新课标人教A版必修一 3.1函数与方程(课件)

⇔
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象 如图 我们 的图象(如图 例:观察二次函数 观察二次函数 的图象 如图),我们 发现函数f(x)=x2-2x-3在区间 发现函数 在区间[-2,1]上有零点 计 上有零点.计 在区间 上有零点 的乘积,你能发现这个乘积有什么特 算f(-2)与f(1)的乘积 你能发现这个乘积有什么特 与 的乘积 在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢 上是否也具有这种特点呢? 点?在区间 在区间 上是否也具有这种特点呢
函数零点的性质: 函数零点的性质
如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线 上的图象是连续不断的一条曲线, 如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f(a) • f(b)<0,那么 函数 那么,函数 在区间(a,b)内有零 并且有 那么 函数y=f(x)在区间 在区间 内有零 即存在c 使得f(c)=0,这个 也就是方程 这个c也就是方程 点,即存在 ∈ (a,b),使得 即存在 使得 这个 f(x)=0的根 的根. 的根
方法2:将函数 方法 将函数f(x)=lnx+2x-6零点个数转化为函 将函数 零点个数转化为函 的图象交点的个数. 数y=lnx,y=-2x+6的图象交点的个数 的图象交点的个数
练习:书本 页 ． 练习 书本97页1．２ 书本
小结:1方程的根与函数的零点的关系 小结 方程的根与函数的零点的关系; 方程的根与函数的零点的关系 2.判定方程在某个区间上存在根的基本步骤 判定方程在某个区间上存在根的基本步骤. 判定方程在某个区间上存在根的基本步骤 3体现特殊到一般的思想 数形结合 转化的思想 体现特殊到一般的思想,数形结合 转化的思想. 体现特殊到一般的思想 数形结合,转化的思想
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数 的零点的个数. 例1:求函数 求函数 的零点的个数
的对应值表和图象. 解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象 用计算器或计算机作出 ， 的对应值表和图象
x F(x) 1 -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 5 5.6094 6 7.7918 7 9.9459 8 9
结论:函数的零点就是方程的实数根 也就是函数的图 结论 函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图 函数的零点就是方程的实数根 象与x轴的交点的横坐标 轴的交点的横坐标.即 象与 轴的交点的横坐标 即
方程f(x)=0有实数根 有实数根 函数y=f(x)的图象与 轴 的图象与x轴 方程 函数 的图象与 函数y=f(x)有零点 有交点 ⇔ 函数 有零点
b
函数y=f(x)图象与 轴的交点情况 有没有 有几个 图象与x轴的交点情况 有没有?有几个 函数 图象与 轴的交点情况(有没有 有几个?)
函数零点的概念: 函数零点的概念
对于函数y=f(x),我们把使 我们把使f(x)=0的实数 叫做函数 的实数x叫做函数 对于函数 我们把使 的实数 叫做函数y=f(x)的 的 零点. 零点
∆=b2-4ac ax2+bx+c=0的实根 的实根 y=ax2+bx+c图象与 轴的 图象与x轴的 图象与 交点
∆>0
有两个不等的实根x 有两个不等的实根 1,x2
(x1,0),(x2,0)
∆=0
有两个相等的实根x 有两个相等的实根 1=x2
(x1,0)
∆<0
无实数根
无交点
问题提出 一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0) ≠0)的根与二次函数 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 +bx+c(a≠0)的图象有什么关系? ≠0)的图象有什么关系 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?
12.079 14.197 4 2
由表和图可知,f(2)<0,f(3)>0, 由表和图可知 这说明函数f(x) 则f(2) •f(3)<0,这说明函数 这说明函数 在区间(2,3)内有零点 由于函 内有零点.由于函 在区间 内有零点 在定义域(0,+ ∞ )内是增 数f(x)在定义域 在定义域 内是增 函数,所以它仅有一个零点 函数 所以它仅有一个零点
不计算函数值,不列出数据表格 也不画函数 不计算函数值 不列出数据表格,也不画函数 不列出数据表格 f(x)=lnx+2x-6的图象 能得到本题的结论吗 的图象.能得到本题的结论吗 的图象 能得到本题的结论吗? 方法1:寻找函数值符号的变化规律 方法 寻找函数值符号的变化规律. 寻找函数值符号的变化规律
一元二次方程
方程的根
二次函数
二次函数的图象
y=x2-2x-3 X2-2x-3=0 X1=-1,x2=3 =(x-1)2-4 (-1,0),(3,0)
X2-2x+1=0
X1=x2=1
y=x2-2x+1
(1,0)
X2-2x+3=0
无实数根
y=x2-2x+3
无交点
对于一般的一元二次方程ax 对于一般的一元二次方程 2+bx+c=0(a≠0)与 与 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)关系 二次函数 关系. 关系
3.11方程的根与函数的零点
问题提出 一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0) ≠0)的根与二次函数 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 +bx+c(a≠0)的图象有什么关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ? ≠0)的图象有什么关系 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?
填表: 填表
图象与x轴 图象与 轴 的交点
问题:能否把二次函数 问题 能否把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和一元 能否把二次函数 和一元 二次方程ax 二次方程 2+bx+c=0(a≠0)的关系推广到一般函 的关系推广到一般函 数与方程的关系上? 数与方程的关系上
方程f(x)=0的实根情况（有没有?有几个 的实根情况（有没有 有几个 有几个?) 方程 的实根情况
归纳: 归纳
方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根 ⇔ 二次函数 有实数根 y= ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点 +bx+c(a≠0)的图象与 的图象与x轴有交点 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根 ⇔ 二次函数 没 y= ax2+bx+c(a≠0)的图象与 轴没有交点 的图象与x轴没有交点 的图象与