surveying adjustment; modern surveying adjustment; Gauss-Markov error model;extension of error model1、现代测量平差与数据处理理论发展概述经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心[1]:L=AX+Δ(1a)E(Δ) = 0,D(Δ) =σ20Q=σ20P-1(1b)Rnk(A) =n,R(Q) =R(P) =n(1c)这里L为观测向量,Δ为误差向量,X为未知参数向量,A为X的系数矩阵,E(·)为数学期望,σ2为单位权方差,P为观测权矩阵,Q为协因素矩阵,n为观测个数。
误差理论与测量平差基础CH12
T V T P∆ V + VY PY VY = min
其中VY 是虚拟观测值LY = E(Y )的改正数，最小二乘配置的误差 方程可写为 ˆ + AY ˆ−L V = BX ˆ − LY VY = Y 构建法方程：
误差理论与测量平差基础 第十二章 近代平差概论 12-4 最小二乘配置原理
12-4 最小二乘配置原理
BT P∆ B BT P∆ A AT P∆ B AT P∆ A + PY 解为
ˆ X ˆ Y
=
BT P∆ L AT P∆ A + PY LY
−1 BT P∆ B BT P∆ A BT P∆ L = ˆ Y AT P∆ B AT P∆ A + PY AT P∆ A + PY LY ˆ X
误差理论与测量平差基础 第十二章 近代平差概论 12-1 序贯平差
12-1 序贯平差
第一组单独平差，则有
−1 T ˆ xk−1 = (BT k−1 Pk−1 Bk−1 ) Bk−1 Pk−1 lk−1 T −1 QX ˆk−1 = (Bk−1 Pk−1 Bk−1 )
两组观测值整体平差
T T ˆ x = QX ˆ (Bk−1 Pk−1 lk−1 + Bk Pk lk ) −1 −1 QX + BT ˆ = (QX k Pk Bk ) ˆ
误差理论与测量平差基础 第十二章 近代平差概论 12-3 秩亏自由网平差
12-3 秩亏自由网平差
进一步推导，可知K = 0，V 和V T PV 是和基准条件无关的不 变量。构建新方程 (BT PB + SST )ˆ x = BT Pl 可解得 ˆ x = (BT PB + SST )−1 BT Pl
第四章间接平差
N
W 1
bb
xˆ BT PB 1 BT Pl
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§4-1 间接平差原理
将求出的 xˆ代入误差方程，即可求得改正数V，从而
平差结果为:
Lˆ L V
法方程式的纯量形为
N11xˆ1 N12 xˆ2 N1t xˆt W1 0
N 21xˆ1 N 22 xˆ2
N 2t xˆt
在间接平差中，基本向量为 Ll, Xˆ xˆ。,V已和知Lˆ QLL=Q。
由于
l L F X 0 L L0 , L0 F X 0 是由近似值计
算的函数值，故 对于讨论精F度X将0 不产生影响。此外，
按定义知
，故
Xˆ ，X因0此下xˆ,面在Q与Xˆ有Xˆ 关Q的xˆxˆ协因
数阵中，均将
正是间接平差函数模型的基本形式。就水准网而言，如 果网中有高程已知的水准点，则t 就等于待定点的个数； 若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程 可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响网 点高程之间的相对关系。
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§4-2 误差方程
二、参数的选取
在水准网中，即可以选取待定点高程作为参数，也 可选取点间的高差作为参数，
Q
BN
B 1 T
bb
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§4-1 间接平差原理
再计算有关的协因阵，得
QLˆL
Q QVL
BN
1 bb
B
T
QLTLˆ
QLˆXˆ
Q
N
1 bb
B
T
P
T
QVXˆ
QPBN
1 bb
0
BN
1 bb
02 平差计算的基本理论
0 ρ ′′∆ Y jk
(S )
jk
0 2
ˆ xk +
ρ ′′∆ X 0 jk
(S )
jk
0 2
ˆ y k − l jk
或
″ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v jk ＝ − z j + a jk x j + b jk y j − a jk x k − b jk y k − l jk
ajk、bjk称j、k方向的方向系数。
ˆ = − Z 0 − z j + α 0 + δ α JK j jk
ˆ ⇒ L jk + V jk = − Z 0 − z j + α 0 + δ α jk j jk
l jk = L jk − ( − Z 0 + α 0 ) j jk −−
ˆ ⇒ V jk = − z j + δ α JK − l jk
常数项
其中
α
0 jk
= arctan
Y k0 − Y j0 X k0 − X
0 j
主讲人：王 华
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ˆ ″ ∂ α jk δ α jk ＝ ˆ ∂X j = =
ˆ xj +
ˆ X =X
0
ˆ ∂α
jk ˆ X =X
0
∂ Yˆ j
X
0 jk
ˆ ∂ α jk ˆ yj + ˆ ∂X
k
0 jk
ˆ X =X
ˆ ˆ X ＝ X 0＋ x
ˆ V＝ Bx − l
主讲人：王 华
ˆ L＝ L＋ V
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4.精度评定
验后单位权方差：
V PV ˆ σ0 ＝ r
2
T
平差参数的协方差矩阵：
误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
第七章——间接平差
c、标准曲线拟合
对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图
所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由于圆曲线的参数方程
为：
X?i ? X?0 ? R?cos??i
Y?i ? Y?0 ? R?sin??i
式中：(x0 , y0 )为圆心坐标，R为半径，
这三个参数是圆的基本参数，? i 为第i
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m，H B =3.953m， HC =7.650m。各点的近似高程为：
H0 p1
?
