条件不等式

Ans：(1)−2≤x≤−1 或 2≤x≤4 (2)−2<x≤−1 或 −2 ≤ x < 1 (3)x≥ −1 或 x≤−5
3
3
2
⎧ x+6≥0
⎧ x ≥ −6
(1)
⎪ ⎨
x2 − x − 2 ≥ 0
⇒
⎪ ⎨
x
≤
−1或x
≥
2
⇒ −2≤x≤−1 或 2≤x≤4
⎪⎩x + 6 ≥ x2 − x − 2 ⎪⎩ −2 ≤ x ≤ 4
2
⇔
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
x
x <
>0 (1) 2
2
⇔ 0<x<14。
[例題8] 解log3(3x+8)<2x+1+log32。
[答案]：：log34<x<log316 [解法]：
log3(3x+8)<2x+1+log32
⇔
log3(3x+8)−
x log32<2+1
⇔
3x+8 log3 2
<
x 2+1
⇔Βιβλιοθήκη Baidu
3x+8 2<
第四章不等式
§4−1 條件不等式
(甲)整式、分式與根式不等式
(1)一元二次不等式： 解二次不等式的方法 設不等式ax2+bx+c(>,<,≥,≤)0，先將a調整為正 先解一元二次方程式ax2+bx+c=0 的二根α、β (a)設a>0，D=b2−4ac>0，α ,β (α<β)為兩實數
因為ax2+bx+c=a(x−α)(x−β) 分段討論ax2+bx+c的正負：
(3)解一元高次不等式 f(x)≥0 Step1：最高次係數使其為正 Step2：因式分解求出全部的根：a1<a2<……<an Step3：由小至大，由左至右排列
~4−1−1~
Step4：f(x)>0⇒取正範圍；f(x)<0⇒取負範圍 註：偶次方及恆正之項可捨去，但須注意「等號」是否成立
(ax2+bx+c中，當a>0 且b2−4ac<0 時，則ax2+bx+c恆正)
(練習5)
不等
式：
2 x>x+1
與下
列
哪一
個不
等式
有
相同
的解
集
合？
(A) x(x −1)(x + 2) < 0 (B) x(x +1)(x − 2) < 0 (C) x(x +1)(x − 2) > 0
~4−1−4~
(D) x(x −1)(x + 2) > 0 (E) 2 > x2 + x
Ans：(A)
(練習6) 解下列的不等式： (1)x+2< 10−x2 (2) x2−25 >x−1 Ans：(1)− 10 ≤x<1 (2)x≤−5 或 x>13
(乙)指數、對數與三角不等式
(1)不等式中含有指數對數時，先將底數化為相同，再比較指數或真數大小。 基本知識： (a)底數 a>1： ax2 > ax1 ⇔ x2 > x1 ； loga x2 > loga x1 ⇔ x2 > x1 > 0 (b)底數 0<a<1： ax2 > ax1 ⇔ x2 < x1 ； loga x2 > loga x1 ⇔ 0 < x2 < x1
解ax2+bx+c>0 ⇔ 所有實數均為解
解ax2+bx+c<0 ⇔ 無解
(2)二次函數恆正(恆負)的充要條件： 對於所有的實數x，二次函數ax2+bx+c>0(≥0)恆成立⇔ a>0 且D<0 (D≤0) 對於所有的實數x，二次函數ax2+bx+c<0(≤0)恆成立⇔ a<0 且D<0 (D≤0)
(C)
但
1− 2
5 1+ <x< 2
5 (4)
x < 1− 21 或 2 < x < 1+ 21
2
2
(練習4) 解下列不等式：
(x−1)2 (1) 2x−1 <0
(2)(x−1x)+(1x−3)≥0
(
x2−7x+12 3) x2−3x+2
<−1
Ans：(1)x<12 (2)−1≤x<1 或 x>3 (3)1<x<2
x +1
32
⇔
3x+8<2⋅
x +1
32
x
，令t= 32
x
⇔ t2+8<6t ⇔ 2<t<4 ⇔ 2< 32 <4
⇔
x log32<2<log34
⇔
log34<x<log316。
~4−1−6~
(練習7) (1)解不等式 0.1x2 −3x > 0.0001 ，得x的範圍為
。
(2)解不等式x>0， xx2−4 > (xx )3 ，得x的範圍為
x2
+
6x
+
5
≥
(x
+
2)2
⇒
x≥
−1 2
⎪⎩
