结构优化设计大作业(北航)

《结构优化设计》
大作业报告
实验名称: 拓扑优化计算与分析
1、引言
大型的复杂结构诸如飞机、汽车中的复杂部件及桥梁等大型工程的设计问题，依靠传统的经验和模拟实验的优化设计方法已难以胜任，拓扑优化方法成为解决该问题的关键手段。

近年来拓扑优化的研究的热点集中在其工程应用上，如: 用拓扑优化方法进行微型柔性机构的设计，车门设计，飞机加强框设计，机翼前缘肋设计，卫星结构设计等。

在其具体的操作实现上有两种方法，一是采用计算机语言编程计算，该方法的优点是能最大限度的控制优化过程，改善优化过程中出现的诸如棋盘格现象等数值不稳定现象，得到较理想的优化结果，其缺点是计算规模过于庞大，计算效率太低;二是借助于商用有限元软件平台。

本文基于matlab 软件编程研究了不同边界条件平面薄板结构的在各种受力情况下拓扑优化，给出了几种典型结构的算例，并探讨了在实际优化中优化效果随各参数的变化，有助于初学者初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。

2、拓扑优化研究现状
结构拓扑优化是近20年来从结构优化研究中派生出来的新分支，它在计算结构力学中已经被认为是最富挑战性的一类研究工作。

目前有关结构拓扑优化的工程应用研究还很不成熟，在国外处在发展的初期，尤其在国内尚属于起步阶段。

1904 年Michell在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念。

自1964 年Dorn等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。

20 世纪80 年代初，程耿东和N. Olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中首次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问题，他们开创性的工作引起了众多学者的研究兴趣。

1988年Bendsoe和Kikuchi发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。

1993年Xie.Y.M和Steven.G.P 提出了渐进结构优化法。

1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。

2002 年罗鹰等提出三角网格进化法，该方法在优化过程中实现了退化和进化的统一，提高了优化效率。

目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为两大类：退化法和进化法。

结构拓扑优化设计研究，已被广泛应用于建筑、航天航空、机械、海洋工程、生物医学及船舶制造等领域。

3、拓扑优化建模（SIMP）
结构拓扑优化目前的主要研究对象是连续体结构。

优化的基本方法是将设计区域划分为有限单元，依据一定的算法删除部分区域，形成带孔的连续体，实现连续体的拓扑优化。

连续体结构拓扑优化方法目前比较成熟的是均匀化方法、变密度方法和渐进结构优化方法。

变密度法以连续变量的密度函数形式显式地表达单元相对密度与材料弹性模量之间的对应关系，这种方法基于各向同性材料，不需要引入微结构和附加的均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计变量，人为假定相对密度和材料
弹性模量之间的某种对应关系，程序实现简单，计算效率高。

变密度法中常用的插值模型主要有:固体各向同性惩罚微结构模型(solidisotropic microstructures with penalization ，简称SIMP)和材料属性的合理近似模型(rational approximation ofmaterial properties ，简称RAMP)。

而本文所用即为SIMP 插值模型。

SIMP 法基于最小柔度的优化模型如下:设材料模型为:
0()()e e x x E x x E ρρρ==
则拓扑优化模型为:
11min min :()01
N
T
T e e e e e N e e e C x U KU x U K U x
f KU F
x x ρ====≤=<≤≤∑∑
式中：
0ρ 和 0E ——分别是均质实体的密度和弹性矩阵
e x ——单元的相对密度
p ——惩罚因子
U 和F ——分别是位移矢量、力矢量
K ——总体刚度矩阵
e U ——单位位移矢量
e K ——单位刚度矩阵
N ——单元总数
f ——体积分数
优化时以单元的相对密度e x 为拓扑设计变量，这样结构拓扑优化问题被转换
为材料的最优分布问题。

4、优化算法（OC）
目前在拓扑优化中应用较多的求解方法主要有: 优化准则法(OC—optimality criteria)和序列线性规划法(SL P———sequential linear programming)，本文所参考的99行代码所引用的即为OC法。

这一方法是根据数学规划理论中的Kuhn2tucker条件导出优化准则，并通过数值迭代求解最优解。

该法收敛速度快，迭代次数少且与结构大小及复杂程度关系不大，缺点是对于多约束优化的处理不太方便。

5、数值算例
这一部分主要通过若干简单的算例来研究各个输入参数、载荷施加方式以及边界约束条件对拓扑优化结果的影响，进而对拓扑优化问题加深理解和认识。

受力模型采用长宽比为6:2的外伸梁，在梁的上表面施加竖直向下的均布载荷。

模型如下图所示：
图5-1
6、影响因素分析
6.1 nelx和nely 对结果的影响
先设置体积分数volfrac=0.5，惩罚因子为penal=3.过滤半径rmin=1.2，不断变化划分单元数，寻求划分单元数对于优化结果的影响。

nelx*nely =60×20
nelx*nely =84×28
nelx*nely =120×40
图6-1
由图6-1可以看出，随着划分单元数的增多，图像的细节越加清晰。

图像所显示的锯齿现象有所缓解。

虽然拓扑优化结果有一些局部的改变，总体的趋势还是一致的。

采用更多的网格划分密度，可以得到更加清晰的优化结果，但是拓扑优化结果中过多的孔洞使结果集合复杂性增加，结构的制造成本提高，制造难度加大，并且降低了结构的局部强度和刚度。