HB ?
h2
? 5.053m
H0 p2
?
H A ? h7
? 8.452m
H0 p3
?
HC
? h4
? 7.450m
观测值见下表，试列出误差方程。
1234567 (m)
第七章——间接平差
例如在下图，我们选 X?1 ? X?C , X?2 ? Y?C , X?3 ? X? D , X?4 ? Y?D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
v1 ? ( X A ? X?3 ) 2 ? (YA ? X?4 )2 ? L1 v2 ? ( XB ? X?3 ) 2 ? (YB ? X?4 ) 2 ? L2 v3 ? ( X?1 ? X?3 )2 ? ( X?2 ? X? 4 ) 2 ? L3 v4 ? ( XA ? X?1 )2 ? (YA ? X?2 ) 2 ? L4 v5 ? ( XB ? X?1 )2 ? (YB ? X?2 ) 2 ? L5
? l?
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。
为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
平差
停止
返回
误差的分类
偶然误差/随机误差：在相同的观测条件
下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号 上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何 规律，但从大量误差上看有一定的统计规律， 这种误差称为偶然误差。 不可避免，测量平差研究的内容
粗差：错误
停止
返回
测量平差的任务：
♠对一系列带有观测误差的观测值，运用
0 ⋯ 0 a22 ⋯ a2n ⋮ 0 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯⋮⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann ⋮ 0 0 ⋯ 1 a12 ⋯ a1n ⋮ 1 0 ⋯ 0 ⋮b b ⋯ b n 11 12 1 1 ⋯ 0 ⋮b21 b22 ⋯ b2n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 1 ⋮bn1 bn2 ⋯ bnn
−1
停止
返回
矩阵求逆方法
（2）初等变换法：
a11 a 21 A = n×n ⋯ an1 a11 a 21 ⋯ an1 1 0 ⋯ b n 0 1 b2n ⋯ bnn
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ an2 ⋯ ann
停止 返回
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 m× n 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A= m×n ⋯ ⋯ am1 am2 ⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ amn
停止
返回
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann 称为对角元素。 (3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。 (4)对于 n× n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对 角矩阵。如：
现代测量平差简介
那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除 闭合差的目的呢？ 首先要由观测值和未知量间组成函数模型； 然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。
2 函数模型
函数模型：是描述观测量与观测量之间、观 测量与未知量间的数学函数关系的模型。
建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法： 1、条件平差； 2、间接平差；
3、附有参数的条件平差；
4、附有限制条件的间接平差。
一、条件平差的函数模型
n<t，则无法确定模型 n=t，唯一确定模型，不能发现粗差。 n>t,，可以确定模型，还可以发现粗差。 有一个多余观测，观测值间就会产生一个函数关系， 平差中称这种函数关系为条件方程。观测值的数学期望之 间的函数关系式。
条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
列立附有参数的条件 平差的函数模型：
ｎ=4，t=2，r=4-2=2
选ｕ=1个参数： H P
1
X
列立ｃ=r+ｕ=3个条件方程：
h2 h3 0 H A h1 h2 h4 H B 0 H A h1 X 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 L 0 X H H 0 B A 1 0 0 0 1 HA
第六讲 平差数学模型
内 容 安 排
一、四大经典平差的函数模型
二、函数模型的线性化
三、测量平差的数学模型
第六讲 几个概念
平差数学模型
必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素， 简称必要元素。（用t表示）
多余观测数：为了发现粗差和错误，并提高精度，需 要进行多余观测。(用r表示）
平差的ppt课件
