第四章 4.5 第2课时(1)

第2课时 简单的三角恒等变换

题型一 三角函数式的化简

1．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2

＝______. 答案 4sin α

解析 2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12

(1＋cos α) ＝2sin α(1＋cos α)12(1＋cos α)＝4sin α. 2．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭

⎫π4＋x ＝________. 答案 12

cos 2x 解析 原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭

⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)2

4sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭

⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭

⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12

cos 2x . 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝

⎛⎭⎫2θ－π3＝________. 答案 4－3310

解析 由题意可得，cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45

，即sin 2θ

＝45

. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭

⎫0，π2， 所以0<θ<π4

，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35

， 由两角差的正弦公式，可得

sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3

＝45×12－35×32＝4－3310

. 4．已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12

－2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝______. 答案 －31010

解析 由已知可得tan ⎝⎛⎭

⎫α＋π12＝－2， ∵α为第二象限角，

∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝255，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－55

， 则sin ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－sin ⎝⎛⎭

⎫α－π6 ＝－sin ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π4

＝－31010

. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

题型二 三角函数的求值

命题点1 给角求值与给值求值

典例 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.

答案 6

解析 原式＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°· 2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]

＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α

的值为________． 答案 －2875 解析 sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α

＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α

＝sin 2α1＋tan α1－tan α

＝sin 2α·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α. 由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4

<2π， 又cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝35

， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45，tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－43

. cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210

， sin 2α＝725

. 所以sin 2α＋2sin 2α1－ tan α

＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875. (3)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314

，则cos β＝________.

答案 12

解析 ∵α为锐角，∴sin α＝ 1－⎝⎛⎭⎫172＝437. ∵α，β∈⎝⎛⎭

⎫0，π2，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)π2

， ∴cos(α＋β)＝－1114

. cos β＝cos [(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12

. 命题点2 给值求角

典例 (1)设α，β为钝角，且sin α＝

55，cos β＝－31010，则α＋β的值为________． 答案 7π4

解析 ∵α，β为钝角，sin α＝

55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010

， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22

>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭

⎫3π2，2π， ∴α＋β＝7π4

. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17

，则2α－β的值为________． 答案 －3π4

解析 ∵tan α＝tan [(α－β)＋β]

＝tan (α－β)＋tan β

1－tan (α－β)tan β