高中数学常用的解题方法与技巧 ppt课件
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高中数学常用的解题方法与技巧2(PPT)4-3
数形本是相倚依,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事休. 几何代数统一体,永远联系莫分离.
身的，但是在躯干、手掌、脚掌这些比较没有接触阳光的地方有较高的发生率。而一个病人有可能会发现数种皮肤癌，发生的频率由高到低为原位性皮肤癌、 上皮细胞癌、基底细胞癌、以及混合型。在台湾乌脚病发生的地区有7% 发生皮肤癌的病人也同时发现皮肤过度角质化以及皮肤出现色素沉积。一些过度角 质化的病灶（边缘清楚；东莞食堂承包 东莞食堂承包 ；的圆形或不规则的 mm 到 >cm 的块状）后来变为原位性皮肤癌，而最后就侵犯 到其它地方。砷引起的基底细胞癌常常是多发而且常分布在躯干，病灶为红色、鳞片状，萎缩，难和原位性皮肤癌区分。砷引起的上皮细胞癌主要在阳光不 会照到的躯干，而紫外线引起的常常在头颈部阳光常照射的地方发生，我们可以靠分布来区分砷引起的或是紫外线引起的，然而我们却很难分是砷引起的还 是其它原因引起的。流行病学研究发现砷的暴露量跟皮肤癌的发生有剂量 — 反应效应。而在葡萄园工作由皮肤及吸入暴露砷的工人的流行病学研究发现因为 皮肤炎而死亡的比率有升高。 肺癌：暴露三氧化二砷的精炼厂工人及五价砷农药的研究校正过二氧化硫及抽烟的暴露之后显示肺癌发生的机率较高。 [4] 砷 中毒的症状可能很快显现，也可能在饮用含砷水十几年甚至几十年之后才出现。这主要取决于所摄入砷化物的性质、毒性、摄入量、持续时间及个体体质等 因素。 急性砷中毒：急性砷中毒多为大量意外地砷接触所致，主要损害胃肠道系统、呼吸系统、皮肤和神经系统。 砷急性中毒的表现症状为可有恶心、呕吐、
8
2
a
cos
≥
)2
7
2
y
或
(a
a≤
sin a
身的，但是在躯干、手掌、脚掌这些比较没有接触阳光的地方有较高的发生率。而一个病人有可能会发现数种皮肤癌，发生的频率由高到低为原位性皮肤癌、 上皮细胞癌、基底细胞癌、以及混合型。在台湾乌脚病发生的地区有7% 发生皮肤癌的病人也同时发现皮肤过度角质化以及皮肤出现色素沉积。一些过度角 质化的病灶（边缘清楚；东莞食堂承包 东莞食堂承包 ；的圆形或不规则的 mm 到 >cm 的块状）后来变为原位性皮肤癌，而最后就侵犯 到其它地方。砷引起的基底细胞癌常常是多发而且常分布在躯干，病灶为红色、鳞片状，萎缩，难和原位性皮肤癌区分。砷引起的上皮细胞癌主要在阳光不 会照到的躯干，而紫外线引起的常常在头颈部阳光常照射的地方发生，我们可以靠分布来区分砷引起的或是紫外线引起的，然而我们却很难分是砷引起的还 是其它原因引起的。流行病学研究发现砷的暴露量跟皮肤癌的发生有剂量 — 反应效应。而在葡萄园工作由皮肤及吸入暴露砷的工人的流行病学研究发现因为 皮肤炎而死亡的比率有升高。 肺癌：暴露三氧化二砷的精炼厂工人及五价砷农药的研究校正过二氧化硫及抽烟的暴露之后显示肺癌发生的机率较高。 [4] 砷 中毒的症状可能很快显现，也可能在饮用含砷水十几年甚至几十年之后才出现。这主要取决于所摄入砷化物的性质、毒性、摄入量、持续时间及个体体质等 因素。 急性砷中毒：急性砷中毒多为大量意外地砷接触所致，主要损害胃肠道系统、呼吸系统、皮肤和神经系统。 砷急性中毒的表现症状为可有恶心、呕吐、
8
2
a
cos
≥
)2
7
2
y
或
(a
a≤
sin a
全高考数学解题技巧讲解课件PPT
������������|cos θ=������������·������������ =
|������������ |
������ 2-1 ������ 2+1
=
������2 + 1 − ������22+1,
令 ������2 + 1=t(t>1),则|������������|= ������������22-+11=t-2������ .令 f(t)=t-2������ ,则有 f'(t)=1+������22.在
A.
