广西大学现代控制理论期末考试题库之计算题(含答案)
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第一类分析与计算题： 1-1、根据机理建立系统模型并进行分析、设计(46 分)
如图，RLC 电路(为计算方便，取 R=1.5Ω，C=1F，L=0.5H)，u 是输入电源电压，uc 是 C 两端电压，i 是流经 L 的电流。以 u 为输入， uc 为输出。完成以下工作：
(1)建立状态变量表达的状态空间模型。(5 分) (2)画出模拟结构图。(3 分) (3)写出系统的传递函数。(3 分) (4)引入变换阵，将建立的状态空间模型转化成能最简耦合形。(5 分) (5)设输入为单位阶跃信号，求系统的状态响应与输出响应。(7 分) (6)求平衡点，并利用 Lyapunov 第二法判定其稳定性。(7 分) (7) 判定系统的能控性，若能控，利用状态反馈，将系统的极点配置到-2 和-3。(8 分) (8) 判定系统的能观性，若能观，设计全维观测器，观测器的极点为-6 和-8。(8 分)
c 1
0 , cA= 0
1,
N
1
0
0 1
,
rank(N
)=2
所以系统能观。(2
分)
系统能控，所以可以构造观测器。
引入反馈阵
G
g1 g2
，得到观测器特征多项式
f det I A Gc 2 g1 3 2 3g1 g2 (2 分)
根据期望极点得到期望特征式
f * ( 6)( 8) 2 14 48 (1 分)
1 0
02 ，b
2
2
b=
0 2
，Ab=
26 ，M
0
2
26，rank(M )=2
所以系统能控。(2 分)
系统能控，所以可以通过状态反馈任意配置极点。加入状态反馈阵 K k0
式为
k1 ，闭环系统特征多项
f det I A bK 2 3 2k1 2 2k0 (2 分)
(2
分)
(6)齐次方程为： x1=x2，x2 =-2x1 3x2 。易知，原点 xe 0 是系统唯一的平衡状态(1 分)，选取标准二次型函
数为李亚普诺夫函数，即
则有
V (x) 2x12 x22 0 (1 分)
V (x) 4x1x1 2x2x2 =-6x22 (1 分)
当 x1=0，x2 =0，V (x) 0 ；当 x1 0，x2 =0，V (x) 0 ，因此V (x) 为半负定，同时V (x) 在状轨线上不总为 0(2
y 1
1
x1 x2
Φ(t
)
e
At
=P
et 0
0 e2t
P
1
2et 2et
e2t 2e2t
et et
e2t 2e2t
(3
分)
设初始条件为零，初始时刻 t0 0 ，输入为单位阶跃信号时，则系统的状态响应为
t
x(t) Φ(t)x(0) 0 Φ(t)bu( )d
2et e2t x(t) 2et 2e2t
i
+
R
u
C
uc
-
L
解：(1)根据 VAR 和 KVL 可以建立模型：
C d uC i(VAR) (1 分) dt
L
di dt
Ri
uC
u(KVL)
(1
分)
选择 x1 uC, x2 i
x1 x2
0 1
L
1C R L
x1 x2
0 1 L
u
(2
分)
y 1
0
x1 x2
分)。根据 Lyapunov 判据，可知该系统在李亚普诺夫意义下是稳定的(1 分)。又因为 x1 0，x2 =0，V (x) 恒
为零，且 x 时，有V (x) ，故系统在原点大范围渐进稳定。(1 分)
(7)①用约旦标准形来判别能控性
所以系统能控。(2 分) ②用判别矩阵来判别能控性
A
比较 f 与f * 得 g1=11，g2 =13 。(2 分)
观测器方程为
xˆ A Gc xˆ bu Gy
11 15
1 3
xˆ
0 2
u
11
13
y
(1
分)
1-2、根据机理建立系统模型并进行分析、设计(46 分) 如下图所示的 RLC 网络(为计算方便，取 R=1/3Ω，C=1F，L=0.5H)。选 x1 uC 和 x2 iL 为两个状态变
G(s)
uC (s) u(s)
s2
1 / LC (R / L)s 1 /
LC
s2
2 3s
