2009哈工大级研究生《数值分析》试卷

2009级研究生《数值分析》试卷
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为x
y
y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由
统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限
)(u ε和相对误差限)(u r ε.
二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .
三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[12
1
)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精
度.
四.(12分) 已知函数122)(2
3
-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间
},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.
其中,权函数1)(=x ρ,15
4
))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.
五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:
(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):
(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.
(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)
(1). 用Romberg 方法计算⎰3
1
dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).
(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈1
1
2
)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数
k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰3
1dx x .
七.(14分)
(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5
110||-+<-k k x x ). 八. (12分) 用追赶法求解方程组:
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.
九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==0
0)()
,('y x y y x f y 的计算格式为:
)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .
2008年春季学期数值数学试题
一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：
⑴试建立求1
a
的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；
⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为02
0x a
<<；
⑶该迭代的收敛速度是多少？
⑷取00.1x =，计算1
5
的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。

332
,01
()1(1)(1)(1),132
x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪
=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？
三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组
123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组
123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性
五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2
b
a
a b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。

六．（10分
用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。

七．（10
建立不超过三次的Newton 插值项式。

八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式
1011
()(f x dx A f A f -≈+⎰
有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此 公式计算积分311
I dx x
=⎰（结果保留5位小数）。

九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：
20,
01
(0)1
y y x y '=-≤≤⎧⎨
=⎩
在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。

10．（10分）讨论两步方法 11112
(4)33
n n n n
y y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中
10111[()()],2,3,!p p
r
r r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭
∑∑ ）
2003年研究生“数值分析”试题
一，（8分）设0>a 为实数，试建立求
a
1
的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算，并证明：当初值0x 满足a
x 2
00<
<时，此格式时收敛的。

二，（6分）用Doolittle 分解法解方程组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201814513252321321x x x
三，（8分）设⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示方程组d Ax =的Jacobi 迭代法及Gauss －Seidel 迭代法收敛的充分必要条件。

四，（8分）设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120122101A ，⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=3/23/12/1b 。

已知它有解T x )0,31
,21(-=，
如果右端有小扰动6102
1
-∞
⨯=
b
δ，试估计由此引起的解的相对误差。

五，（10分）求出一个次数不高于4次的Hermite 插值多项式)(x P ，使它满足0)0(')0(==P P ，
1)1(')1(==P P ，1)2(=P ，并写出余项表达式。

六，（6分）用Romberg 方法计算积分⎰-1
0dx e x ，计算到0.3T 。

求有理插值函数)(x R 。

八，（6分）设
（1）⎩⎨⎧≤≤≤≤-+++=2
11012)(2
3
2
3x x cx bx x x x x f 是以0，1，2为节点的三次样条函数，求出c b ,。

（2）00
112)(3≥<⎩⎨⎧++++=x x bx x x ae x f x
是以0节点的三次样条函数，求出b a ,。

九，（10分）求出二点Gauss 求积公式)()()(11001
1
x f H x f H dx x f +≈⎰-中系数0H ，1H 及节点0x ，
1x 。

并用此公式计算积分⎰=20
cos π
xdx I （结果保留5位小数）。

十，（6分）用逆Broyden 秩1方法求方程组0439)(322213
2121=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---+=x x x x x x x F 的解，取初值T T x x x )6.1,2.1(),(210==，来计算迭代二次的值。

十一，（6分）使用乘幂法求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=20101350144A 的最大特征值和对应的特征向量（只需计
算前两次迭代的值）
十二，（20分）考虑线性多步方法)''()3(2
1
)(1211---++++
+--=n n n n n n y y h y y y y αα （1） 证明存在α的一个值使方法是4阶的； （2） 写出局部截断误差的首项；
（3） 当使用用4阶方法时，需要几个初始启动值（表头），通常情况用什么方法计算表头；
举出一个实例并写出公式表达式；
（4） 讨论收敛性，如方法是收敛的，其阶数应不超过多少？ （5） 讨论绝对稳定性。

