直线的投影

二、各种位置平面的投影
1、一般位置平面 一般位置平面投影特点： 由于与三个投影面成倾 斜，故三个投影都缩小 的类似形。 三个投影都不能反映 α、β、γ实际大小。
• 2、投影面的垂直面
• 定义：垂直于某一投影面， • 而与另两投影面倾斜的平面。
投影面的垂直面有三种： 正垂面：垂直于V面，与
H、W面倾斜
(3)侧平线 3.从属于投影面的直线 二、一般位置直线
(2)正垂线
(3)侧垂线
V W
V W
H V W // V 正平线
H
// H 水平线
直线//某一投影面 投影面平行线
// W 侧平线
H
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z a
a
A
b
a
b
b

a

X
O
YW
B
b
a


a
b
投影特性：1．ab OX ; ab OYW 2． ab=AB 3．反映、 角的真实大小

a"


W
a

H
b
投影特性
在所平行的投影面内的投影反映实长及与另外 二投影面倾角 另外二投影分别平行于相应的投影轴
V W
V W
H
V V 正垂线
H H 铅垂线
W
直线某一投影面 投影面垂直线
W 侧垂线
H
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a A b b a a Z a
b
两直线相交吗？
b
′ b V 1′ ′ ′ c ′ 3(4 ) d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B a′ A ⅢⅡ D C a 4 d
● ● ● ● ● ● ● ●
c′
a′ X a
′ ′) ● 3(4
●
1′
2′
b′ d′ O
●
c
3 1(2)
●
●
●
4
●
d b
b H
●
c
3 1(2)
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一 个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其 可帮助判断两直线的空间位置。
X O
b
YW
B a(b)
a(b) YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点 2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
（2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线
ab A
B a ab z a b
b
X
a
O
YW
a
b 投影特性： 1． ab 积聚 成一点 2． ab OX ; ab OZ 3． ab = ab =AB
例1：判断点C是否在线段AB上。
① a c
●
b
②
在
b
a
c
●
不在
b
a ③ a c ● b a c● b
●
c
a
c
●
b
a
●
不在
b
c
另一判断法?
应用定比定理
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k b b k● a
●
解法二： （应用定比定理）
判断交叉两直线重影点投影的可见性
1 (3)4 2 1 3 2 4
3
1(2) 4
判断两直线的相对位置 z c b a o d YW
YH
判断两直线的相对位置
1
1
1d
c 1
判断两直线重影点的可见性
1 3(4)
2
4
3
1(2)
第二节 平面的投影
物体是由各种不同形状的表面围成的，点、 线、面是构成物体的基本几何元素。
第一节 直线的投影
直线对投影面的相对位置 一般位置线段的实长及它与投影面的夹角
属于直线上的点
两直线的相对位置
直线的投影
a b
c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线对投影面的相对位置 一、特殊位置直线 1.直线平行于一个投 影面 (1)水平线 2.直线垂直于一个投 影面 (1)铅垂线
(2)正平线
Z
a

a
X b O a b

b

a
YW
B b
b YH
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH 2． ab =AB 3．反映 、 角的真实大小
投影面平行线
实长
平行某一个投影面的直线 b"
//OZ轴
b'

是什么线？ 正平线 为什么？ 平行 V面
P
V
a'
//OX轴
• 平面的投影仍然是以点的投影为基础，只 要作出平面上的点的投影，即可求得平面 的投影。 • 在求作平面上点的投影时要格外细心，在 学习中逐渐养成认真、严谨的良好作风。
一、平面的表示法 1、用几何元素表示 投影图中可用五种形式表示平 面 不在同一直线上的三点 一直线和线外一点。 相交两直线 平行两直线 平面图形
两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。 ⒈ 两直线平行
V c
d a
C c A a
b B D
b X a d c c a
d
b
O b
d
H
空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
①
a
a
c
b
d a c
c′ b′
相交吗？ 不相交！ 为什么？ 交点不符 合空间一个点 的投影特性。 判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影
a′
d′ d b c
a
⒊ 两直线交叉
b′ c′ a′ X a d ′ V c′ a′ A a b′ d′ B D d c b H
O d
c
C
不相交！ 为什么？ 交点不符合一个 点的投影规律！
k
K
b d D O B
交点是两直 线的共有点
c a b b
k
d
c
k
d
H
a
c k
d b
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a k d
a c k
●
d b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹 角并不反映空间线段与三个投影面夹角的 大小。三个投影的长度均比空间线段短， 即都不反映空间线段的实长。
直线与点
直线上的点具有两个特性：
1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各 同面投影上。
2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。 即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
b
YH
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a
a
b
Z
ab
b ab A B
X
O
YW
a a
b YH
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点 2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
投影面垂直线
a'
实长
垂直某一个投影面的直线 a"
实长
b'
积聚性
b"
正平面：平行V面与H 面、W面垂直
水平面：平行于H面 与V、W面垂直 侧平面：平行于W面 与V、H面垂直
投影面平行面的投影特点： • 1、投影面的平行面在其所平行的投影面上的投 影反映实形（正投影的真实性） • 2、另外两个投影积聚为平行于相应投影轴的直 线。
熟悉各种位置平面的投影特点，能正确画出平面 的投 影，并能从给出的投影图中判断平面的空间位置。
铅垂面：垂直于H面，与 V、W面倾斜 侧垂面：垂直于W面，与 V、H面倾斜
投影面垂直面的投影特点： 1、投影面的垂直面在其所垂直的投影面上的投影 为一倾斜的直线（积聚性），与投影轴的夹角反 映空间平面对投影面的实际倾角； 2、另外两个投影为类似形。
3、投影面平行面：平行于某一投影面，垂直于另 两投影面的平面。 • 投影面平行面有三种：
是什么线？ 铅垂线 垂直H面 为什么？
P
V W
a(b)
投影特性
H
在所垂直的投影面内的投影积聚成一点 另外二投影分别垂直于相应的投影轴且反映实长
二、一般位置直线
b
b B a b X a b b Y Z a

A a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
b
a a Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 、 实角
b
YH
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b a B b
b
a

a
b a

O
A

X
YW
a
b
a
b YH
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映、角的真实大小
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a a A b
a a k b
●
●
●
k●
b
b k●
a
已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投 影 c、 c 。
c
c
[例题] 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc c
ca
c
两直线的相对位置
一、两直线平行
二、两直线相交
三、两直线交叉 四、判断两交叉直线重影点的可见性
例：判断立体图中各平面的空间位置。
图中： A平面为 B平面为 C平面为 D平面为 E平面为
面； 面； 面； 面； 面。
例：根据给出的平面的两面投影补画第三面投影。 • 作图分析： • 补画平面投影依据的是找点的方法， • 即按点的投影规律求出平面上各点的 • 投影，再连接各点。 • 因要找的点较多，为避免出错可将 • 各点标上数字或字母。
2、用迹线表示
迹线：平面与投影面的交线 平面与V面、H面、W面的交线分别称为正面迹线PV、 水平迹线PH、侧面迹线PW。 由于用迹线表示平面不够形象，故较少采用
二、各种位置平面的投影 根据平面在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将平面 分为： 1、投影面平行面 2、投影面垂直面 3、投影面倾斜面 1、一般位置平面 定义：与三个投影面均成倾斜的平面。 平面与H、V、W投影面的倾角分别用α、β、γ表示。 特殊位置平面 一般位置平 面
b d
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
c c d c b d a b a b b d c
②
a
d
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
⒉ 两直线相交
V c a C A X a