具有连续时滞的微分方程的概周期解_严建明

* 对系统 （１ ） 作如下变换 x （ ） ， i＝０， １， ２．则系统 （１ ） 可化为如下等价系统： t ） =ln （x （ ） i t i
乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙
*
* 觶（ x t ） =a0 （t ） -b0 （t ） e 0
x1 （t ）
*
-c1 （t ） -c2 （t ）
乙 k（s）e
-τ 1
0
ds-
（t ） e β1
x0 （t ） x （t ） -x （t ） +D1 （t ）乙 -1 e x （t ）
2 1 * 1 * *
*
→
） （７
1 +α （t ） e
） x2 （t+s
*
x2 （t ）
*
乙
M
0
-τ
k2 （s ） e
严建明：具有连续时滞的微分方程的概周期解
· ２９ ·
） ＞０， 则系统 （１ ） 在［－τ， ∞ ） 上存在唯一解 x （t， 准 ） ， 且对于 t∈［０， ＋∞ ） 有x （t， 准 ） ＞０， 我们称此解为系统 （１ ） 的 且准 （０ 正解．因此， 在本文下面的研究中， 我们总假定 准∈C+， 准 （０ ） ＞０ 定义
0 0 1 -τ 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 -τ 0 1 1 1 2 1 1
（x（t ） ） -x（t ） ） +D （t 乙 k（s）x（t+s）ds 乙 ） u （t ） β （t ） -b （t ） u （t ） -c （t ） 乙 k （s ） u （t+s ） dsa （t 觶 （t u ） =u （t ）乙 ）乙 1+α （t ） u （t 觶2 x （t ） =x2 （t ） a2 （t ） -b2 （t ） x2 （t ） -c2 （t ）
x （t ） -x （t ） ds+D2 （t ）乙 -1 e
1 2
*
*
→
（８ ）
定理
设系统 （１ ） 满足以上给定的条件 （２ ） （３ ） ， 且还满足
L D β +β α M1 βB L D2 βB b0 ＞ b1 ＞ 1 ＋ 0 1 ＋ ＋ βB ， ， b2 ＞ ＋ ， L 2 m m m m L 1+α m m1 乙 燮 1+α m L
0
觶0 （t ） -b0 （t ） x0 （t ） -c0 （t ） x （t ） =x0 （t ） a0
0
1
-τ 0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
-τ 0
1
1
1
2
1
） （１
1
觶2 x （t ） =x2 （t ） a2 （t ） -b2 （t ） x2 （t ） -c2 （t ）
乙
） -x （t ）乙 x （t ）乙 +D （t 乙 k（s）x（t+s）ds 乙
乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙
考虑系统 （１ ） 的乘积系统 觶0 （t ） -b0 （t ） x0 （t ） -c0 （t ） x （t ） =x0 （t ） a0 t ） x （t ） 乙 乙 k（s）x（t+s）ds- 1β+（ ）乙 α （t ） x （t ） x （t ） β （t 觶 （t ） -b （t ） x （t ） -c （t ） 乙 k （s ） x （t+s ） dsa （t x （x （t ） ） =x （t ）乙 +D （t ） ） -x （t ） ）乙 1+α （t ） x （t
乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙 乙
t ） x （t ） 乙 乙 k（s）x（t+s）ds- 1β+（ ）乙 α （t ） x （t ） x （t ） β （t ） -x （t ）乙 x （t 觶 （t ） -b （t ） x （t ） -c （t ） 乙 k （s ） x （t+s ） dsa （t x ） =x （t ）乙 +D （t ）乙 ）乙 1+α （t ） x （t
L L L L L L L L L L L L L L