5 5
,
2 3
B.
2 3
,
25 5
C.
5 5
,
7 3
D.
7 3
,
25 5
-7-
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a4=4,S5=15,
∴
������1 + 3������ = 4,
5������1
+
5×4 2
������
=
15,解得
������1 = 1, ������ = 1.
(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、 简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判 断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对 于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知 识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.
(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为:直接法, 特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.
A.2 019 B.0 C.1 D.-1 (2)平行四边形 ABCD 中,������������, ������������在������������上投影的数量分别为 3,-1, 则������������在������������上的投影的取值范围是( )
|������������ |
������ 2-1 ������ 2+1
=
������2 + 1 − ������22+1,
令 ������2 + 1=t(t>1),则|������������|= ������������22-+11=t-2������ .令 f(t)=t-2������ ,则有 f'(t)=1+������22.在
A.
5 5
,
2 3
B.
2 3
,
25 5
C.
5 5
,
7 3
D.
7 3
,
25 5
-7-
答案 (1)C (2)D
解析 (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a4=4,S5=15,
∴
������1 + 3������ = 4,
5������1
+
5×4 2
������
=
15,解得
������1 = 1, ������ = 1.
(1)解题策略:小题巧解,不需“小题大做”,在准确、迅速、合理、 简洁的原则下,充分利用题设和选择支这两方面提供的信息作出判 断.先定性后定量,先特殊后一般,先间接后直接,多种思路选最简.对 于选择题可先排除后求解,既熟悉通法又结合选项支中的暗示及知 识能力,运用特例法、筛选法、图解法等技巧求解.
(2)解决方法:主要分直接法和间接法两大类,具体方法为:直接法, 特值、特例法,筛选法,数形结合法,等价转化法,构造法,代入法等.
A.2 019 B.0 C.1 D.-1 (2)平行四边形 ABCD 中,������������, ������������在������������上投影的数量分别为 3,-1, 则������������在������������上的投影的取值范围是( )
高三数学选择题解题技巧方法PPT课件(1).ppt
2、特例法： 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普
遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验， 从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、 特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊 位置等.
例4．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，
1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方
演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项， 从而得出正确的判断.
例8．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数， 则a的取值范围是（ B ）
（A）(0，1)
（B）(1，2)
（C）(0，2)
（D）[2，+∞）
解：∵ 2－ax是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排
除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，这与
4
＜2kπ＋π，取k＝0即知选
4
(C).
例13．在圆x2＋y2＝4上与直线4x＋3y－12=0距离
最小的点的坐标是（ ）
（A）( 8 ， 6 ）
55
（C）(－ 8 ，6 )
55
（B）( 8 ，－ 6 )
5
5
（D）(－ 8 ，－ 6 )
5
5
解：（图解法）在同一直角坐标系中作出圆x2＋y2
＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的
6、割补法： “能割善补”是解决几何问题常用的方法，
巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为 规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而简 化解题过程。
例16．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶 点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）
（A）3 （B）4 （C）3 3 （D）6
高中数学ppt优秀课件
两角差公式
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanxtany)/(1+tanxtany)
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理
在任意三角形中，各边长与对应角的正弦值的比相等，即 a/sinA=b/sinB=c/sinC
详细描述
1. 定义概率概念：概率是描述事件发生可能性的数学量，通常表示为0到 1之间的实数。
2. 列举实例：例如，抛硬币正面朝上的概率是0.5，而反面朝上的概率也 是0.5。
概率的基本概念与计算方法
3. 掌握概率计算方法
1. 直接计算法：当事件只有两个可能结果（如生或死），且这两个事件是等可能的 ，此时可以直接计算概率。
三角函数的图像
包括正弦函数、余弦函数 和正切函数，它们的图像 分别为正弦曲线、余弦曲 线和正切曲线。
函数的应用
函数在实际生活中的应用
例如，描述物体的运动规律、预测经济走势等。