当X和Y相互独立时： xy E(X )E(Y ) E(X )E(Y ) 0 当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是， 逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味 着相互独立。只有当和服从联合正态分布时， 协方差为零才是相互独立的充分条件。因此， 对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相 互独立是等价条件。
式中： x E( X ) X X和Y的真误差。
和 y E(Y ) Y
分别是
设是观测值的真误差，是观测值的真误差， 而协方差则是这两种真误差所有可能取值的 乘积的理论平均值，即
实用上总是有限值，所以也只能求得它的估 值，记为
协方差与相关
xy E( X E( X ))(Y E(Y )) E[ XY XE(Y ) E( X )Y E( X )E(Y )]
协方差与相关
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、 角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都 认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的 各个函数之间是不独立的，或者说是相关的， 因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上 的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方 向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如， 三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的 各点的坐标也是相关观测值。
偶然误差的规律性
1. 在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定
的限值，或者说，超出一定限值的误差，其 出现的概率为零。
2. 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现
的概率大。
3. 绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 4. 偶然误差的数学期望为零，即：
E() E(E(L) L) E(L) E(L) 0
衡量精度的指标--平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差 绝对值的数学期望称为平均误差。
几种创新大地测量数据处理理论与方法概述
现代大地测量学论文几种创新大地测量数据处理理论与方法概述现代测量平差与数据处理理论发展概述经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心：L AX =+∆ 1a ()0E ∆=,2()D σ∆=,21Q P σ-=• 1b()Rnk A n =, ()()R Q R P n == 1c这里L 为观测向量,∆为误差向量,X 为未知参数向量,A 为X 的系数矩阵,()E 为数学期望,2σ为单位权方差,P 为观测权矩阵,Q 为协因素矩阵,n 为观测个数.现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法.各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系可以描述如图1所示1图1 各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系图1．测量平差主要发展状况概述测量平差估计准则的发展：高斯最小二乘理论的发展,相关平差理论的发展,极大验后估计准则,稳健估计的准则,统计决策的基本概念,容许性的概念.测量平差数据质量评估及质量控制理论的发展：经典的数据质量评估与质量控制理论,现代的方差协方差估计理论的发展,赫尔黙特方差估计理论,二次无偏估计法,方差分量的Bayes 理论,方差估计的精度评定.稳健估计主要介绍：稳健估计理论的发展,污染误差模型构成,污染误差模型在测量数据处理中的具体形式,稳健性度量的概念,各种稳健性度量准则,影响函数的定义,影响函数的确定.稳健估计的种类,稳健的M估计的原理,选权迭代法的基本原理,测量中常用的几种选权迭代法,均方误差最小的稳健估计,污染误差模型下的测量数据处理理论.一次范数最小的估计,一范最小估计的性质,一范最小估计的算法线性规划法,迭代法,P范最小的原理,算法.粗差探测的理论,data-snooping的原理和方法,可靠性理论内可靠性,外可靠性,稳健估计理论在测量中的应用及发展现状.时间序列数据处理的理论发展：实时动态数据的处理概况,动态数据的卡尔曼滤波动态模型的建立,滤波,动态数据的预报,动态数据的平滑,随机过程与时间序列的概念,平稳随机过程和平稳时间序列,时间序列的随机线性模型平稳自回归模型,平稳自回归可逆滑动平均混合模型,线性模型的自相关函数和偏相关函数,模型的初步识别,模型参数的矩估计,模型参数的最小二乘估计,模型的检验和改进时间序列的预报.多源数据的融合：多源数据的融合的基本概念,多源数据的融合的基本方法,先验信息的描述,Bayes估计的原理,Bayes准则,无信息先验,共扼分布,损失函数的概念,经验Bayes估计,Bayes假设检验,Bayes预测,Bayes估计在测量中的应用,方差分量的Bayes估计,Bayes 估计的广义可容许性.有偏估计：容许性的概念,病态方程问题,均方误差的概念,stein估计,岭估计,岭参数的确定,主成分估计,有偏估计在测量中的应用.02~08本文根据上述扩展,将作重介绍几种现代新发展起来的几种处理方法.2.几种创新方法介绍粗差—抗差估计抗差估计的提出是与粗差Gross error 相联系的,粗差指离群的误差,由失误、观测模式差、分布模式差而来,它实际不可避免,观测模式差是指局部对全局性的系统差,没有有效的估计方法,就结果而言,观测模式比估计方法更重要.