第十章 简单静不定问题
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图10-8
A
解：1. 静力平衡
M xA M xB
2.变形协调方程
A B
图10-9
3. 物理方程
A
M xAl A GI pA
B
M xBlB GI pB
M xA l A l ( B ) G I pA I pB
Mx
G
lA l B I pA I pB
目录
A
EIZ
q
A
3.用叠加法求变形，建立补充方程
wB 1
wB 2
EIZ
B
qL4 FB L3 0 8 EI Z 3EI Z
3 FB ql 8
A
EIZ
B
FB
目录
1 M A ql 2 8
q
C
L
A 5 FA ql 8
5 ql 8
x
+ -
4.取梁AB为研究对象，建立平衡方程 B 3 5.作内力图 FB ql 8 3 3 FQC qx ql 0 x l 令 8 8 3 1 9 M C qlx qx 2 ql 2 8 2 128
FW
2.找变形几何关系:
Fst l FW l 3.物理关系: lW lst EW AW Est Ast Fst FW 补充方程: Est Ast EW AW
Ast 3.086cm2
250 250
查表知，40mm×40mm×4mm等边角钢
Ast 4 Ast 12.34cm2 ,
目录
对于n次静不定结构，解除n个多余约束，加上个多余约束反力X1、 X2、…
Xn,以 ij 表示Fj0引起的沿Xi方向的位移，以 iF 表示外载荷引起的相应位移。 而原系统在多余约束处的位移为零（或已知），故有
C
B
FC
L2
L2
FB
q
A
3 qL 16
2.变形协调方程 5qL4 FC L3 48EI Z 384 EI Z
wC q wC FC 0
0
5 FC qL 8
FB
FA
C
5 qL 16
B
FC
+
+ 4.22kN m
3.列静力平衡方程 L qL2 M A 0 FC FB L 0 2 2 Fy 0 FA FB FC qL 0 4.作内力图
建立补充方程
一、求解拉压静不定问题的约束反力
目录
例题10-1
解：1、列出独立的平衡方程
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F 0
l1
l2
l3
2、找变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
FN 1l l1 EA cos
2 F6 2
F5 =F6
A
F2 F6
FN6 1 F6
FN1 2 F6 2
F1
2 F6l 6 F l F F6 2l 2 F6l 2 Ni i Ni 2 4 2 (1 2 ) i 1 EA F EA 2 EA EA 6
F6
EA
2l (1 2 )
2EA F1 F2 F3 F4 （ 2） 41
目录
例题10-2 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σ
st]=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力
[σ W]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。
F
F
解： 1.写平衡方程:
F FW Fst
l st l w
Fst
FW 0.717F
AW 25 25 625cm2
目录
代入数据，求得
Fst 0.283F
F
4.根据角钢的强度条件确定F
0.283F st st Ast
5.根据木柱强度条件确定F
F 698 kN
250
0.717F W W AW
250
F 1046 kN
1
F1
2m
2m
A
解：1.列静力平衡方程 2.变形协调方程
4m
M
A
0
F1 2F2 0
L2 2L1
L1
FAx FAy
F2
2
1m
3.物理方程
F1L1 1TL1 E1 A! FL L2 2 2 2 TL2 E2 A2 L1
解得
L2
F2 5.14kN F1 10.28kN
M
max
3 qL 16
3 qL 16
5 qL 16
-
3 qL 16
7.5kN m
4.22kN m
+ 7.5kN m
+
5.建立强度条件 M max 32 M max 76.4MPa 3 WZ d 梁安全
目录
例10-10 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，
静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高