利用函数解决数学问题
例如，求解方程、最大值、最小值等问题。
03
三角函数与解三角形
三角函数的定义与性质
定义
根据三角形的边长求角，或已知角求 边长
集。
逻辑推理与证明
01
02
03
04
命题
一个陈述句或断言句称为一个 命题，如果它的真假是可以确
定的。
定理
经过严格证明为正确的命题称 为定理。
证明
用已知的命题来证明一个新命 题的过程称为证明。
反证法
通过假设与已知矛盾的命题来 证明原命题的正确性，称为反
证法。
02
函数与图像
函数的概念与性质
sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanxtany)/(1+tanxtany)
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理
在任意三角形中，各边长与对应角的正弦值的比相等，即 a/sinA=b/sinB=c/sinC
详细描述
1. 定义概率概念：概率是描述事件发生可能性的数学量，通常表示为0到 1之间的实数。
2. 列举实例：例如，抛硬币正面朝上的概率是0.5，而反面朝上的概率也 是0.5。
概率的基本概念与计算方法
3. 掌握概率计算方法
1. 直接计算法：当事件只有两个可能结果（如生或死），且这两个事件是等可能的 ，此时可以直接计算概率。
三角函数的图像
包括正弦函数、余弦函数 和正切函数，它们的图像 分别为正弦曲线、余弦曲 线和正切曲线。
函数的应用
函数在实际生活中的应用
例如，描述物体的运动规律、预测经济走势等。
利用函数解决数学问题
例如，求解方程、最大值、最小值等问题。
03
三角函数与解三角形
三角函数的定义与性质
定义
根据三角形的边长求角，或已知角求 边长
集。
逻辑推理与证明
01
02
03
04
命题
一个陈述句或断言句称为一个 命题，如果它的真假是可以确
定的。
定理
经过严格证明为正确的命题称 为定理。
证明
用已知的命题来证明一个新命 题的过程称为证明。
反证法
通过假设与已知矛盾的命题来 证明原命题的正确性，称为反
证法。
02
函数与图像
函数的概念与性质
数学高考考试答题技巧.ppt
②跳步答题
❖ 解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先 承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明 这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回 过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
❖ 由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克来不及了，那么可 以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……” 一直做到底，这就是跳步解答。
❖ 也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去， 可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下”，以保持 卷面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问 作“已知”，“先做第二问”，这也是跳步解答。
③退步解答
❖ “以退求进”是一个重要的解题策略。如果你 不能解决所提出的问题，那么，你可以从一 般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到 简单，从整体退到部分，从较强的结论退到 较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的 问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应 开门见山写上“本题分几种情况”。这样， 还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意 义的启发。
❖ 5.注意上厕所。
三、浏览试卷，确定考试策略
❖ 一般提前5分钟发卷，涂卡、填密封线内 部分和座号后浏览试卷：试卷发下后，先利 用2—3分钟时间迅速把试卷浏览一遍，检查 试卷有无遗漏或差错，了解考题的难易程度、 分值等概况以及试题的数目、类型、结构、 占份比例、哪些是难题，同时根据考试时间 分配做题时间，做到心中有数，把握全局， 做题时心绪平定，得心应手。
掌握，随时巧变，不要墨守常规。
建议时间
基础较好的同学注意处理好速度和准确度的关系：
选择题30分钟，填空题15分钟，前两个解答题每题8分钟， 中间两个解答题每题10分钟，后两个解答题每题12分钟， 15分钟检查时间。
高中数学函数典型题目解法ppt课件
x1恒成立。
ppt课件
15
点评：本题的思想常作为数学压轴题所包含的内容之一，而其中也常常会
穿插构造法，韦达定理等，是综合性较强的题型，需要学生在平时
的学习中将各种解题方法牢记在心。另外，对于此类型的题要敢于
动笔，实在想不出什么头绪就将题目已给出的条件具体化，如本题
中给出f
'(x0 )
f
(
x2 ) x2
解：
由导数公式得g '(x) 3ax2 2bx c
f (x) 3ax2 2bx c
得f (0)=c，f (1) 3a 2b c
Q a 2b 3c 0 c 1 (a 2b) 3
f (0) f (1) 1 (a 2b)(8 a 4 b) 0
3
33
ppt课件
8
ppt课件
9
又Q 2 b 1 a2
得 2 (2 1)2 = 2
3
3
2 ( 1 1)2 = 1
32
3
1 2 (b 1)2 2
33 a
3
综上所述，x1
x2
的取值范围为(1 3
,
2) 3
点评：有关两个零点的问题通常会出现韦达定理的使用。解答本题(或类似题)时可
先在草稿纸上写出两根之积与两根之和等于多少，再在题中寻找等于的结
x2
x1
0
(不等号左边为一个二元变量式子，而通常对此类式子
则将二元变量变为一元变量，如遇对数则向对数看齐。
对数的真数部分为
x2 x1
，那么观察式子同时在两边除以x2
)
ln x2 1 x1 0
x1
x2
ln x2 x1
1
1 x2
高中数学常用的解题方法与技巧2(PPT)4-4
8
2
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
(数形结合)
数和形这两个基本概念,是中学数学的两块基石,且 在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可 以互相转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的 对应和转化来解决数学问题,具体来说就是在解题时,把 图形性质问题借助于数量关系的推演而具体量化,把数量 关系问题借助于几何背景而直观形象化,它兼有数的严谨 与 形的 直观 之长, 是优 化解 题过程 的重 要途径 之一 ,是一 种重要的数学方法.