所谓抗差估计,实际是在粗差不可避免的情况下,选择估计方法使未知量估值尽可能减免粗差的影响,得出正常模式下的最佳估值.抗差估计也包括方差估计和假设检验.最小二乘估计为粗差所吸引,使未知量估值偏离,但在正常分布模式下,此法具有优越的数学和统计性能.因此一个有效估计方法必须具有保留最小二乘法的优越性同时增加其抗差性.设有观测子样{i x }其相互独立,观测权为{i p },i 由1至n.M 估计是由观测{i x }求参量{j θ}的估值j 由1至m,余差为{vi}.求j θ的条件是p ρ就j θ极小,即1[][()][]0j j jPP P ρρυυυωυθυυθθ∂∂∂∂=••=••=∂∂∂∂ 1 其中ρ是挑选的极值函数.1式是估值方程,直接计算往往很困难,但它可改写为()0mnVPV A PV θ∂''==∂ 2 其中,1111mn n mVυυθθθυυθθ∂∂⋅⋅⋅∂∂∂=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂∂⋅⋅⋅∂∂,记为A 1(),()ii ii i i i i P P P P P Vρωυ∂==•=∂ ω称为权因子. 2式可以看作最小二乘解的法方程,相应观测方程nm nlmlnlA X V θ=+ 等价权P 3计算P 要知道υ,它可取适当的近似值,权的精度要求不高.我们称P 为等价权,因为取它作为观测方程3的权所得出的法方程,正是估值方程1.这样利用等价权P 可将M 估计化为最小二乘估计,这无论在计算、估算方案制定上都带来很大的便利,我们就充分利用它.通过权因子,可以对不同的极值函数ρ进行对比,反之,若规定了权因子,也可以找出相应的极值函数.下面列举几种通常有效的估计方案,这里作了适当的改化.在k υσ=时,权因子均为1,σ为观测权中误差, k 为倍数.1经典的最小二乘估计LS极值函数: 2()2i i υρυ=4权因子:1,权与i υ无关等价权: ii i P P =2绝对和极小LAS 或称一次范数最小极值函数: ()i i k ρυσυ= 5权因子: si ()()i i iiK gn K συσωυυυ==等价权: ii i i iiK P p p σωυ==3Huber 估计极值函数: 22,2()(),2i i i i i K K K K υυσρυσσυυσ<=-≥ 6权因子:1,(),i i i iK K K υσωυσυσυ<=≥等价权: ,,i i ii i i iP K P PK K υσσυσυ<=≥4丹麦法极值函数:222,2()(exp(1),i i i ii i K K K K K υυσρυυσσυυσσ<=-+-+≥ 7权因子: 1,()(1)/exp(1),i i ii iK K K K υσωυυσυσυσ<=--≥ 等价权: ,(1)/exp(1),I i ii ii i i P K P K P K K υσυσυσυσ<=--≥ 5IGGI 方案极值函数: 2,2(),,i i i i i i K K K C υυσρυσυσυγσυγσ<=≤≤≥ 8权因子: 0001,(),0,i i i ii K K K υσσωυσυγσυυγσ<=≤≤≥ 等价权: 0,,0,i i ii i i ii P K K P P K υσσσυγσυυγσ<=•≤≤≥抗差方案的选择IGGI 方案：从上节列举的几种估计方案看,一个有效的抗差方案应作如下考虑:有一界限K σ,i υ在限内采用最小二乘法,权因子为1;限外权因子随υ的增大由1逐渐减小.绝对和极小的最简单情形联系于中位数,正负余差权之和相等.观测变动只须保持余差符号不变,解不受影响,因此具有优越的抗差性.抗差理论证明,它的影响函数Influence function 绝对值不变不因粗差而异;其崩溃污染率Breakdown point 为权大值1/2污染率在此限内,估值在界内.这和最小二乘解平均值相比,具有明显的优越性.但由界限现代测量平差与数据处理理论的进展K σ向内,权因子由1无限增大,这与观测权大大不符.从测量误差理论来看,界限K σ之K 可取按正态分布,误差在±σ以外的概率仅为,限外之观测既不能完全否定,又要限制其有害作用,采用抗差权因子11bbK ωυσ+=+ 9以除低观测权是可取的.式中b 取正值.当余差超出±σ时,正常模式下,概率为,在观测模式可用的情况下,不应作为观测信息,即取0ω= 从抗差估计看,粗差也不能过大.如按绝对和方案5,当υ=σ时,仅达3/5,权因子缩小嫌慢.丹麦法权因子采用exp(1)K υσ-,且在叠代计算中累乘因子,没有抗差上的论证,它实质上是淘汰法.综上所述,余差在±σ以内,采用原观测权,即此段用最小二乘法; ±σ以外,观测不用,即淘汰法;在±σ~±σ之间包括±σ,按绝对和极小取权因子1/K ωυσ=作为抗差方案,这个方案就是IGGI 方案.09数据融合大地测量观测数据类型越来越多,有距离观测、方向或角度观测以及点的位置观测等,由于观测仪器、观测时间、观测方案不同,即使是同类型观测,也可能造成观测量间不相容.综合处理各类大地测量观测信息有多种模式,如序贯平差法1、整体平差法等.无论采用哪种平差方法,都涉及观测信息的函数模型和随机模型的构造与选择问题,同时还涉及数据融合的方式问题,即基于观测信息的融合或基于导出观测量伪观测量的融合.一般情况下,基于独立观测信息的融合是一种较为严密的融合.在实践中,大地测量数据融合经常需要虑函数模型误差和随机模型误差,如在2000中国GPS 大地控制网数据融合中,不同等级的GPS 观测函数模型顾及了函数模型误差如基准差、地壳形变误差、轨道误差等,在多时段、多等级的GPS 观测信息的融合中,采用了顾及各类随机模型误差的方差分量估计10,11.2.2.1 观测信息的融合2.2.1.1 基于观测信息的融合在进行观测信息的融合时,可以分别考虑函数模型和随机模型误差.