数学人教版八年级上册第12章全等三角形第3节第二课时角的平分线的性质

求证： AD平分∠BAC .
BFAD来自E【变式】 3、已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC.
A
E
F
1
B
D2 C
应用新知，解决问题
1.这节课你有什么收获与体会？ 2.这节课我们学习了哪些知识要点？ 3.怎样用数学语言表达角的平分线的判定定理？
4.你还有哪些困惑？
直线的距离相等．
证明：过点P作PF⊥AB于F， PG⊥AC
于G，PM⊥BC于M
G
∵点P在∠CBF的平分线上，
∴PF＝PM
MP
同理 PM＝PG
F
∴ PF＝PM=PG
即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
课堂练习
2、已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于
F，BE、CF相交于D， BD=CD .
∴ PD＝PE
角的平分线的性质1: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
图形
已知条件
结论
DA
OP平分∠AOB
O
1 2
P C
PD⊥OA于D
EB
PE⊥OB于E
PD=PE
DA
PD=PE
O
P C PD⊥OA于D
OP平分∠AOB
EB
PE⊥OB于E
角平分线的性质2:
角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上。
BD=CD，BF⊥AC于F，
公路
CE⊥AB于E。求证：点D在 ∠BAC的角平分线上。 E B
公路
S
铁路
第2题
第3题
A
D
课后达标：
┌ F
C
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
布置作业：
• 课本第51页习题12.3第3、6、7题.
1、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上. 2、如图，要在S 区建一个广告
M C D
牌P，使它到两 条公路和一条铁
F
路的距离都相等．这个广告牌P A
EB
N
应3、建如在图何所处示？，BF与CE相交于D， 第1题
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
P
证一证 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
PO＝PO，
PD=PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
c P
∴ ∠ POD＝∠POE，
∴点P在∠AOB的平分线上.
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
p
∴OP平分∠AOB．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, OP平分∠AOB
求证：AD是∠BAC的角平分线
A
分析: AD是∠BAC的平分线
DE＝DF
E
F
B
D
C
△BDE≌△CDF
例题2.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交
于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距 ∵离证于B相M明F是等：△.过A点BCP的作角P平D⊥分A线B，于点DP，在PBEM⊥上B（C于已E知，）PF⊥AC
解决问题
问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到
铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺 为1︰20000）
s
解：作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
O
sD
C
例1：已知：如图,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
12.3角的平分线的性质 （二）
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，点P在OC
上， PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ PD = PE 不必再证全等
D
A
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
O
E
B P到OB的距离
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
A ∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边
ND
F M
AB、BC、CA的距离相等.
P
结论：三角形三条角平B分线相交于一点．E
C
1、如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平
分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在
填空：
A
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D__C_=_D__E___
C
D
B
(___在__角__平___分__线__上___的__点__到__角___的__两__边___的__距__离__相___等_)
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__∠__1_=_∠__2__ (_ 到__一__个__角__的__两___边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上_)。