a
cos
≥
)2
7
2
y
或
(a
a≤
sin a
6
cos )2
≥
1 8
8
由此想到解析几何知识来求解,转化为
点 (3 2sin cos , a sin a cos ) 到直线 y x 的距离的平
方大于 1 ,故原不等式可化为 3 2sin cos a sin a cos ≥ 1 ,
例 3(1996 年全国高中数学联赛题)
求实数
a
的取值范围,使得对于任意
0,
2
,
恒有 ( x 3 2sin cos )2 ( x a sin a cos )2 ≥ 1
分析:令 y x ,
则
x y 0
x (3
2 sin
数形本是相倚依,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事休. 几何代数统一体,永远联：～然｜气势～｜雄赳赳，气～。 【昂藏】〈书〉形形容人的仪表雄伟：气宇～。 【昂奋】形（精神）振奋；（情绪） 高涨。 【昂贵】形价格很高：物价～｜～的代价。 【昂然】形仰头挺胸无所畏惧的样子：～屹立｜气概～。 【昂首】动仰着头：～望天｜战马～长鸣。 【昂首阔步】仰起头，迈着；炒股入门/ ； 大步向前。形容精神振奋，意气昂扬。 【昂扬】形①（情绪）高涨：斗志～。②（声音） 高昂：歌声激越～。 【枊】〈书〉拴马桩。 【盎】古代一种腹大口小的器皿。 【盎】洋溢；盛（）：～然。 【盎格鲁撒克逊人】－公元世纪时，迁居英国 不列颠的以盎格鲁和撒克逊为主的日耳曼人。这两个部落最早住在北欧日德兰半岛南部。［盎格鲁撒克逊，英Ag－a］ 【盎然】形形容气氛、趣味等洋溢的 样子：春意～｜趣味～。 【盎司】ī量英美制重量单位，盎司等于／磅，合。克。旧称英两或唡。［英］ 【凹】形低于周围（跟“凸”相对）：～地｜～凸 不平｜地板～下去一块。 【凹版】名版面印刷的部分凹入空白部分的印刷版，如铜版、钢版、照相凹版等。凹版印刷品，纸面上油墨稍微鼓起，如钞票、邮 票等。 【凹面镜】名球面镜的一种，反射面为凹面，焦点在镜前，当光源在焦点上，所发出的光反射后形成平行光束。简称凹镜。 【凹透镜】名透镜的一种， 中央比四周薄，平行光线透过后向四外散射。近视眼镜的镜片就属于这个类型。 动向内或向下陷进去：两颊～｜地形～。 【熬】动烹调方法，把蔬菜等放在 水里煮：～白菜｜～豆腐。 【熬心】ī〈方〉形心里不舒畅；烦闷。 【爊】（??）〈书〉①放在微火上煨熟。②同“熬”（）。 【敖】①同“遨”。②（） “隞”。③（）名姓。 【敖包】名蒙古族人做路标和界标的堆子，用石头、土、草等堆成。旧时曾把敖包当神灵的住地来祭祀。也译作鄂博。 【隞】商朝的 都城，在今河南郑州西北。也作敖或嚣。 【嶅】①（）嶅山，山名，在广东。②嶅阴（ī），地名，在山东。 【遨】〈书〉游玩：～游。 【遨游】动漫游； 游历：～世界｜～太空。 【嗷】见下。 【嗷嗷】’拟声形容哀号或喊叫声：～叫｜～待哺。 【嗷嗷待哺】’形容饥饿时急于求食的样子。 【廒】（厫） 〈书〉贮藏粮食等的仓库。 【璈】古代的一种乐器。 【獒】名狗的一种，身体大，尾巴长，四肢较短，毛黄褐色。凶猛善斗，可做猎狗。 【熬】①动把粮 食等放在水里，煮成糊状：～粥。②动为了提取有效成分或去掉所含水分、杂质，把东西放在容器里久煮：～盐｜～。③动忍受（
高中数学知识点解题技巧汇编(共180张PPT)
等价转化思想
1 a b 2 2 a b 4 4a 2b
a4 a1 3d
2.直线方程：
形式 点斜式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k
斜截式 两点式 截距式
在y轴上的截距为b, 斜率为k
A B y0
2
1(1) C 0(2)
一般地：
点（x0，y0）关于直线y=x的对称点为（y0，x0）
点（x0，y0）关于直线y=-x的对称点为（-y0，-x0） 点（x0，y0）关于直线y=x+b的对称点为（y0-b，x0+b） 点（x0，y0）关于直线y=-x+b的对称点为（b-y0，-x0+b） 点（x0，y0）关于直线y=0（即x轴）的对称点为（ x0，-y0） 点（x0，y0）关于直线x=0（即y轴）的对称点为（-x0，y0）
1 2