目录
二． 基本静定系（静定基），相当系统 基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。
MC
MA
MC
MB
F F’
目录
第二节 拉压静不定问题
静不定结构的求解方法：
1、列出独立的平衡方程
2、找变形几何关系 3、物理关系 4、求解方程组
第十章 简单静不定问题
第一节 静不定结构的基本概念 第二节 拉压静不定问题 第三节 扭转静不定问题 第四节 静不定梁 第五节 用力法解静不定结构 第六节 综合举例 本章重点
1.拉压静不定问题 2.扭转静不定问题
3. 静不定梁
第一节 静不定结构的基本概念
一、 静定、静不定结构 1. 静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。 2. 静不定结构 结构的约束反力与内力数多于静力平衡方程数。 3. 静不定次数 未知力数减去静力平衡方程数。 4.多余约束 超过静定结构所需的约束。 判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。
C1
C1
FB
FC
wB 0
C上，剪力、弯矩是否为零？
A
L2
2.图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接。梁是否静定？在截面
FC wC k
q
B
C
L2
目录
例10-8 作图示梁的剪力弯矩图。 解：1. 去掉B处约束，代之以约束反力
q
A
EIZ
L q
B
2.变形协调方程
wB1 wB 2 0
B FB
F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解： 拆开B 处铰链，使超静定结构变成两个悬臂梁。 1.变形协调方程为： wB1 2.物理关系
wB1
FB F ’B
wB 2
' 3 F 2 3 5 FB 4 6 EI 3EI
q 4 4 FB 43 wB1 8EI 3EI
4 3
LBC
FN a EA
q
A
2a
B
FNБайду номын сангаас
FN a 3 FN a q2a FN 2a 8EI Z 3EI Z 3EI Z EA
解得：
2qa 3 A FN 2 3a A I Z
目录
第五节 用力法解静不定结构
用变形比较法求多余约束的约束反力时，常遇到多余约束处为宜为零情况。 材料处于线弹性阶段时，多余约束力Xi引起某方向的位移等于Xi方向单位 载荷Foi引起的位移和Xi的乘积。据此，可将变形协调条件归纳成标准形式。
许可载荷
F 698kN
目录
二．装配应力 静不定结构中，因杆件尺寸有微小误差，装配后在杆件内产生的应力 称为装配应力。 例10-3 图示钢杆，弹性模量E=200GPa，加工误差和杆长之比
L 1 1000
，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。
解： L
FN l EA EA FN L FN E A L
F
MA FB MC
y
0, FA FB 4q 0
FA 71.25 kN
M
FA
A
0,
M A 4q 2 4 FB 0
M A 125 kN m
F ’B
4.取BC 为研究对象，建立平衡方程：
FQ / kN
71.25
+
FC
F
y
0, FB FC F 0
2 2.57MPa
1 5.14MPa
目录
第三节 扭转静不定问题
例10-6 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。
Me
A
L L L
Me
解：1.列静力平衡方程
B
MA MB 0
2.变形协调方程
MB
BA 0
Me L GI p
MA
Me
Me
3.代入物理方程，建立补充方程
压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
解：将杆CB移除，代之以杆CB的未知
D 轴力FN。
C
q
A
2a
a
1.变形协调方程为： 2.物理关系
wB wC LBC
4 3
B
FN
q2a FN 2a wB 8EI Z 3EI Z
a
FN
C
a
FN
D
FN a 3 wC 3EI Z
补充方程：
目录
三．温度应力 静不定结构中，由于温度改变而在杆件内产生的应力称为温度应力。
讨论题
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会产生温度应力.