现考虑两类观测信息1L 和2L ,相应的权阵为111P -=∑,.122P -=∑,1∑,2∑为相应的协方差矩阵,其误差方程分别为:111V A X L =- 1 222V A X L =- 2式中,X 为t ×1待估参数向量;1A 、2A 分别为1L 、2L 的设计矩阵;1V 、2V 为1L 、2L 的残差向量;1L 、2L 的维数分别为1n 、2n .式1和式2的参数解为:1111222111222()()T T T TX A P A A P A A P A A P A -=++ 3验后协方差矩阵为:210111222()T T KA PA A P A σ-=•+∑4211122212T T V PV V PV n n tσ+=+- 5 2.2.1.2 具有函数模型误差的观测信息融合解若考虑L1有系统误差,则可以对其函数模型进行改进,即1111V A X B S L =+- 6式中,S 为模型系统误差;1B 为相应的系数矩阵. 对式2和式6求解,则待估参数向量解为:1111222111111222111111111T T TT TTTT X A P A A P A A PBA PL A P L SB P AB PBB PL -++=•72.2.1.3 具有随机模型误差的观测信息融合解 若考虑观测向量1L 、2L 的随机模型误差,则121111101111111111211111022222222222()()()()2()()T T n tr N N tr N N N N tr N N N N V PV tr N N N N n tr N N tr N N N N V PV σσ------------+=-+8式中,111222T T N A P A A P A =+;1111T N A P A =;2222T N A P A =.解得201σ和202σ后,重新调整1L 、2L 的权:(1)21101/k k P p σ+=,(1)22202/k k P p σ+= 9若考虑观测函数模型误差,在估计正常模型 参数X 的基础上,同时解算模型系统参数S ,采用 方差分量估计调节1L 、2L 的权阵,此时,方差分量 估计式与式8相同,只是其法方程矩阵不同,即111222111111111T TT T TA PA A P A A PB N B PA B PB +=1111111111111T T T TA P AA PB N B P A B PB = , 2222000TA P A N = 2.2.2 各类观测信息平差结果的融合2.2.2.1 最小二乘融合解假设由观测方程1和2单独求解,其参数估值及相应的验后协方差矩阵分别为:11111111()T TX A P A A PL -= 10 12222222()T T X A P A A P L -= 1111211101()T X A PA σ-=•∑1221222202()T X A P A σ-=•∑13 基于1L 、2L 的单独平差结果的观测方程为:11X V X X =- , 111X X P -=∑14 22X V X X =- , 221X X P -=∑15其融合解为:1212112()()X X X X X P P P X P X -=++ 16当忽略201σ和202σ的差异时,基于观测信息的融合解式3与基于观测信息的单独平差结果的融合解式16是等价的.若考虑1L 有系统误差,其误差方程仍为式6,则系统误差S 对1X 的影响为:11111111()T TX A P A A PB S -∆=- 17 对残差的影响为:111111111()T T V A A P A A PB S -∆=- 18当忽略S 对201σ的影响,系统误差S 对最小二 乘融合解的影响为:1211111()T X X X P P A PB S -∆=-+ 19若考虑1L 有随机模型误差1∆∑其误差方程可采用方差分量估计重新标定1L 、2L 的方差因子及其相应的权阵.联合平差的方差分量估计已有现成的结果2-6.这里仅给出常用的Helmert 方差分量估计公式仍为式1,则随机模型误差对1L 的平差结果1X 的影响为:1111()X J L A X ∆=- 20对1X 的协因数的影响为:111X X Q JAQ ∆=- 21式中,1111111()TT X X J Q A AQA -=∆+∑;11111()T X Q A P A -=.1∆∑对最小二乘融合解的影响为:11211212121111212[()][()()][][]X X X X X X X X X X X P P P P P X X P X P P P X P X --∆=+∆++∆+∆+-++ 22 式中,1X P ∆为1∆∑对虚拟观测量1X 的权阵的影响量.如果同时考虑S 、1∆∑对参数估值1X 及其协方差的影响,将给实际计算带来极大困难.因为当1L 含有系统误差时,会对平差结果1X 有影响,虽对其协因数无影响,但对方差因子201σ有影响,从而对验后协方差矩阵有影响.当1L 有随机模型误差时,对平差结果1X 及其协方差都有影响,而且它们的影响是交叉的、不可分离的.2.2.2..2 具有函数模型误差的平差结果的融合 假使1L 的平差结果含有模型误差,则相应的观测方程为:1111X X V X R S X =+- 23式中,1X S 为模型系统误差;1R 为相应的系数矩阵.基于式23和式15的最小二乘融合解为:121121111111211112X X X X X T TT X X X X P P P R P X P X X S R P R P R R P R -++=•24比较式7和式24不难发现,这两种顾及函数模型误差的融合解一般是不等价的.