高级微观经济学 第四章 成本最小化 PPT

来自f (x*) xi0
f (x*) y
• 写成向量形式
wDf (x*)
• 如何解释一阶条件的经济含义？技术替代 率等于经济替代率
f x*
w i
xi
w j f x*
x j
• 如果不满足，则存在调整的空间来保证产 出但是节约成本
f x* w i 2 1 xi
w j 1 1 f x*
第四章 成本最小化
内容要点
一、成本最小化视角： 一阶条件
二、成本最小化的二阶条件
三、条件要素需求函数
四、成本最小化弱公理
一、成本最小化的微分分析
• 将成本最小化写成规划问题
min wx x
s.t f ( x ) y
写出拉格朗日函数并求解一阶条件
L(, x) wx ( f (x) y)
wi
x j
• 此时减少1单位i，增加1单位j，同样能够
保持产出不变，但是可以减少成本。
二、二阶条件
1、两种要素的情况
当投入要素1和2发生微小变动时，运用泰勒
展开，写成矩阵形式 f ( x1 h1 , x 2 h 2 )
f
( x1,
x2 )
(
f1 ,
f2 )
h1 h2
1 2
( h1 , h2 )
f2
f12
f 22
• 若此海塞加边矩阵行列式为负，则说明未 曾加边的那个矩阵在约束条件下为半负定 ，即成本最小化的二阶条件满足。二阶条 件得到满足
• 若是三个生产要素，海塞加边矩阵的形式 为
D 2 L ( , x1 , x2 , x3 )
0
f1
f2 f3
f1
f11 f21 f31
m in w1x1 w 2 x2 s.t.x1 x 2 y x1 0, x2 0
则等价的最大化问题为
m ax ( w1 x1 w2 x2 ) s.t. ( x1 x2 ) y x1 0, x2 0
• 写出拉格朗日函数及一阶条件（松弛条件）
L(x1, x2, ) (w1x1 w2x2 ) ( y x1 x2 )
x
2 1
2L
x 2 x1
2L
x2
2L
x1 x 2
2L
x
2 2
0
f1
f2
f1 2L
x
2 1
2L
x 2 x1
f2
2L
x1 x 2
2L
x
2 2
• 海塞加边矩阵
D 2 L ( , x1 , x2 )
0
f1
f 2
f1
f11 f21
f2
f12 f22 f32
f3
f12
f 23 f33
• 要求这个海塞加边矩阵的三阶四阶行列式 在最优选择处的取值都为负
二、成本最小化的求解
1、要素需求函数
对每个w和y的选择，都存在使生产y单位产 出成本最小的某个x*的选择。将给出这个最
优选择的函数称作条件要素需求函数，把
它记作x(w，y)。
FOCs :
x1 : w1 0, x1 0, x1(w1 ) 0 x2 : w2 0, x2 0, x2 (w1 ) 0 : y x1 x2 0, 0, ( y x1 x2 ) 0
• 注意这里的处理方法： 1．统一写成最大化问题处理 2．非负限制不引入拉格朗日乘子，而是直 接写出松弛条件
yab
x2(w1,
w2,
y)
1
A ab[
aw2 bw1
a
] ab
1
yab
• 其成本函数为
c(w1,w2,y)
Aa1 b[(a)ab b b
(b a)aab]w1a abw2ab bya 1b
• 若正规化技术A=1，并采用规模报酬不变，有
C Kw1a w12a y K aa (1 a)a1
给我们什么启发？ 1．此时成本完全是产量的线性函数
• 逐步放松松弛条件：
1 .x1 x2 0 y 0 2 .x1 0 w 1 x2 0 w 2 w1 w 2 x2 y 3 .x2 0 w 2 x1 0 w 1 w 2 w 1 x1 y 4 .x1 0 , x 2 0 w 2 w 1
注意：条件要素需求函数依赖于要素价格
和产出水平y，和产出价格无关。
2、求解的困难 （1）柯布-道格拉斯生产技术
c(w, y) m x1,ixn2 w1x1 w2x2 s.t.Ax1ax2b y
取对数有可能简化运算。求得条件要 素需求函数为：
x1(w1,
w2,
y)
1
A ab
[aw2 bw1
b
]ab
1
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
3、从拉格朗日方程考察二阶条件
L ( , x1, x 2 ) w 1x1 w 2 x 2 [ f ( x1, x 2 ) y ] D 2 L ( , x1, x 2 )
2L
2
2L
x1
2L
x 2
2L
x1 2L
f11 f21
但要求成本不变，即有
f12 h1
f22
h2
w 1h1w2h20
w 1h1w2h2f1h1f2h20
• 故二阶条件简化为
f(x1h1,x2 h2) f (x1,x2)12(h1,h2)ff1211
f12h1 f22h2
• 成本最小化点要求：此时沿着等成本线任 何方向移动，产出都下降
（3）里昂惕夫生产技术 成本函数也是产出的线性函数
f (x1, x2)=min{ax1,bx2}
c(w1, w2,
y)
y( w1 a
w2 b
)
线性技术生产函数的成本函数也具有
线性形式：
f (x1, x2) ax1 bx2
c(w1,
w2,
y)
min(w1 a
,
w2 b
)y
（4）线性生产函数：角点解 需要使用库恩-塔克条件
2．a越大，则要素1价格变化对成本影响越大
（2）CES技术的成本函数
1
f
( x1 , x2 )
( x1
x
2
)
m in w1 x1 w2 x2
s .t . x1
x
2
y
•
令 r/(1)成本函数写为
1
c(w 1,w 2,y)y(w 1 r w 2 r)r
• 作为练习，写成一般化CES情形下的成本函 数
(h1,
h2
)
f11 f21
f12 f22
h1 h2
0
对所有(h1, h2 )，满足(
f1,
f2
)
h1 h2
0
2、推广到多种要素的情况 二阶条件概括为：生产函数的海塞矩阵
是满足线性约束的半负定矩阵
htD2 f (x*)h0
对所有h满足wth0
如何判断一个矩阵是半负定的？ 顺序主子式负正相间； 约束条件下的判断方法：设法将约束条 件与原矩阵写成加边矩阵，若加边矩阵顺 序主子式始终不变号，则原矩阵在约束条 件下构成半负定矩阵。