A
B
C
D
目录
例10-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜， 两杆的横截面面积分别为A1=1000mm2，A2=2000mm2。钢杆的弹性模量为 E1=210GPa，线膨胀系数α1=12.5×10-6 ℃-1；铜杆的弹性模量为E2=100GPa， 线膨胀系数α2=16.5×10-6 ℃ -1；试求温度升高20℃时， 1、2杆内的应力。
第四节 静不定梁
求解静不定梁的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力和变形与
静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的变形与静不定梁
相比较，找到多余约束处的变形协调条件。
讨论题
1.图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协调条件是什么？
F A
Me
C
B A
F
Me
C
B A
F
Me
C
B
M AL GI p
M
A
M AL GI p
0
MM3 e /A
M / MeB3
+
Mee-2MA M /3
+ -
解得:
MA MB
Me 3
目录
例10-7 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一横截面处各有一
直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的相差夹角 。现在杆B上施加外力偶， 使其扭转到两孔对准的位置，在孔中装上销钉。试求在外力偶除去后两杆所 受的扭矩。
补充方程：
wB 2
FB FB
wB2
q 4 4 FB 43 F 23 5 FB 43 8EI 3EI 6 EI 3EI
3 40 10 20 44 FB 6 42 8 43 8.75 kN 2
目录
3.取AB 为研究对象，建立平衡方程：
3 ql 8
1 2 ql 8
-
9 ql 2 128
+
kN
kN m
目录
例10-9 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布
荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm，
[σ ]=100MPa。试校核该梁的强度。
q
A
FA
解：1. 去掉C处约束，代之以约束反力
FC 48.75 kN
8.75
M / kN m
-
-
M
-
C
0,
C C 24 0 MM 2 F F 4 FBFB 0
1.94
48.75 17.5 115
M C 115 kN.m 115 kN.m
MC方向设反，将其改正 5.作剪力、弯矩图
目录
125
例10-11 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉
圆形曲杆A端固定，B端铰支，在C截面处作用一径向力F，为一次静不定 结构。解除B端约束，加上多余约束支座反力为X1， 在力F作用下，B端在X1 方向上的位移为ΔF1，在单位力作用下，位移为δ11， 变形协调条件为
1X1 11 X 1
11 X 1 1F 0 从式中可解出未知力X1。
4、求解方组得
FN 3l l3 EA
FN 1l FN 3l 补充方程 cos EA cos EA
FN 1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos
2
FN 3
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
F 1 2 cos 3
200MPa
目录
例10-4 图示杆系结构中，6杆比名义长度短δ，设各杆的抗拉刚度
都是EA，试求装配完成后，各杆的内力。
解：设6杆受拉，拉力为F6。 F6 F6’ 取节点A 、B为研究对象， 由平衡方程解得， F1= F2= F3= 由对称知， F4= F2 根据卡氏第二定理， F2’ B F5 F3
A
解：1. 静力平衡
M xA M xB
2.变形协调方程
A B
图10-9
3. 物理方程
A
M xAl A GI pA
B
M xBlB GI pB
M xA l A l ( B ) G I pA I pB
Mx
G
lA l B I pA I pB
目录
A
EIZ
q
A
3.用叠加法求变形，建立补充方程
wB 1
wB 2
EIZ
B
qL4 FB L3 0 8 EI Z 3EI Z
3 FB ql 8
A
EIZ
B
FB
目录
1 M A ql 2 8
q
C
L
A 5 FA ql 8
5 ql 8
x
+ -
4.取梁AB为研究对象，建立平衡方程 B 3 5.作内力图 FB ql 8 3 3 FQC qx ql 0 x l 令 8 8 3 1 9 M C qlx qx 2 ql 2 8 2 128
FW
2.找变形几何关系:
Fst l FW l 3.物理关系: lW lst EW AW Est Ast Fst FW 补充方程: Est Ast EW AW
Ast 3.086cm2
250 250
查表知，40mm×40mm×4mm等边角钢
Ast 4 Ast 12.34cm2 ,
目录
对于n次静不定结构，解除n个多余约束，加上个多余约束反力X1、 X2、…
Xn,以 ij 表示Fj0引起的沿Xi方向的位移，以 iF 表示外载荷引起的相应位移。 而原系统在多余约束处的位移为零（或已知），故有
C
B
FC
L2
L2
FB
q
A
3 qL 16
2.变形协调方程 5qL4 FC L3 48EI Z 384 EI Z
wC q wC FC 0
0
5 FC qL 8
FB
FA
C
5 qL 16
B
FC
+
+ 4.22kN m
3.列静力平衡方程 L qL2 M A 0 FC FB L 0 2 2 Fy 0 FA FB FC qL 0 4.作内力图
建立补充方程
一、求解拉压静不定问题的约束反力
目录
例题10-1
解：1、列出独立的平衡方程
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F 0
l1
l2
l3
2、找变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
FN 1l l1 EA cos
2 F6 2
F5 =F6
A
F2 F6