(練習1) 設一三角形的三邊長分別為 15,19,24，今將三邊長各減去 x 後，得一鈍 角三角形，試求 x 值的範圍。Ans：3<x<11
(練習2) 已知方程式f(x)=x4−5x3+3x2+19x−30=0 有一個複數根 2+i，若實數a滿足 f(a)<0，試求a的範圍為？Ans：−2<a<3
[例題1] 設 x ∈ R ，求下列二次不等式之解： (1) x2 − 4x + 3 ≤ 0 (2) x2 − x −1 > 0 (3) x2 + x +1 > 0 (4) x2 − x +1 < 0 (5) x2 + 2x +1 > 0 (6) x2 + 4x + 4 ≤ 0 【詳解】
(1) (x −1)(x − 3) ≤ 0 ⇒1 ≤ x ≤ 3
(2)簡易的三角不等式：
step1：利用三角恆等式或性質(如：和角、倍角、和差積互化、疊合等公式)
化成同名且同角函數，再解不等式。
step2：以三角函數圖形的增減，寫出一週期的解，再寫出全部的通解。
1三角函數圖形：
正弦函數 y=sinx
餘弦函數 y=cosx
正切函數 y=tanx
[例題5] (1)解不等式： 2 x2 < 4 x+3 (2) (0.008) x2 −x+2 < (0.2)2x2 +x+3 (3)2x>3x Ans：(1)1− 7<x<1+ 7(2) x>3 或x<1(3)x<0 [解法]：
[例題7] 解下列不等式：
(1)log14(x3−5x+12)<1 (2) log2 (log 1 x) > 1 2
[答案]：：(1) −3<x<−2 或 1− 2<x<1+ 2 (2)0<x< 2
[解法]：
(1) 解log14(x3−5x+12)<1 首先考慮真數x3−5x+12>0……..c
又log14(x3−5x+12)<1 ⇔ log14(x3−5x+12)<log1414，因為y=log14x為增函數 ⇔ x3−5x+12<14….d c式 ⇔ (x+3)(x2−3x+4)>0，因為x2−3x+4 恆正，⇔ x+3>0 ⇔ x>−3
~4−1−5~
(1) 2 x2 < 4 x+3 ⇔ 2 x2 < 22(x+3) ⇔ x2<2(x+3) ⇔ 1− 7<x<1+ 7 (2) (0.008) x2 −x+2 < (0.2) 2x2 +x+3
⇔ (0.2)3( x2 −x+2) < (0.2) 2x2 +x+3
⇔ 3(x2−x+2)>2x2+x+3
x
x<α
α<x<β
x>β
x−α
−
+
+
x−β
−
−
+
(x−α)(x−β)
+
−
+
解ax2+bx+c>0 ⇔x>β或x<α(大於大的根或小於小的根)
解ax2+bx+c<0 ⇔α<x<β (介於兩實根之間)
(b)設a>0，D=b2−4ac=0， α=β為兩相等實數 因為ax2+bx+c=a(x−α)2分段討論ax2+bx+c的正負：
(5) x2 + 2x +1 > 0 ⇒ (x +1)2 > 0 ⇒ x ∈ R, x ≠ 1
(6) (x + 2)2 ≤ 0 ⇒x=−2
~4−1−2~
[例題2] 解下列不等式： (1)x4+x3−7x2−x+6>0 (2) (x −1)2 ⋅ (x2 − 3x − 4) < 0 Ans：(1)x>2 或−1<x<1 (2) −1 < x < 4, x ≠ 1
d式 ⇔ x3−5x−2<0 ⇔ (x+2)(x2−2x−1)<0 ⇔ 1− 2 <x>1+ 2 或x<−2
由cd的解，取共同部分可得−3<x<−2 或 1− 2<x<1+ 2。
(2)
log2 (log 1 x) > 1 2
⇔
⎧log ⎪ ⎪⎩⎨log
1 2
1 2
x x
> >
0 2
⇔
log 1 x > 2
(練習3) (1)解不等式(x2+2x+7)(x−1)(x+2)<0 (2)解不等式(x−1)10(x+2)(x−4)<0 (3)解不等式(x2−2x+1)(x2−x−1)<0
(4)解不等式 x3 − 3x2 − 3x +10 < 0 Ans：(1)1<x<−2 (2)−2<x<4，但x≠1
(3)x≠1
⇔x>3 或x<1 (3)兩邊取對數log2x>log3x ⇔ x(log2)>x(log3) ⇔ x(log2−log3)>0
Qlog2−log3<0，∴x<0。
[例題6] 解不等式：9x−13⋅3x+36<0。