Sn Aqn B(A B 0,q 0,q 1)
等差数列和等比数列的比较
等差数列
等比数列
1．通项公式 特征
2．前 n 项和
特征
an a1 (n 1)d an kn b
n 的系数k就是公差
Sn
(a1
an )n 2
Sn
na1
n(n 2
1)d
Sn an2 bn
是关于n 的不含常 数项的二次函数
也是等差数列
若an 、bn 是等比数列，
则
ka
n
、a
k n
、a n
bn
也是等比数列
an
(n
1)
1 2n
........Sn
Sn
2
1 2
3
1 22
4
1 23
n
1 2n1
高三数学高考应考宝典二：方法技巧篇解答题的做法课件
44
44
因此 , 或 3 .
2
4
二、 概率、统计型解答题 概率、统计型解答题一般是以实际问题为背景，考 查概率统计知识的实际应用，是近年来高考考查应 用问题的一个主要命题点.这类试题的命题背景十分 广泛，既可以是高中数学的某些常规知识点，也可 以是当前的社会热点问题，但考查的主要问题是概 率统计的基础知识和基本方法.解决概率统计型解答 题，分析问题的实际意义，把实际问题中所蕴含的 数学关系找出来是十分重要的，这往往成为能不能 解答这类题目的关键，同时要注意准确地使用概率 统计的基础知识和基本方法.
故P(E) 7,即所求概7率. 为
10
10
(3)样本x平 1(9 均 .48.6 数 9.29.68.79.39.0 8
8.2)9
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均
数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有
8个基本事件，事件D包括的基本事件有:9.4,8.6, 9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以
例1 已知向量a=(4cos B, cos 2B-2cos B),
3
b=(sin2( B ),1)，f(B)=a·b. （1）若f(4B)=22,且0<B< ,求角B；
（2）若对任意的B∈(0, ),f(B)-m>2恒成立，
求
2
实数m的取值范围.
思维启迪 （1）由向量数量积的运算、三角函数化
（4）面对难题，讲究策略，争取得分.会做的题目 当然要力求做对、做全、得满分，而对于不能全部 完成的题目应：①缺步解答；②跳步解答.解题过程 卡在其一中间环节上时，可以承接中间结论，往下 推，或直接利用前面的结论做下面的（2）、（3） 问.总之，对高三学子来说：准确、规范、速度，高 考必胜；刻苦、坚韧、自信，势必成功！
全国高中数学联赛辅导课件常用的解题方法与技巧(共7张PPT)
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
数形结合引言
以形解数
用数助形
课外思考
1
第1页，共7页。
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
(数形结合)
数和形这两个基本概念,是中学数学的两块基石,且
在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可
以互相转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的
对应和转化来解决数学问题,具体来说就是在解题时,把
分析:令 y x ,则ຫໍສະໝຸດ x y 0 x (3
2 sin
a
cos
≥
)2
7
2
y
或
(a
a≤
sin a
6
cos )2
≥
1 8
8
由此想到解析几何知识来求解,转化为
点 (3 2sin cos , a sin a cos ) 到直线 y x 的距离的平
方大于 1 ,故原不等式可化为 3 2sin cos a sin a cos ≥ 1 ,
6
第6页，共7页。
课外训练:
1.(1984 年 美 国 中 学 生 竞 赛 题 ) 已 知 a,b 是 正 实 数 , 方 程
6 x2 ax 2 0, x2 2bx a 0 都有实数根,求a b 的最小值.