所以，从实际应用的角度出发，需要限制结构的集合复杂性，来抑制拓扑优化算法的网格依赖性。

6.2材料体积保留分数volfrac的影响
设置划分单元为60*20，惩罚因子为penal=3.过滤半径rmin=1.2;不断变化体积分数，寻求体积分数对于优化结果的影响。

volfrac=0.3
volfrac =0.5
volfrac =0.7
图6-2
由图6-2的优化结果可以看出，随着体积保留分数的增大，优化结果中保留的材料也逐渐增多。

这说明在基本的传力路线的基础上增加了一些额外的材料。

另一方面，体积分数越小，可能造成改变结构传力的路线，导致迭代多次收敛速度较慢。

6.3惩罚因子P对结果的影响
设置划分单元为60*20，体积分数volfrac=0.5，过滤半径rmin=1.2;不断变化惩罚因子，寻求惩罚因子对于优化结果的影响。

P=1.5
P=2.5
P=3.
图6-3
由优化结果图6-3可以看到：随着惩罚因子取值的增大，呈现出的拓扑结果呈现日趋清晰的趋势，这是因为在SIMP材料插值模型中，参数p较小时，对中间密度的惩罚程度较小，或者说惩罚效果不够明显，因此呈现的结果会有模糊的灰色区域。

随着参数p取值增大，对中间密度的惩罚程度也越大，单元等效弹性模量逼近0或者E max的趋势也更明显，因此，优化结果也愈加清晰。

另一方面，取值越大，迭代次数也越多，计算量增大，可能导致无限循环（例如，在该算例
中，取p=3.5时，程序将会进入无限循环导致无解）。

从总体的优化趋势来看，各个取值情况下的优化结构大致相似。

因此，在实际的拓扑优化中，要注意选择适宜的惩罚因子，达到平衡迭代时间和较优的优化效果。

6.4过滤半径rmin对拓扑结果的影响
设置划分单元为60*20，体积分数volfrac=0.5，惩罚因子为penal=3.不断变化过滤半径，寻求过滤半径对于优化结果的影响。

rmin=0.8
rmin=1.2
rmin=1.6
图6-4
网格过滤半径rmin的选取如果小于1的话，被过滤的目标函数变化率将会
和原始的变化率相等，使得过滤无效。

在结果上表现出来的是棋盘格现象如图6-4中rmin=0.8所示，这在工程上不可能实现的，对工程实践是没有意义的。

从上面的优化结果分析，随着rmin取值的增大，过滤效果随着其增大而增强，在局部出现模糊的灰色区域。

在实际的操作中，要综合考虑结果的精度要求以及迭代时间因素来确定合理的过滤半径。

6.5边界约束条件和加载方式对拓扑结果的影响
6.5.1两端固支的梁
模型如下图所示，梁上面受到均布载荷的作用
设置输入为top（60，20，0.5，3，1.2）可得到优化结果为：
6.5.2两端铰支的梁
在两端铰支的梁的1/3和2/3处分别开了两个圆孔，在梁的中间施加竖直向下的单位力。

所得到的优化结果为
6.5.3多重载荷情况
如下图所示，模型为悬臂梁，在中间开了一个圆孔，分别在梁的右端上下各施加了一单位力。

所得到的优化结果如下图所示：
7、拓展应用
7.1桥梁
普通的桥梁可以简化为两端铰支的梁，梁的上方受到均布载荷，所简化的结构如下图所示：
采用拓扑优化进行运算之后得到的结果如下图所示：
上图为现实中的赵州桥，对比两幅图可以发现，拓扑优化的结果与工程上的桥梁完全的吻合。

7.2外伸梁
在生活中有很多结构可以简化成一个对称的外伸梁，梁上受到均布载荷。

进行拓扑优化可以得到优化结果：
而下图的乒乓球台采用的就是类似的结构，而生活中还有很多物体比如双杠和车棚都可以采用此结构。

8.总结与心得
研究分析了程序输入参数nelx，nely，volfrac，p，rmin对优化结果的影响，通过改变加载矩阵F和边界约束条件，实现了对不同加载方式和不同边界约束下的简单结构静力学问题的优化。

结果看到，输入参数的变化对优化结果影响显著，但是不同的输入参数变化对结果影响也不同。

在实际的应用中应综合考虑，选取适宜的优化参数。

通过对《 A 99 line topology optimization code written in Matlab 》一文的学习，一方面对拓扑优化的理论原理以及实际的计算机方法实现都有了一定的认识，了解了拓扑优化的一般步骤，拓扑优化问题中的理论基础等。

通过对99行程序的学习，结合实际的上机操作，得到了一些简单的结构问题的拓扑优化求解结果，并且分析对比了该程序主要输入参数的变化对拓扑优化结果的影响。

另一方面，由于文章仅是用于教学目的，为了处理问题的简便，在计算机模拟方面对实际的问题进行了很多的简化处理，因此程序的适用范围并不广。

此外，优化过程易出现的数值不稳定问题如网格依赖性，棋盘格等现象在实际的操作中均出现过。

最后，为了拓展应用，以及对拓扑优化有更深一步的理解和认识，可以自行对99行程序进行修改，在解决实际的问题时对程序进行必要的处理，如对不可设计域的约束等在实际的工程中都是有直接的物理意义的，在后面的时间里，我也会进一步的深入学习。