当观测信息含有系统误差时,基于观测信息的融合解比基于平差结果的融合解更合理,因为基于平差结果的融合模式中无法分别考虑各观测信息的系统误差,即观测信息的系统误差已混叠到最后的平差参数中,即使在平差参数的观测方程中可以估计系统误差,但此时的系统误差已是各种误差的结合,其估计及控制效果都不如直接基于观测信息的融合.2.2.2.3 具有随机模型误差的平差结果的融合一般情况下,各类观测信息的内符合精度较高,因而导致各类观测平差结果的协方差矩阵过于理想,于是基于平差结果i X (1,2)i =及其i X P11111111222222221111112121111122()()()()2()()T X X X X X X X X x T x X X X X X X X X t tr N P tr N P N P tr N P N P V P V tr N P N P t tr N P tr N P N P V P V σσ------------+=-+ 25式中,12X X N P P =+比较式8和式25不难发现:①尽管二者都是Helmert 严密方差分量估计解,但由于二者 基于不同的随机变量,则解一般不等价;②基于观测信息的残差二次型一般远大于基于参数平差值的残差二次型;③基于参数平差值融合的方差分量估计解容易造成式25的法方程矩阵的对角线元素为负,甚至造成负方差现象.12非线性问题—非线性模型的参数估计测量平差与数据处理所涉及到的误差模型基本上是两种:函数误差模型和随机误差统计模型.随机误差模型主要用于观测值权的估计,这方面的内容将在专门的文献中论述.对于函数误差模型,测量学上大致有两种情形:1结构关系模型即函数关系明确,模型误差由参数测量的不准确引起.例如,平面上三角形的 三内角和为180°,这一函数关系明确,模型误差由实际测量角误差产生.2相关关系模型即函数关系不明确,模型误差由函数关系、参数的数量及参数的测量误差引 起.例如,在确定GPS 水准高程时,高程异常的拟合函数的选择带有主观性,函数关系不十分明确.对上述两类模型而言,只要二者的模型性质相同,参数的估计方法是基本一致的.在测绘领域内,人们习惯于在线性空间内研究一些问题,因此绝大多数的非线性问题都是通过转化为线性问题来解决的,究其原因:①测量平差与数据处理中多数非线性模型的线性性较强,模型中未知参数多有充分的近似值.基于这类模型的间接数据处理方法能够基本满足过去乃至现在一些实际工作对数据处理精度的要求;②理论上尚未提供成熟而又适用的非线性测量数据处理方法.测量平差与数据处理所涉及到的数学模型大多是非线性模型,对非线性模型作线性化处理必然导致信息的损失和特征的改变 1.随着测绘技术的进步和生产实践的发展,既有的间接数据处理方法可能成为制约测量数据精度进一步提高的主导因素.因此研究非线性模型空间内的测量平差与数据处理方法已成为当今测绘学科发展的迫切需要.2.3.1 非线性误差模型2.3.1.1 误差模型上节已经提到测量学上所涉及的函数误差模型有两种情形.对于结构关系模型下的参数点计,其数学模型如下:()i j i L f x e =+ (1,2,...;1,2,...)i n j m == 1a()0i E e = 1b()()Cov e r =∑ 1c式中, f 表示非线性函数关系,i L 是观测量,可能含有随机误差,小粗差及可变系统误差,考虑到粗差的随机特性及系统误差的二象性13,因此认为i e 是由i L Li 引起的随机误差分量;f 对i e 没有贡献.模型1a~1c 用于估计非随机参数j x 的或然值.对于相关关系模型下的参数点估计,测量数据处理上称为回归拟合或数字逼近.其数学模型如下:(;)i i i j i y f x s e εθ=+++ (1,2,...;1,2,...)i n j m == 2a()0;()0i i E e E ε== 2b()()Cov e r =∑ 2c式中,f 是非线性映射关系;i x ,i y 是直接观测量;s 是模型误差效应,主要由f 引起;随机误差i e 主要由i y 贡献,i ε主要由i x 产生,可根据实际情况决定是否考虑其影响.模型2a~2c 用于估计误差模型中未知参数j θ,s .2.3.1.2 随机误差模型假设式1c 、2c 中()r ∑是由方差—协方差构成的线性或非线性正定对称矩阵,r 是含在()r ∑中的未知参数.当()r ∑退化为∑时,随机误差模型呈线性形式.从测量误差统计的观点来看,∑大致有如下几种情形: 12I σ=∑ I 表示单位矩阵,式中子样观测值是相互独立的,且观测误差服从相同的概率分布,即等精度独立观测.2201,1,(...,)n diag p p p σ=∑或12222201,2(,...,)n n k nk diag I I I σσσσ=∑式中子样观测值是相互独立的,观测误差或组间观测误差不服从同一母体分布,即观测精度不等,组内观测精度相同. 3211112121121122..................n nm m m m m mnQ Q Q Q Q Q σσσσσσ=∑ 上式表明子样观测值是相关观测值,观测精度不等.此时1a 、2a 中的i e 应写成:i i i e ξη=+ 3i ξ为相关部分,i η是独立的随机部分.对于i ξ,其部分延流模式为:1i i i p u ξξ-=+i u ~2(0,)N σ,p 为延流比.1、2两种情形属经典意义下的随机误差模型,3属广义意义下的随机误差模型.误差假设的合理性可能通过对现有的数据进行残差分析和诊断分析作出评价.2.3.2 相关抗差估计准则迄今,最小二乘法在参数包括随机参数和非随机参数估计中使用频率最高.其目标函数为:2,1()[()]min ni i i RSS y f x θωθ=-=∑RSS θ 5式中i ω是大于0的权数,如果i y -,()i f x θ是相互独立的2(0,/)i N σω,则θ∧是θ的极大似然估计.对于5式,如果①,()i f x θ是线性函数或可线性近似的非线性函数时,参数估计量不是估计值具有无偏性、一致性和有效性;②,()i f x θ为强非线性函数时,参数估计必须经过迭代求解,参数的估计量具有有偏性.但最小二乘法存在两个明显缺陷:1ls θ的影响函数是个无界函数,崩溃点()0ls εθ=即LSE 对观测数据中哪怕是唯一的粗差十分敏感,并导致结果不可靠.2观测量或参数之间存在相关关系,即出现共线性时,设计矩阵X 的列向量线性相关,T X X 奇异或接近奇异,此时LSE 的精度很不稳定.实践中:①模型误差是普遍存在的;②均值漂移模型或方差扩大模型下的粗差处理都有其局限性;③测量数据多是时序样本值.