★★★★★有限元法的讲解

第四章求解导热问题的有限单元法

第节概述

第节泛函变分原理

第节有限单元法

第节概述

粗略地讲：有限元法是获得微分方程近似解的一种方法，是一种适合计算机来求解的数值计算方法。（元素特性方程和总体合成方程的建立可以采用直接法，变分法，加权余数法和能量平衡法等四种方法之一，所以粗略地说有限元法是获得微分方程近似解的一种方法也有道理）

比较严格的定义：有限单元法是求解泛函变分问题的一种近似方法。

那么这两种说法有什么联系，或者说是共同之处呢？

变分和微分是对未知函数的不同描述，同一连续介质问题往往都可以找到微分和变分的等价表达方式。变分和微分几乎是同时发展起来的两个数学分支，其目的是相同的，都是求解未知函数，但是方法上有很大差别。

在已知边界条件的情况下，求微分方程的精确解析虽然已有完整的理论，但是真正能解出的只有极少数的几种简单情况，因为在很多情况下，微分方程并不存在初等函数解析解。（对于各种各样的映射，初等函数的表达能力实在太有限了，初等函数包括：冥函数、指数函数、对数、三角函数，以及它们的四则运算等。）由于寻求微分方程的初等函数解析解有困难，所以我们在前一章讲述了微分方程的近似解法，即差分法。

泛函变分原理虽然也可以用解析法（即积分）求得未知函数，但是因为有很多被积函数根本无法找到初等原函数，也就不能积分，尤其是对于二维和三维问题，解析法更加困难。所以我们也要寻求泛函变分的近似解法。泛函变分的近似解法包括里兹法和有限元法（里兹法是有限元法的前身），这两种方法的原理完全相同，即：构造一个近似的初等函数，用近似的初等函数去逼近未知函数。因为任何未知函数都可以找到它的近似初等函数（如：包含待定系数的多项式或三角函数），所以从根本上克服了解析法（无法找到初等原函数）的局限性—牺牲极小的理论计算精度，却换回了对大量复杂二维和三维工程问题的适用性。

微分方程的近似解法：差分法

泛函变分的近似解法：里兹法，有限元法

第节泛函变分原理

一、泛函的概念（借助讲解）

二、变分的概念

借助普通函数微分的概念，用类比法讲解

三、泛函的极值条件

借助普通函数的极值条件，用类比法讲解

四、里兹法（补充内容，但是很重要）

泛函变分的近似解法

一、泛函的概念

通过教材§

泛函的概念：函数的函数

泛函与普通函数的区别就在于：函数的自变量是数；而泛函的自变量则是函数，泛函的定义域由具有一定条件的一组函数组成。泛函是一个函数集到一个数集的映射；普通函数则是一个数集到另一个数集的映射。

泛函的表达式：J=J(y)=J[y(x)]

J=J(T)=J[T(x ，y)]

泛函的一般式：dx y y x F x y J x x ⎰=2

1)',,()]([ 从物理意义上讲，暂时你也可以把泛函理解成熵，自由能等。对于泛函的具体数值我们并不是特别关心，而更关注它何时取得极值，即取什么样的自变量函数，泛函有极值。

二、变分的概念

三、泛函的极值条件（欧拉方程）

泛函dx y y x F x y J x x ⎰=21)',,()]([的极值条件等价于'0y y d F F dx

-= 欧拉方程给出了泛函极值条件与微分方程的关系！

利用欧拉方程解教材§

在变分问题中，使泛函J(y)为极小值的条件，除0J δ=外，还应有20J δ>（二阶变分）

四、里兹法（泛函变分的近似解法）

（变分原理在求解微分方程中的应用）连续介质问题经常有着不同的但是等价的表达公式－－微分表达公式和变分表达公式，从例§

求解变分精确解的过程中需要进行各种积分运算，而许多情况下被积函数根本无法找到与相应的初等函数形式的原函数，这说明通过求原函数来计算积分有它的局限性，甚至于可以说这种形式的变分运算根本无法体现出它的运算较微分解方程有什么优越性。

变分法的优越性体现在：我们可以找到一种适用于求得以变分形式表达问题的近似解的简便方法，这种方法叫里兹法，是有限元法的前身 。

例：用里兹法解微分方程：01''=++y y

边界条件0,01,0

x y x y ==⎧⎨==⎩

解：构造泛函1

22011[()][(')]22J y x y y y dx =--⎰，在满足边界条件0,01,0x y x y ==⎧⎨==⎩情况下，该泛函的极值条件与微分方程01''=++y y 同解。

利用欧拉方程可以很容易的证明两者同解（1--=y F y ，''y F y =）

令近似函数（或称为试探函数）

其中123,,a a a 为待定系数，因为近似函数必须满足边界条件，所以我们构造了这样一个函数。

将近似函数代入泛函，则此时泛函J [()]y x 已经“变质”了，它不再是函数()y x 的函数（泛函）。而实际上是关于未知数123,,,......n a a a a 的多元函数J(123,,,......n a a a a ) 普通多元函数取极值的条件：0k

J a ∂=∂ k=1,2,3,…n 从这n 个代数方程中显然可以求得123,,,......n a a a a 等n 个未知数

这里，我们令 21()y a x x =-

＝1

22342110[(144)(2)()]a x x a x x x x x dx -+--+--⎰

＝1234111110[(41)(31)2]a a x a x a x a x dx -++++-⎰ ＝111111111(41)(31)2325a a a a a -

++++- ＝113610

a -+＝0 得：159a =，所以：)(952x x y -= 检验：