2.(2001 年全国高中数学联赛题)
求函数 y x x2 3x 2 的值域. 3.(1998 年全国高中数学联赛题)
1 a b ≥ 0 即 1 a b ≤ 0 ,
4 2a b ≥ 0 然后由线性规划的方法可得 (a 2b)min 1, (a 2b)max 5
4
例3
第4页，共7页。
例 3(1996 年全国高中数学联赛题)
数形结合引言
以形解数
用数助形
课外思考
1
第1页，共7页。
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
(数形结合)
数和形这两个基本概念,是中学数学的两块基石,且
在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可
以互相转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的
对应和转化来解决数学问题,具体来说就是在解题时,把
分析:令 y x ,则ຫໍສະໝຸດ x y 0 x (3
2 sin
a
cos
≥
)2
7
2
y
或
(a
a≤
sin a
6
cos )2
≥
1 8
8
由此想到解析几何知识来求解,转化为
点 (3 2sin cos , a sin a cos ) 到直线 y x 的距离的平
方大于 1 ,故原不等式可化为 3 2sin cos a sin a cos ≥ 1 ,
6
第6页，共7页。
课外训练:
1.(1984 年 美 国 中 学 生 竞 赛 题 ) 已 知 a,b 是 正 实 数 , 方 程
6 x2 ax 2 0, x2 2bx a 0 都有实数根,求a b 的最小值.
2.(2001 年全国高中数学联赛题)
求函数 y x x2 3x 2 的值域. 3.(1998 年全国高中数学联赛题)
1 a b ≥ 0 即 1 a b ≤ 0 ,
4 2a b ≥ 0 然后由线性规划的方法可得 (a 2b)min 1, (a 2b)max 5
4
例3
第4页，共7页。
例 3(1996 年全国高中数学联赛题)
高中数学集合的解题方法与技巧 通用最新优选公开课件
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徐志摩曾说过：“一生中至少该有一次，为了某个人而忘记了自己，不求结果，不求同行，不求曾经拥有，甚至不求你爱我，只求在我最美的年华里，遇见你。”我不知道自己是何等的幸运能在茫茫人海中与你相遇？我也不知道你的出现是恩赐还是劫？但总归要说声“谢谢你，谢谢你曾来过……” 还记得初相识时你那拘谨的样子，话不是很多只是坐在那里听我不停地说着各种不着边际的话。可能因为紧张我也不知道自己想要表达什么？只知道乱七八糟的在说，而你只是静静地听着，偶尔插一两句。想想自己也不知道一个慢热甚至在不熟的人面前不苟言笑的我那天怎么会那么多话？后来才知道那就是你给的莫名的熟悉感和包容吧！
返回
【例1】 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，b，b， a
则b－a等于
()
A. 1
B．－1
C．2
D．－2
解析 利用集合相等的定义，后面集合中含有元
素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a＋b
b 或a为0.注意后面集合中含有元素 ，故a≠0，只
a
能a＋b＝0，即b＝－a.集合变成了{1,0，a}＝{0，
的截距．而t≤9，知 t 9 .
t
t最大，即
最大．
22
2
∵(x，y)∈A ∩B ，
∴( 0 , 所以
9
2 b
)
为A 9.
∩B
围成图形内在y轴上的最高点，
2
点评 以形的直观辅助计算，使计算更有目的性．
四、简单化方法
【例6】 设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集
且S1∪S2∪S3＝I，则下面论断正确的是 ( )
集合是学习数学的基础和工具，是 的必考内容之一，由于集合知识的 抽象性，给相关问题的解决
徐志摩曾说过：“一生中至少该有一次，为了某个人而忘记了自己，不求结果，不求同行，不求曾经拥有，甚至不求你爱我，只求在我最美的年华里，遇见你。”我不知道自己是何等的幸运能在茫茫人海中与你相遇？我也不知道你的出现是恩赐还是劫？但总归要说声“谢谢你，谢谢你曾来过……” 还记得初相识时你那拘谨的样子，话不是很多只是坐在那里听我不停地说着各种不着边际的话。可能因为紧张我也不知道自己想要表达什么？只知道乱七八糟的在说，而你只是静静地听着，偶尔插一两句。想想自己也不知道一个慢热甚至在不熟的人面前不苟言笑的我那天怎么会那么多话？后来才知道那就是你给的莫名的熟悉感和包容吧！
返回
【例1】 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，b，b， a
则b－a等于
()
A. 1
B．－1
C．2
D．－2
解析 利用集合相等的定义，后面集合中含有元
素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a＋b
b 或a为0.注意后面集合中含有元素 ，故a≠0，只
a
能a＋b＝0，即b＝－a.集合变成了{1,0，a}＝{0，
的截距．而t≤9，知 t 9 .
t
t最大，即
最大．
22
2
∵(x，y)∈A ∩B ，
∴( 0 , 所以
9
2 b
)
为A 9.