（其中在局部截断误差中]})1()([1{!11
10i p
i q p i i q
q b q a i q C ∑∑-=-=-+--=
,3,2=q
三次方程023=+++c bt at t 根1t ，2t ，3t 满足关系⎪⎩
⎪
⎨⎧-==++-=++c t t t b t t t t t t a
t t t 321133221321 ）
2001/2002年研究生“数值分析”试题
一，
试解答下列问题
1，已知143)(345+-+=x x x x f ，求：
],,,,,[543210e e e e e e f 和],,,,,,[6543210e e e e e e e f 2，若n n y 2=求n y 4∆和n y 4∇
3，判断下列函数是否是三次样条函数 i
2
11001)1(0)(233
<≤<≤<≤⎪⎩
⎪⎨⎧
-+=x x x x x x x f －
ii
⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=1
0011
2212)(3
3x x x x x x x f
4，已知⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--=4231A 求p A ，F p ,,2,1∞= 5，试用Euler （尤拉）公式求解初值问题（1.0=h ）
⎪⎩⎪⎨
⎧<<=-=3.00,1
)0(2'x y y x y y 二， 设0>a 为实数，试建立求
a 1
的Newton （牛顿）迭代公式，要求在迭代中不含除法运算，证明当初值0x 满足a x 200<<时，此算法是收敛的，并用此算法计算99
1
的近似值（保
留4位小数）。

三， 应用Doolittle （杜利特尔）方法解线性方程组
2333220221321321=--=++=++x x x x x x x x 四，
设给出x cos 的函数表))
1(
'1,900(︒==︒≤≤︒h x （拉格朗日）插值计算︒03.15的近似值。

五，
已知Legedre （勒让德）多项式)(1x P 的零点为3
1±
，试用Gauss －Legedre 求积公式
计算⎰-+4
42
11
dx x 的近似值。

（保留4位小数）
六，
应用Romberg （龙贝格）积分法计算定积分⎰
31
1
dx x
的近似值（精确到小数点后4位，其真值为1.098612289）。

七， 试讨论求解常微分方程初值问题的Simpson （辛卜生）方法
)''4'(3
1111-+-++++=n n n n n y y y h
y y
的稳定性
八， 分别用Jocobi （雅可比）和Gauss －Seidel （高斯－塞德尔）迭代求解下面的方程组（初
值取T x )0,0,0(0=计算1x 和4x ）
2
4642
4) ()1()3()2()1()3()2(=-=-+-=+x x x x x x x
九， 试回答，在Lagrange （拉格朗日）插值方法中，是否插值多项式的次数越高，插值精
度也越高？为什么？
2000年研究生“数值分析”试题
一， 填空（20分）
1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。

2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。

3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈n
k k k x f A dx x f 0
1
1
)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要
条件是_________。

4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。

5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。

6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）
（1）2
1100
1)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩
⎪⎨
⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=1
0011221
2)(3
3x x x x x x x f
二，（10分）
在22-≤≤-x 上给出x
e x
f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差
不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？ 三，（10分）
四，（10分）
设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，
试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件
)()(j j x f x p = =j 0，1，2，3
)(')('11x f x p =
推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式 五，（10分）
试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分
⎰
3
1
1
dx x
，并精确到小数点后4位。

六，（10分）
利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式
)''4'(3
1111-+-++++
=n n n n n y y y h
y y 并指出次方法的阶 七，（10分）
设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为
)()()(x f x m x x F -=
证明： 当1
)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。

当1)]('[)(-=ααf m 时，)(x F 至少是二阶的。

八，（10分）
试对方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=+-12
8243220301532321
321321x x x x x x x x x ，对收敛的Gauss －Seidel 迭代格式，并取T x )0,0,0()0(=， 计算到)2(x
九，（10分）
试证明高斯求积公式∑⎰=-≈n
k k k x f A dx x f 1
1
1
)()(的求积系数k A 恒为正。