因此,为克服最小二乘法的两个缺陷,相应地找到了两种处理途径:稳健估计和有偏估计.2.3.2.1 稳健估计稳健估计被设计为基本假设有误差或基本数据受扰动时,估计工作仍然良好.七十年代,提出了一类极有影响的Robust 估计方法—M 估计.其核心思想是:1()/min n i Zρσ=∑ 6式中,ρ是连续的凸函数,σ是标量因子,()i Z ρ有选权迭代和P-范数最小法两种不同的形式,对应着两种不同估计准则.针对1、2两类参数估计模型,按P-范数最小法求解较为实用.11()min n n p i ii ρυωυ==∑∑, 12,0i p ω≤≤> 7取1P =即为I-范和最小准则或1L 估计准则,对方差估计和非随机未知参数估计均适用.如果给定的约束条件为线性方程,则通用的算法是单纯形法14;如果给出的约束条件为非线性方程,则通常采用迭代求解.结合1、2和7式并令1P =有10..min ..()ni ii if s t L i f x ωυυ∧=-∑ 8式中i ω表示观测值的权,由1c,2c 确定;其它参数的意义同前.理论上, 1L 估计值不唯一,且缺乏验后统计特性,而实际上只要算法适当,可保证1L 估计的唯一性及估计量的无偏性.2.3.2.2 有偏估计有偏估计设计为当观测值之间或模型参数之间存在相关关系时,参数的估计量仍有较高的准确度.参数估计的准确度用均方误差表示如下:(ov )()()()E tr C MSE Q P x x x x ∧∧∧=+- 9 适当增加偏差P ,换取方差Q 更多的减少,从而使偏差和方差的总影响减小.这里P 反映系统误差;Q 反应随机误差.此时均方误差体现准确度的函义.1970年 &提出了一种着名的有偏估计方法—Ridge Estimation 岭估计.其基本思想是:设有非线性模型()L F X =+∆ , 2~(0,)N I σ∆依据均方误差和最小准则21{[]}()()min ()()n Tj SMSE Var bias E X X j j x x X X ∧∧∧∧==+=--=∑ 10 用迭代法求得参数的估值X .10式中X ∧为参数的有偏估计, X 为参数的真值,一般未知.实际计算时,一般认为1i X +是比i X 更接近真值的准真值.2.3.2.3 相关抗差有偏估计测量数据中往往是既存在样本粗差或残余样本粗差,又存在样本之间或模型参数之间的相关性.如果单以1L 范数和最小或者SMSE 和最小准则为依据估计参数,势必不能同时克服最小二乘法的两个弱点.对于线性模型,文献15提出相关抗差主特征根估计法,对于非线性模型,本文提出以SMSE,LAS 为非线性多目标优化极小为准则,即在8式的基础上加上目标条件:()()T SMSE E X X X X ∧∧=-- 11 式中参数意义与10式同.由于8式中的约束函数不作线性化,目标函数必须通过迭代求解.2.3.3 非线性目标函数的迭代解在数学领域迭代算法有比较成熟的理论,提的算法较多.针对具体的测量问题,应根据非线模型随机非线性误差模型在此不作讨论的不特点采取相应的迭代方法并加以改造.对于测量差中的多参数关系型函数模型,由于模型中未知数多有充分的近似值,这种近似值可以是历史据,也可以是粗略的观测值,采用Gauss-Newto 迭代法效果好,收敛快.对于测量数据回归分析的少数相关关系模型,因缺乏初值的先验信息,用最速下降迭代法较为有利.不失一般性,将8式变化为()()min i i F X Wf X WL ωυ==-=∑ 1212式中()F X 是函数向量,W 是权向量,L 是测值向量,最速下降法要求函数()F •在迭代点的负梯度方向获得最快下降,因此沿直线搜索第k + 1次迭代点(1)k X +即:(1)()()()k k k k X X F X τ+=-∇ 1313式中k ττk 为步长因子,应使它满足()()()(())()k k k k F X F X X τ-∇< 14于是构成自由极值函数:()()(())min k k k F X F X τ-∇= 1513、15式为最速下降法的基本解式.对于12式,()F X 在()k X 处的梯度为:()()()()k kk k X X X X F X F X F X W WB X X ==∂∂∇===∂∂ 16 将16式代入15得: ()()()()min k k k k k k F X W B Wf X W B WL ττ-⨯⨯=-⨯⨯-= 1717式对k τ求导并令其为零,化简得:10k B += 18由18式可解得k τ.最速下降法的算法步骤如下:①设k = 0,首先由外部提供一初值;②生成方向,确定向量 ()()k F X ∇作为当前这一步的方向;③直线搜索,确定正比例步长因子k τ;④判断是否满足迭代终止目标,如果满足,则将(1)k X +作为12式的解,否则将k 加1回到②步,继续迭代.算法的特点如下:①对初值的依赖性较弱;②不需要任何高于一阶的偏导数,无需矩阵求逆;③参数值直接代入非线性模型求解.16~173．结束语大地测量函数模型与随机模型是大地测量数据处理必须要涉及的模型.经过众多学者不懈努力,中国学者根据大地测量应用实际,构建和改进了许多函数模型,如广义测量平差模型、等价观测方程、非线性平差模型等；在方差分量估计和误差检验方面做了大量创新性工作,如基于Bayes估计的方差分量估计、拟准误差检验等,丰富了测量平差理论与方法.本文只是重点介绍其中几个中国学者在大地测量数据处理函数模型、随机模型和误差检验方面所取得的成就.当然,以上只是众多学者研究成果中的很少一部分,还有很多学者的重要成果未被介绍. 但可以肯定的说,中国学者在大地测量数据处理这方面的研究取得了令人瞩目的成就.由于大地测量技术的发展,观测种类越来越多,观测模型越来越复杂,测量平差与数据处理的理论和方法必将得到进一步的发展,在各种新技术中的应用将越来越重要.参考文献01 朱建军,宋迎春. 现代测量平差与数据处理理论的进展J.工程勘察.02 杨元喜,秦显平.近五年中国大地测量数据处理理论与方法进展.