FN6 1 F6
FN1 2 F6 2
F1
2 F6l 6 F l F F6 2l 2 F6l 2 Ni i Ni 2 4 2 (1 2 ) i 1 EA F EA 2 EA EA 6
F6
EA
2l (1 2 )
2EA F1 F2 F3 F4 （ 2） 41
目录
例题10-2 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力[σ
st]=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力
[σ W]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。
F
F
解： 1.写平衡方程:
F FW Fst
l st l w
Fst
FW 0.717F
AW 25 25 625cm2
目录
代入数据，求得
Fst 0.283F
F
4.根据角钢的强度条件确定F
0.283F st st Ast
5.根据木柱强度条件确定F
F 698 kN
250
0.717F W W AW
250
F 1046 kN
1
F1
2m
2m
A
解：1.列静力平衡方程 2.变形协调方程
4m
M
A
0
F1 2F2 0
L2 2L1
L1
FAx FAy
F2
2
1m
3.物理方程
F1L1 1TL1 E1 A! FL L2 2 2 2 TL2 E2 A2 L1
解得
L2
F2 5.14kN F1 10.28kN
M
max
3 qL 16
3 qL 16
5 qL 16
-
3 qL 16
7.5kN m
4.22kN m
+ 7.5kN m
+
5.建立强度条件 M max 32 M max 76.4MPa 3 WZ d 梁安全
目录
例10-10 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，
静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高
目录
二． 基本静定系（静定基），相当系统 基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。
MC
MA
MC
MB
F F’
目录
第二节 拉压静不定问题
静不定结构的求解方法：
1、列出独立的平衡方程
2、找变形几何关系 3、物理关系 4、求解方程组
第十章 简单静不定问题
第一节 静不定结构的基本概念 第二节 拉压静不定问题 第三节 扭转静不定问题 第四节 静不定梁 第五节 用力法解静不定结构 第六节 综合举例 本章重点
1.拉压静不定问题 2.扭转静不定问题
3. 静不定梁
第一节 静不定结构的基本概念
一、 静定、静不定结构 1. 静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。 2. 静不定结构 结构的约束反力与内力数多于静力平衡方程数。 3. 静不定次数 未知力数减去静力平衡方程数。 4.多余约束 超过静定结构所需的约束。 判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。
C1
C1
FB
FC
wB 0
C上，剪力、弯矩是否为零？
A
L2
2.图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接。梁是否静定？在截面
FC wC k
q
B
C
L2
目录
例10-8 作图示梁的剪力弯矩图。 解：1. 去掉B处约束，代之以约束反力
q
A
EIZ
L q
B
2.变形协调方程
wB1 wB 2 0
B FB
F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解： 拆开B 处铰链，使超静定结构变成两个悬臂梁。 1.变形协调方程为： wB1 2.物理关系
wB1
FB F ’B
wB 2
' 3 F 2 3 5 FB 4 6 EI 3EI
q 4 4 FB 43 wB1 8EI 3EI
4 3
LBC
FN a EA
q
A
2a
B
FNБайду номын сангаас
FN a 3 FN a q2a FN 2a 8EI Z 3EI Z 3EI Z EA
解得：
2qa 3 A FN 2 3a A I Z
目录
第五节 用力法解静不定结构
用变形比较法求多余约束的约束反力时，常遇到多余约束处为宜为零情况。 材料处于线弹性阶段时，多余约束力Xi引起某方向的位移等于Xi方向单位 载荷Foi引起的位移和Xi的乘积。据此，可将变形协调条件归纳成标准形式。
许可载荷
F 698kN
目录
二．装配应力 静不定结构中，因杆件尺寸有微小误差，装配后在杆件内产生的应力 称为装配应力。 例10-3 图示钢杆，弹性模量E=200GPa，加工误差和杆长之比
L 1 1000
，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。
解： L
FN l EA EA FN L FN E A L
F
MA FB MC
y
0, FA FB 4q 0
FA 71.25 kN
M
FA
A
0,
M A 4q 2 4 FB 0
M A 125 kN m
F ’B
4.取BC 为研究对象，建立平衡方程：
FQ / kN
71.25
+
FC
F
y
0, FB FC F 0
2 2.57MPa
1 5.14MPa
目录
第三节 扭转静不定问题
例10-6 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。
Me
A
L L L
Me
解：1.列静力平衡方程
B
MA MB 0
2.变形协调方程
MB
BA 0
Me L GI p
MA
Me
Me
3.代入物理方程，建立补充方程
压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
解：将杆CB移除，代之以杆CB的未知
D 轴力FN。
C
q
A
2a
a
1.变形协调方程为： 2.物理关系
wB wC LBC
4 3
B
FN
q2a FN 2a wB 8EI Z 3EI Z
a
FN
C
a
FN
D
FN a 3 wC 3EI Z
补充方程：
目录
三．温度应力 静不定结构中，由于温度改变而在杆件内产生的应力称为温度应力。
讨论题
当系统的温度升高时,下列结构中的____不会产生温度应力.