ｍａｘ 叟 ＜＋∞ a0 ， a1 ， a2 ， b0 ， b1 ， b2 ， c0 ， c1 ， c2 ， α ， β1 ， β2 ， D1 ， D2 叟
M M M M M M M M M M M M M M
） （３
在本文中， 我们采用如下记号和概念． x1， x2 ） ∈R＋ ＝ 叟 ．如果 x∈IntR＋ ， 记 x＝ （x0， 则记 x＞０．基于生态学意义， 我们只在 IntR ＋ 上 x∈R3∶xi叟０， ２ 叟 ｉ＝０， １， （１ ） 进行研究． 对系统 C+=C ０］； R＋） 表示定义在［－τ， ０］上具有范数‖准‖= max 准 ） 的 （［－τ， · 代表欧几里德范数 （s ）（其中 准∈C+，
t 叟0 t 叟0
i=0， 1， 2. 乙 k（s）ds=1，
-τ i
0
（２ ）
， f M＝ｓｕｐ （ ．本文我们假定方程 （１ ） 的系数满足下列条件： f t ） f t ） 记 f L＝ｉｎｆ （ ｍｉｎ 叟 ＞0， a0 ， a1 ， a2 ， b0 ， b1 ， b2 ， c0 ， c1 ， c2 ， α ， β1 ， β2 ， D1 ， D2 叟
x0 （t ）
-c0 （t ）
乙 k（s）e
-τ 0
0
x0 （t+s ）
*
ds-
（t ） e β0
x1 （t ） x1 （t ）
*
*
1 +α （t ） e
） x1 （t+s
*
觶 （t x ） =a1 （t ） -b1 （t ） e
* 1 * 觶（ x t ） =a2 （t ） -b2 （t ） e 2
关键词：连续时滞； 中图分类号：O175
DOI:10.16074/j.cnki.cn43-1394/z.2017.05.006
在种群动力学的研究中， 生物种群的持续生存是数学生态学中捕食与竞争理论及其相关课题的 众所周知， 一个重要而广泛的、 且受到人们非常关注的课题．１９６５ 年， Ｈｏｌｌｉｎｇ 在实验的基础上， 对不同的物种， 提出了三种
３ ３ ３ -τ＜θ＜0
（５ ）
（６ ）
这里 f∶R×C→R 连续， C=C 燮 对于 φ∈C， 定义范数为‖φ‖= sup φ 这里 誗 为 R 中的范数． ， [-τ， 0]， R → （θ ）， 令 CH* ＝ 燮 ， SH* = 燮 ． φ∈C ‖φ‖＜H* 燮 x∈R３ |x|＜H* 燮 满 f∶R×CH* →R３ 对 φ 关于 t 是一致概周期的，若存在连续函数 V∶R+×SH* ×SH* →R＋， 这里总是假设 ０＜H*＜+∞， 足如下条件： （Ⅰ ） a （|x-y| ） 燮V （t， x， y ） 燮b （|x-y| ） ， 其中 a （s ） ， b （s ） ∈CIP， b （０ ） ＝０； （Ⅱ ）V 其中 L＞０ 是常数， （t， x， y ） ∈R+×SH* ×SH* ； ｜ ， （｜x１－x２｜＋｜y１－y２） （t， x1， y1 ） y2 ） 燮L －V （t， x2， ） 存在连续非减函数 p （s ） ， 当 s＞０ 时， 有p （s ） ＞s， 使得当 （Ⅲ p ＞V （t+θ， φ （０ ） ， ψ （０ ） ） ， θ∈[-τ， 0] （V （t， x1， y1 ） ） （t， φ （０ ） ， ψ （０ ） ） 燮-cV （t， φ （０ ） ， ψ （０ ） ） ， c＜０ 是常数． 时有 D+V 如果系统 （５ ） 的每一个解满足‖ξ （t ） ‖燮-cV （t， φ （０ ） ， ψ （０ ） ） ， t叟T０， 那么系统 （５ ） 必存在一致渐近稳定的概 周期解， 进而如果 （ f t， φ ） 关于 t 是 ω 周期的， 则系统 （５ ） 存在一个周期解， 且是全局渐近稳定的．
s∈[-τ， 0] ３ ３ ３ ３
非负连续函数构成的 Banach 空间.因此， 如果我们选 C+为系统 （１ ） 的初始函数空间， 易知对坌准＝ （准0， 准1， 准2 ） ∈C＋
收稿日期：２０１６－０９－２１ 作者简介：严建明，１９７４ 年生，男，湖南益阳人，讲师，研究方向：微分方程．
第 36 卷第 5 期
0 0 0 0 0 0 -τ 0 2 2 2 1 2 0 1 -τ 0 0 0 1
乙
（t ） -b1 （t ） u1 （t ） -c1 （t ） 觶1 u （t ） =u1 （t ） a1
2