测绘技术装备.03 岑敏仪,卓健成,李志林,丁晓利2003.判断观测值粗差能否发现和定位的一种验前方法.测绘学报,322:134-138.04 归庆明,张建军,郭建锋2000.压缩型抗差估计.测绘学报,293:224-228.05 欧吉坤1999a.粗差的拟准检定法QUAD法.测绘学报,281:15-20.06 陶本藻2001.形变反演模型的非线性平差.武汉测绘科技大学学报,266:504-508.07 杨元喜,宋力杰,徐天河2002.大地测量相关观测抗差估计理论.测绘学报,312:95-99.08 张正禄,张松林,罗年学,冯琰2003.多维粗差定位与定值的算法研究及实现.武汉大学学报,信息科学版,4:400-404.09 宁永香,郝延绵.误差理论与抗差估计j.煤炭技术.200110 唐颖哲,杨元喜,宋小勇. 2000国家GPS大地控制网数据处理方法与结果J.大地测量与地球动力学,2003,233: 77-8211 成英燕,程鹏飞,秘金钟,等.天文大地网与GPS2000网联合平差数据处理方法J.武汉大学学报·信息科学版,2007, 322:148-15112.杨元喜,曾安敏.大地测量数据融合模式及其分析J.武汉大学学报·信息科学版,2008,,13 周江文.系统误差的数学处理J.测绘工程,1999214 周江文.测量极值问题的经验解式—兼论绝对和极小问题J.测绘学报,1999115 归庆明,张建军.相关抗差特征根估计C.95’大地测量综合学术年会论文集.郑州:中国人民解放军测绘学院,199516 李朝奎,黄力民,黄建博.基于非线性误差模型的参数估计.测绘工程.2000 Vol 9,17王新洲2000.非线性模型平差中单位权方差的估计.武汉测绘科技大学学报,254:358-361。
第六章近代平差简介
• b)秩亏测边网或边角网重心基准 • c)秩亏测角网重心基准
• 以上两项均有: i 1 条件成立， i 1 参照a)的水准网重心基准，可知b)、c)两项中也 有重心基准条件存在。
i
ˆ x
m
ˆi 0 0 , y
m
6、秩亏自由网平差的一些特性 • 1)参数估计值的有偏性
~ 由 Ax l
T T • 2)、x ˆ x ˆ min与G x ˆ 0等价
ˆ U 0的条件下，对x ˆ有 不同基准下的平差，均 是在满足Nx ˆ解。设有满足不同基准 不同的约束，故而产生 了不同的x 的 ˆ1 U 0 Nx ˆ1、x ˆ 2，有： 两个最小二乘解 x ˆ2 U 0 Nx ˆ1 x ˆ2 0 上两式相减： N x ˆ1 x ˆ 2＝GD 考虑：NG＝0 故有：x ˆ x ˆ GD 式中D未知， x ˆ T x ˆ min,需要： 若要满足x ˆ T x ˆ ˆ x T x ˆ ˆ T G＝0 x ˆ T x ˆ min G T x ˆ 0 ＝2 x ＝2 x D D
• 1)、水准网的G阵
2 －1 －1 如前例：N＝－1 2 －1 其中：R N 2, d 1 －1 －1 2
N有一个为零的特征值。 设其特征向量为：G＝ g1
g2
g3
T
2 －1 －1 g1 NG 0 －1 2 －1 g 2 0 －1 －1 2 g 3 得通解：g1 g 2 g 3 c－－任意常数 标准化后：G ＝
T
若G阵经标准化： G G＝I 则可用：Q x ˆx ˆ＝QG－GG
T
T
注意：秩亏网平差的广 义逆法及附加阵法均是 在最 小二乘原则下得到法方 程后，由于其系数阵秩 亏， 再加上最小范数约束而 得到的结果，所以这两 种平 差法的结果完全相同。
08第八章 概括平差函数模型共10页文档
第八章 概括平差函数模型§8.1概述在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。
若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：（1）、条件平差：0)ˆ(=L F ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -= （2）、间接平差：)ˆ(ˆX F L=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+= （3）、附有参数的条件平差：0)ˆ,ˆ(=X LF ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。
（4）、附有限制条件的间接平差：)ˆ(ˆX F L =，0)ˆ(=ΦX 。
选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。
所以除列出n 个误差方程)ˆ(ˆX F L=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)ˆ(=ΦX。
方程数c=n ＋s 。
由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差方法的纽带。
另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。
为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。
在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内： t u ≤≤0。
也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。
在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。
由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。
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56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左