∩B
围成图形内在y轴上的最高点，
2
点评 以形的直观辅助计算，使计算更有目的性．
四、简单化方法
【例6】 设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集
且S1∪S2∪S3＝I，则下面论断正确的是 ( )
集合是学习数学的基础和工具，是 的必考内容之一，由于集合知识的 抽象性，给相关问题的解决
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反证法被人们誉为“数学家最精良的武器之 一.”,是证明数学命题的一种重要方法，对于那些 含有否定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题， 尤为适宜.
10
思考1 思考2 思考3
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
将数字 1,2,3,…,n 填入 n 个方格里,每格一个数字,
则标号与所填数字均不相同的填法有多少种?
令an 符合条件的填法数,增加数n1和标号为n1的方格.
对于 an 中每一个填法,我们将第 k 格的数移到第n 1 格,而将 n 1填入第 k 格,得符合条件的填法 nan 种;
对于 n 个数时,仅有第 k 格填入的数是 k (1≤ k ≤ n) ,
R C 1 x
⑵关键证明
Q与R
关于直线
y
x
对称 C2
课外思考二
14
数学归纳法(知识点见教程第 138 页) : 形式 1(第一数学归纳法):
⑴验证 p(n0 ) 成立; ⑵假设 p(k) ( k ≥ n0 )成立,那么可推出 p(k 1) 也成立. 形式 2(第二数学归纳法):
⑴已知命题 P(n0 ) 成立； ⑵若当 n0 ≤ n ≤ k 时命题 P(n) 都成立,则 P(k 1) 成立； 由（1）（2）可知命题 P(n) 都成立.
反证法 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是
就要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从 “正面难解决,就从反面思考”的思维方式就是我们 通 常 所 说的 ——反 证 法 ,是 间接 证 法的 一 种 ,它是 数 学证明的大法,历史上许多著名的命题,例如“ 2 为 无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的.
⑴求证: P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上.
⑵设 P(1, 1) 在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的
坐标.
⑴用反证法
y Q yx
P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 )
不妨设 0 x1 x2 x3
则 y1 y2 y3 0
P
( (
x y
1)2003 2)2003
2002( x 2002( y
1) 1 2) 1
,则
x
y
__3___
.
6
思考 3: 若 a 1, b 1, c 1 , a, b, c 为实数, 求证: ab bc ac 1
构造一次函数 f ( x) (b c) x bc 1
5
思考1,2 思考3 思考4,5 思考6
思考 1: (1985 年全国高中联赛试题)设实数 a, b,c 满足
a 2
b2
bc c2
8a 7 0 bc 6a 6
0
,那么
a
的取值范围是(
D)
(A) (, ) (B) ,1 9, (C)(0, 7) (D)1,9
思考 2: (2002 年湖南省竞赛题)设 x, y R ,且满足
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
构造法: 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所
还有没有其他方法
7
思考 4:
已知
1 m2
1 m
3
0, n4
n2
3
且
1 m
n2
,
求 mn4 n2 的值.3 构造一元二次方程.
m2
思考 5: 已 知 x, y, z 为正数 且 xyz( x y z) 1 ,求表达
式 ( x y)( y z)的最小值. 构造三角形的面积. 2
8
思考 6:
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考一 课外思考二课外思考三
1
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说：“竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。”
求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得 问题在这种形式下简捷解决.常见的有构造图形， 构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例， 构造抽屉，构造算法等.
前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造 法的一种体现.用构造法解题,特点是“构造”.但 怎样“构造”，却没有通用的构造法则.下面通过 实例说明.
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设 2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才
显而易见的矛盾(如和已行知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定 结论 命题的结论正确.
11
思考1 思考2 思考3
思考 1: 设 a1, a2 , , a7是1, 2, , 7 的一个排列,
求证: (a1 1)(a2 2) (a7 7) 必是偶数.
构造:a1 1 a2 求证:在四面体 ABCD 中,必有某个顶点,从它发出
的三条棱作为三边可以构成一个三角形.
从最大棱的角度来分析突破
13
思考 3:(1997 年全国高中联赛题)
设双曲线 xy 1 的两支为 C1、C2 ,如图,正三角形 PQR 三顶点位于此双曲线上.