Ans：log34<x<2 [解法]： 9x−13⋅3x+36<0 ⇔ (3x)2−13⋅3x+36<0 ⇔ (3x−4)(3x−9)<0 ⇔ 4<3x<9 ⇔ log34<log33x<log39 ⇔ log34<x<2
。
(3)解不等式 23x−2+5⋅2x−2+1<11⋅22x−3得x的範圍
。
Ans：(1) −1 < x < 4 (2) 0 < x < 1或 x > 4 (3) 1 < x < 2 [提示：可令t=2x]
key：注意底數比 1 大或比 1 小
【詳解】
(1)∵ 0.1x2 −3x > 0.14 ⇒ x2 − 3x < 4 ∴ −1 < x < 4
(2)
⎧0
⎨ ⎩
x
2
< x <1 − 4 < 3x
或
⎧
⎨ ⎩
x
2
x >1 −4>
3x
⇒
0
<
x
<
1或
x
>
4
(練習8) 已知 0 < x < y < a <1，則有
(A) loga (xy) < 0
(B)
0
<
loga
( xy )
<
1 2
(D)1 < loga (xy) < 2 (E) loga (xy) > 2
x
x<α
x>α
x−α
−
+
(x−α)2
+
+
解ax2+bx+c>0 ⇔x≠α(或β) [x>α或x<α]
(c)設a>0，D=b2−4ac<0，α、β均為虛數
a
x2+
bx+
c=a
(x+
b 2a)
2+4a4ca−b2
因為a>0
且
b2−4ac<0，
所
以
4ac− 4a
b2 >
0
故不管x代入那一個實數，ax2+bx+c恆正。
(2) x2 − x −1 > 0 ⇒ (x − 1+ 5 )(x − 1− 5 ) > 0 (用公式解)
2
2
⇒ x < 1− 5 或 x > 1+ 5
2
2
(3) x2 + x +1 > 0 ⇒ (x + 1)2 + 3 > 0 恆成立，故解為 R(一切實數集合) 24
(4) x2 + x +1 < 0 ⇒ (x + 1)2 + 3 < 0 恆成立，故無解 24
(4)分式不等式：
基本理論：
(a)基本型式：
f(x) g(x)>(<)0
⇔
f(x)⋅g(x)>(<)0
gf((xx))≥(≤)0 ⇔ f(x)⋅g(x)>(<)0 或 f(x)=0
(b)一般型式：
f(x) g(x)>(<)h(x)
⇔
gf((xx))−h(x)>(<)0 ⇔
f(x)−h(x)g(x) g(x) >(<)0
⎧3x2 + 5x + 2 ≥ 0
(2)
⎨ ⎩4
>
3x2
+
5x
+
2
⇒
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x
≤ −1或x ≥ −2 3
−2 < x < 1 3
⇒
−2<x≤−1
或
−2 3
≤
x
<
1 3
⎧x2 + 6x + 5 ≥ 0
(3)
1
⎧x2 ⎨ ⎩
+ x
6x +5 ≥ +2<0
0
⇒
x≤−5
或2
⎪ ⎪
x
+
2
>
0
⎨ ⎪
⇔ g(x)[f(x)−h(x)g(x)]>(<)0
gf((xx))≥(≤)h(x) ⇔ gf((xx))−h(x)≥(≤)0 ⇔ f(x)−gh((xx))g(x)≥(≤)0 ⇔ g(x)[f(x)−h(x)g(x)]>(<)0 或[f(x)−h(x)g(x)]=0 (5)根式不等式：
型一： f (x) > g(x) ⇔ f (x) ≥ 0且g(x) ≥ 0且f (x) > g(x) 型二： f (x) > g(x) ⇔ f (x) > 0且g(x) ≥ 0且[ f (x)]2 > g(x) 型三： f (x) > g(x) ⇔ 1 f (x) ≥ 0且g(x) < 0 或2 f (x) ≥ 0且g(x) > 0且f (x) > [g(x)]2
[例題3] 解下列不等式： (1)xx+−12>0 (2)xx+−32≤0 Ans：(1)x<−2 或 x>1
(3)(x−2x)−(1x+3)≥0 (4)x−32>x (2)−2<x≤3 (3)−3<x≤−1 或 x>2
(4)x<−1 或 2<x<3
~4−1−3~
[例題4] 求解下列根式不等式：
(1) x + 6 ≥ x2 − x − 2 (2) 2 > 3x2 + 5x + 2 (3) x2 + 6x + 5 ≥ x + 2