A
B
C
D
目录
例10-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜， 两杆的横截面面积分别为A1=1000mm2，A2=2000mm2。钢杆的弹性模量为 E1=210GPa，线膨胀系数α1=12.5×10-6 ℃-1；铜杆的弹性模量为E2=100GPa， 线膨胀系数α2=16.5×10-6 ℃ -1；试求温度升高20℃时， 1、2杆内的应力。
第四节 静不定梁
求解静不定梁的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力和变形与
静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的变形与静不定梁
相比较，找到多余约束处的变形协调条件。
讨论题
1.图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协调条件是什么？
F A
Me
C
B A
F
Me
C
B A
F
Me
C
B
M AL GI p
M
A
M AL GI p
0
MM3 e /A
M / MeB3
+
Mee-2MA M /3
+ -
解得:
MA MB
Me 3
目录
例10-7 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一横截面处各有一
直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的相差夹角 。现在杆B上施加外力偶， 使其扭转到两孔对准的位置，在孔中装上销钉。试求在外力偶除去后两杆所 受的扭矩。
补充方程：
wB 2
FB FB
wB2
q 4 4 FB 43 F 23 5 FB 43 8EI 3EI 6 EI 3EI
3 40 10 20 44 FB 6 42 8 43 8.75 kN 2
目录
3.取AB 为研究对象，建立平衡方程：
3 ql 8
1 2 ql 8
-
9 ql 2 128
+
kN
kN m
目录
例10-9 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布
荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm，
[σ ]=100MPa。试校核该梁的强度。
q
A
FA
解：1. 去掉C处约束，代之以约束反力
FC 48.75 kN
8.75
M / kN m
-
-
M
-
C
0,
C C 24 0 MM 2 F F 4 FBFB 0
1.94
48.75 17.5 115
M C 115 kN.m 115 kN.m
MC方向设反，将其改正 5.作剪力、弯矩图
目录
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例10-11 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉
圆形曲杆A端固定，B端铰支，在C截面处作用一径向力F，为一次静不定 结构。解除B端约束，加上多余约束支座反力为X1， 在力F作用下，B端在X1 方向上的位移为ΔF1，在单位力作用下，位移为δ11， 变形协调条件为
1X1 11 X 1
11 X 1 1F 0 从式中可解出未知力X1。
4、求解方组得
FN 3l l3 EA
FN 1l FN 3l 补充方程 cos EA cos EA
FN 1l FN 3l cos EA cos EA
FN 1 FN 3 cos
2
FN 3
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
F 1 2 cos 3
200MPa
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例10-4 图示杆系结构中，6杆比名义长度短δ，设各杆的抗拉刚度
都是EA，试求装配完成后，各杆的内力。
解：设6杆受拉，拉力为F6。 F6 F6’ 取节点A 、B为研究对象， 由平衡方程解得， F1= F2= F3= 由对称知， F4= F2 根据卡氏第二定理， F2’ B F5 F3