其他 n 1个数填法符合条件为 an1 ,我们也将第 k 格的数移
到第 n 1格,而将 n 1填入第 k 格,得符合条件的填法nan1
种,于是,共有 an1 nan nan1 ,易知 a1 0, a2 1 .
…
…
an
…n
n!
i 1
(1)i
1 (n ≥ 2) 为所求.
i! 课外思考一
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思考1 思考2 思考3
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
将数字 1,2,3,…,n 填入 n 个方格里,每格一个数字,
则标号与所填数字均不相同的填法有多少种?
令an 符合条件的填法数,增加数n1和标号为n1的方格.
对于 an 中每一个填法,我们将第 k 格的数移到第n 1 格,而将 n 1填入第 k 格,得符合条件的填法 nan 种;
对于 n 个数时,仅有第 k 格填入的数是 k (1≤ k ≤ n) ,
R C 1 x
⑵关键证明
Q与R
关于直线
y
x
对称 C2
课外思考二
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数学归纳法(知识点见教程第 138 页) : 形式 1(第一数学归纳法):
⑴验证 p(n0 ) 成立; ⑵假设 p(k) ( k ≥ n0 )成立,那么可推出 p(k 1) 也成立. 形式 2(第二数学归纳法):
⑴已知命题 P(n0 ) 成立； ⑵若当 n0 ≤ n ≤ k 时命题 P(n) 都成立,则 P(k 1) 成立； 由（1）（2）可知命题 P(n) 都成立.
反证法 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是
就要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从 “正面难解决,就从反面思考”的思维方式就是我们 通 常 所 说的 ——反 证 法 ,是 间接 证 法的 一 种 ,它是 数 学证明的大法,历史上许多著名的命题,例如“ 2 为 无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的.
⑴求证: P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上.
⑵设 P(1, 1) 在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的
坐标.
⑴用反证法
y Q yx
P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 )
不妨设 0 x1 x2 x3
则 y1 y2 y3 0
P
( (
x y
1)2003 2)2003
2002( x 2002( y
1) 1 2) 1
,则
x
y
__3___
.
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思考 3: 若 a 1, b 1, c 1 , a, b, c 为实数, 求证: ab bc ac 1
构造一次函数 f ( x) (b c) x bc 1
5
思考1,2 思考3 思考4,5 思考6
思考 1: (1985 年全国高中联赛试题)设实数 a, b,c 满足
a 2
b2
bc c2
8a 7 0 bc 6a 6
0
,那么
a
的取值范围是(
D)
(A) (, ) (B) ,1 9, (C)(0, 7) (D)1,9
思考 2: (2002 年湖南省竞赛题)设 x, y R ,且满足
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
构造法: 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所
还有没有其他方法
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思考 4:
已知
1 m2
1 m
3
0, n4
n2
3
且
1 m
n2
,
求 mn4 n2 的值.3 构造一元二次方程.
m2
思考 5: 已 知 x, y, z 为正数 且 xyz( x y z) 1 ,求表达
式 ( x y)( y z)的最小值. 构造三角形的面积. 2
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思考 6:
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考一 课外思考二课外思考三
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高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味 的奥林匹克技巧。有人说：“竞赛的技巧不是低层次 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。”
求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得 问题在这种形式下简捷解决.常见的有构造图形， 构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例， 构造抽屉，构造算法等.
前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造 法的一种体现.用构造法解题,特点是“构造”.但 怎样“构造”，却没有通用的构造法则.下面通过 实例说明.
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设 2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才
显而易见的矛盾(如和已行知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定 结论 命题的结论正确.
11
思考1 思考2 思考3
思考 1: 设 a1, a2 , , a7是1, 2, , 7 的一个排列,
求证: (a1 1)(a2 2) (a7 7) 必是偶数.
构造:a1 1 a2 求证:在四面体 ABCD 中,必有某个顶点,从它发出
的三条棱作为三边可以构成一个三角形.
从最大棱的角度来分析突破
13
思考 3:(1997 年全国高中联赛题)
设双曲线 xy 1 的两支为 C1、C2 ,如图,正三角形 PQR 三顶点位于此双曲线上.
其他 n 1个数填法符合条件为 an1 ,我们也将第 k 格的数移
到第 n 1格,而将 n 1填入第 k 格,得符合条件的填法nan1
种,于是,共有 an1 nan nan1 ,易知 a1 0, a2 1 .
…
…
an
…n
n!
i 1
(1)i
1 (n ≥ 2) 为所求.
i! 课外思考一
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