t ） u （t ） （u （t ） +D （t ） ） -u （t ） 乙 k（s）u（t+s）ds- 1β+（ ）乙 α （t ） u （t 觶 （t u +D （t （u（t ） =u （t ）乙 ） ） -u（t ） ） ） -b （t ） u （t ） -c （t ） 乙 k （s ） u （t+s ） ds 乙 a （t
２］ 不同的功能性反应函数．对具有 Ｈｏｌｌｉｎｇ Ｉ、 ＩＩ、 ＩＩＩ 类功能性反应的系统， 许多学者进行了深入研究［１， ．由于概周期
现象在实际问题中经常可见， 以周期现象作为特例， 它是比周期现象更广泛的现象。 对于 Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ 系统的 概周期解的定性性质 （概周期解的存在唯一性和一致渐近稳定性 ） 的研究工作目前相对还较少［３－６］．而对于同时具 有连续时滞、 扩散、 ＨｏｌｌｉｎｇⅡ类功能性反应的 Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ 型竞争系统的研究非常少．本文研究如下的具有连 续时滞、 扩散、 ＨｏｌｌｉｎｇⅡ类功能性反应的非自治竞争模型：
-τ 2 2 2 1 2
其中 a（ ， b（ ， c（ （i=0， 1， 2 ） ， α （t ） ， β（ （i=0， 1 ） ， D（ （i=1， 2 ） 是连续的严格正的 ω 周期函数．x０ 和 x１ ） ） ） ） ） i t i t i t i t i t 分别表示两个竞争种群 Ａ 和 Ｂ 在斑块 １ 中的密度， ） 是种群 Ｂ 在斑块 ２ 中的密度．D（ （i=1， 2 ） 表示种群 Ｂ 在斑 i t ） 块之间的扩散系数．k（ （i=0， 1， 2 ） 是分段连续函数， 并且 i t
３
（４ ）
Βιβλιοθήκη Baidu
使得系统 （１ ） 满足初始条件 （４ ） 的每一个解最终都进入并滞留在集合 如果存在有界紧集 D奂IntR＋ ，
D 中， 则称系统 （１ ） 是一致持久的． 对于给定 ０＜δ＜η＜+∞， 记 C+[δ， η]= 燮 ． 准 （θ ） ∈C+∶δ燮准 （θ ） 燮η， θ∈[-τ， 0] 燮 ∈C+．则 x （１ ） ， 记x （t ） ＝x （0， 准 ） （t ） 是过 （0， 准 ） 的解， 其中初值函数 准 （t ） =燮 （t ） 是 对于系统 ） ） ）燮 准（ ， 准（ ， 准（ 0 θ 1 θ 2 θ 唯一的， 且x （t ） ＞０， t∈[0， T ） ， 这里[0， T ） 是系统 （１ ） 的解的最大存在区间， 这样的解叫做系统 （１ ） 的正解． ， b ， c （i=0， 1， 2 ） ， α （t ） ， β（ （i=0， 1 ） ， D（ （i=1， 2 ） 是连续的严格正的概周期函数． （ ） （ ） （ ） ） ） 系统 （１ ） 的系数 a i t i t i t i t i t 引理 1［７］ 考虑泛函微分方程 觶 x （t ） ＝（ f t， x） t 及乘积系统 觶 觶 x y （t ） ＝（ f t， x） （t ） ＝（ f t， y） t ， t
第 36 卷第 5 期 2 0 1 7 年5 月
怀化学院学报 JOURNAL OF HUAIHUA UNIVERSITY
Vol.36.No.5 May， 2017
具有连续时滞的微分方程的概周期解
严建明
（ 湖南财政经济学院 基础课部， 湖南 长沙 ４１０２０５ ） 摘 要：结合运用 Ｌｉａｐｕｎｏｖ 泛函数， 研究 Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ 系统的概周期解的存在唯一性和一致渐近稳定性． 竞争系统； Ｌｉａｐｕｎｏｖ 泛函； 概周期解 文献标识码：A 文章编号：1671－9743 （ 2017 ） 05－0028－04
β1
M
M
M
M
M
· ３０ ·
M M M
怀化学院学报
2017 年 5 月
其中 β 是某一常数， B=M１b0 +Mb1 ＋Mb2 ， 则系统 （１ ） 在 Ω 中存在唯一的概周期解， 此解是全局渐近稳定的． 更进一步， 若系统 （１ ） 的右端关于 t 是 ω－ 周期的， 则系统 （１ ） 存在一个 ω－ 周期解． 证明