2
(3
分)
(3 分)
第二种方法：由(1)中建立的状态空间模型，得
G(s)
c(sI
A)1 b
s2
2 3s
2
(3
分)
(4)定出系统特征值和特征向量。系统的特征值为
可定出一组特征向量为
1= 1 2 = 2 (1 分)
et
et
e2t 2e2t
来自百度文库
x1(0)
x2
(0)
t 2e(t ) 2e2(t ) 0 2e(t ) 4e2(t ) d (2 分)
(2et e2t (2et 2e2t
) x1 (0) )x1(0)
(et e2t )x2 (0) (et 2e2t )x2 (0)
1 2et 2et
根据给定的极点值，得到期望特征多项式
f * ( 2)( 3) 2 5 6 (2 分)
比较 f 与f * 各项对应系数，可解得 k0 =-2，k1= 1。(2 分)
(8) ①用约旦标准形来判别能观性
A
1 0
02,c 1
1 ，对应输出矩阵没有全零列，所以系统能观。(2 分)
②用判别矩阵来判别能观性。
代入 R=1.5Ω，C=1F，L=0.5H，得
(2) 画出模拟结构图为
x1 x2
0 2
1
3
x1 x2
0 2
u
(1
分)
y 1
0
x1 x2
u
+ 2
++
x2
x1 y
-3 -2
(3)第一种方法，根据(1)中建立的微分方程，可得
uC
R L
uC
1 LC
uC
1u LC
拉氏变换，并代入 R=1Ω，C=1F，L=1H，得到
构造变换阵并求逆
1 =
11，2
=
1
2
(1
分)
计算变换后系数矩阵
P 1
2
1 1
1
2
P
1
2 1
1 1
(1 分)
最简耦合形
A
P
1AP
1 0
0 2
，b
P
1b
2 2
，c
cP
1
1 (2 分)
x1 x2
1 0
0 2
x1 x2
2 2
u
(5)先求 Φ(t)
e2t 2e2t
初始条件为零，即 x(0) 0 ，则系统的状态响应仅取决于控制作用的激励部分，即
x(t)
x1(t) x2 (t)
1 2et 2et
e2t 2e2t
(2
分)
系统的输出响应为 y(t) cx(t) 1
0
1 2et 2et
e2t 2e2t
1
2et
e2t
如图，RLC 电路(为计算方便，取 R=1.5Ω，C=1F，L=0.5H)，u 是输入电源电压，uc 是 C 两端电压，i 是流经 L 的电流。以 u 为输入， uc 为输出。完成以下工作：
(1)建立状态变量表达的状态空间模型。(5 分) (2)画出模拟结构图。(3 分) (3)写出系统的传递函数。(3 分) (4)引入变换阵，将建立的状态空间模型转化成能最简耦合形。(5 分) (5)设输入为单位阶跃信号，求系统的状态响应与输出响应。(7 分) (6)求平衡点，并利用 Lyapunov 第二法判定其稳定性。(7 分) (7) 判定系统的能控性，若能控，利用状态反馈，将系统的极点配置到-2 和-3。(8 分) (8) 判定系统的能观性，若能观，设计全维观测器，观测器的极点为-6 和-8。(8 分)
c 1
0 , cA= 0
1,
N
1
0
0 1
,
rank(N
)=2
所以系统能观。(2
分)
系统能控，所以可以构造观测器。
引入反馈阵
G
g1 g2
，得到观测器特征多项式
f det I A Gc 2 g1 3 2 3g1 g2 (2 分)
根据期望极点得到期望特征式
f * ( 6)( 8) 2 14 48 (1 分)
1 0
02 ，b
2
2
b=
0 2
，Ab=
26 ，M
0
2
26，rank(M )=2
所以系统能控。(2 分)
系统能控，所以可以通过状态反馈任意配置极点。加入状态反馈阵 K k0
式为
k1 ，闭环系统特征多项
f det I A bK 2 3 2k1 2 2k0 (2 分)
(2
分)
(6)齐次方程为： x1=x2，x2 =-2x1 3x2 。易知，原点 xe 0 是系统唯一的平衡状态(1 分)，选取标准二次型函
数为李亚普诺夫函数，即
则有
V (x) 2x12 x22 0 (1 分)
V (x) 4x1x1 2x2x2 =-6x22 (1 分)
当 x1=0，x2 =0，V (x) 0 ；当 x1 0，x2 =0，V (x) 0 ，因此V (x) 为半负定，同时V (x) 在状轨线上不总为 0(2
y 1
1
x1 x2
Φ(t
)
e
At
=P
et 0
0 e2t
P
1
2et 2et
e2t 2e2t
et et
e2t 2e2t
(3
分)
设初始条件为零，初始时刻 t0 0 ，输入为单位阶跃信号时，则系统的状态响应为
t
x(t) Φ(t)x(0) 0 Φ(t)bu( )d
2et e2t x(t) 2et 2e2t
i
+
R
u
C
uc
-
L
解：(1)根据 VAR 和 KVL 可以建立模型：
C d uC i(VAR) (1 分) dt
L
di dt
Ri
uC
u(KVL)
(1
分)
选择 x1 uC, x2 i
x1 x2
0 1
L
1C R L
x1 x2
0 1 L
u
(2
分)
y 1
0
x1 x2
分)。根据 Lyapunov 判据，可知该系统在李亚普诺夫意义下是稳定的(1 分)。又因为 x1 0，x2 =0，V (x) 恒
为零，且 x 时，有V (x) ，故系统在原点大范围渐进稳定。(1 分)
(7)①用约旦标准形来判别能控性
所以系统能控。(2 分) ②用判别矩阵来判别能控性
A
比较 f 与f * 得 g1=11，g2 =13 。(2 分)
观测器方程为
xˆ A Gc xˆ bu Gy
11 15
1 3
xˆ
0 2
u
11
13
y
(1
分)
1-2、根据机理建立系统模型并进行分析、设计(46 分) 如下图所示的 RLC 网络(为计算方便，取 R=1/3Ω，C=1F，L=0.5H)。选 x1 uC 和 x2 iL 为两个状态变
G(s)
uC (s) u(s)
s2
1 / LC (R / L)s 1 /
LC
s2
2 3s
2
(3
分)
(3 分)
第二种方法：由(1)中建立的状态空间模型，得
G(s)
c(sI
A)1 b
s2
2 3s
2
(3
分)
(4)定出系统特征值和特征向量。系统的特征值为
可定出一组特征向量为
1= 1 2 = 2 (1 分)
et
et
e2t 2e2t
来自百度文库
x1(0)
x2
(0)
t 2e(t ) 2e2(t ) 0 2e(t ) 4e2(t ) d (2 分)
(2et e2t (2et 2e2t
) x1 (0) )x1(0)
(et e2t )x2 (0) (et 2e2t )x2 (0)
1 2et 2et
根据给定的极点值，得到期望特征多项式
f * ( 2)( 3) 2 5 6 (2 分)
比较 f 与f * 各项对应系数，可解得 k0 =-2，k1= 1。(2 分)
(8) ①用约旦标准形来判别能观性
A
1 0
02,c 1
1 ，对应输出矩阵没有全零列，所以系统能观。(2 分)
②用判别矩阵来判别能观性。
代入 R=1.5Ω，C=1F，L=0.5H，得
(2) 画出模拟结构图为
x1 x2
0 2
1
3
x1 x2
0 2
u
(1
分)
y 1
0
x1 x2
u
+ 2
++
x2
x1 y
-3 -2
(3)第一种方法，根据(1)中建立的微分方程，可得
uC
R L
uC
1 LC
uC
1u LC
拉氏变换，并代入 R=1Ω，C=1F，L=1H，得到
构造变换阵并求逆
1 =
11，2
=
1
2
(1
分)
计算变换后系数矩阵
P 1
2
1 1
1
2
P
1
2 1
1 1
(1 分)
最简耦合形
A
P
1AP
1 0
0 2
，b
P
1b
2 2
，c
cP
1
1 (2 分)
x1 x2
1 0
0 2
x1 x2
2 2
u
(5)先求 Φ(t)
e2t 2e2t
初始条件为零，即 x(0) 0 ，则系统的状态响应仅取决于控制作用的激励部分，即
x(t)
x1(t) x2 (t)
1 2et 2et
e2t 2e2t
(2
分)
系统的输出响应为 y(t) cx(t) 1
0
1 2et 2et
e2t 2e2t
1
2et
e2t