919.面积问题与面积方法-奥数精讲与测试(9年级)

知识点、重点、难点
用面积方法解题，其基本原理是：首先根据问题中的几何量与有关图形面积之间的内在联系，用面积表示有关的几何量；其次把几何量之间的关系转化为面积关系，然后通过面积变形，得到原问题的解决方法。

面积方法解题有时更具有直观性、通用性和简洁性，因此在国内外数学竞赛试题中经常出现面积问题。

1.三角形的面积公式 （1）1
2
a S ah =
； （2）S =pr （p 为三角形半周长，r 为内切圆半径）；
（3）4abc
S R =
（R 为外接圆半径）； （4）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===；
（5）()()()S p p a p b p c =---（p 为半周长）（海仑公式）。

2.四边形的面积公式
设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的夹角为θ，则1
sin .2
ABCD S AC BD θ= 3.多边形的面积
（1）设P 为多边形内一点，则122312
n
PA A PA A A A
A S S S ∆∆=++
多边形
1.n PA A S ∆+
（2）设多边形有内切圆，半径为r ，则12
n
A A
A S pr =多边形（p 为半周长）。

4.等积变换的基本定理
(1)等底等高的两个三角形面积相等；
(2)两个三角形面积比，等于它们的底高积之比； (3)两个等底三角形面积之比，等于它们高之比； (4)两个等高三角形面积之比，等于它们底之比；
(5)两个相似三角形面积之比，等于它们相似比的平方； (6)两个等角三角形面积比等于它们夹该角的两边之积的比；
例题精讲
例1：如图，五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD =AE = BC ＋DE =1，求五边形A BCDE 的面积。

分析 应用割补将五边形面积转化成两个三角形面积之和。

解 因为AB = AE ，∠ABC =∠AED =90°，所以可将△AED 切割下补在△ABP 的位置。

如图， AP =AD ，BP =DE .观察△ACD 和△APC ，有PC =BP ＋BC =CD =1，AC =AC ，AP=AD. △ACD 和△APC 三条边都对应相等，△ACD 和△APC 是两个同样的三角形（△ACD ≌△APC ），所以
,22ACD APC ABCDE APCD ACD ADC APC S S S S S S S ∆∆∆∆∆===+==⨯
1
() 1.2
PC AB ⨯=
例2：如图，将△ABC 的三个顶点与一个内点连结起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图上标明，试求ABC S ∆．
解 设另外两个小三角形面积分别为x 、y ，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，则得方程组
4040843030353535304084848435
,4030
y x x
x y x y y ⎧++=
⎪++⎪⎪++=⎨++⎪⎪++=
⎪++⎩ 解得70
56.x y =⎧⎨
=⎩ 所以ABC S ∆=＝30＋35＋70＋84＋56＋40＝315.
例3：如图，在△ABC 中，P 为BC 边上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA .若
1ABC S ∆=，证明：BPF S ∆，PCE S ∆，和PEAF S 中至少有一个不小于
4.9
证明 设(01)BP
t t BC
=≤≤，并且1ABC S ∆=．因为PE ∥BA ，PF ∥CA ，所以
△BPF ∽△BCA ，△PCE ∽△BCA ，所以2
(
)BPF ABC S BP S BC
∆∆==2t ，所以2.BPF S t ∆=同理可得2
2()(1),PCE ABC S CP t S BC
∆∆==-所以2(1).PCE S t ∆=-所以
221(1)2(1).PEAF ABC BPF PCE S S S S t t t t ∆∆∆=--=---=-
原命题要证BPF PCE PEAF S S S ∆∆、、中至少有一个不小于
4
9
，用反证法。

不妨设444
,,999
BFP PCE PEAF S S S ∆∆<
<<，即得不等式组 22
4941942(1),9t t t t ⎧<⎪⎪
⎪-<
⎨⎪
⎪
-<⎪⎩化简得409
5521.33t t t t t ⎧≤<⎪⎪⎪><-⎨⎪⎪><⎪⎩
或或 由不等式组无解，得原命题成立。

例4：如图，已知△PQR 与△P'Q'R'是两个全等的正三角形，六边形ABCDEF 的边长分别记为：AB ＝1a ，BC ＝1b ，CD ＝2a ，DE =2b ，EF ＝3a ，FA ＝3b ，
求证：222222123123a a a b b b ++=++
证明 设△PAB 、△Q'CB 、△QCD 、△R'ED 、△RFE 、△P'AF 的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S 、5S 、6S 由已知易证△PAB ∽△Q'C B ∽△QCD ∽
△R'ED ∽△RFE ∽△P'AF ，所以222
632142
222111111,,,S b S b S b S a S a S a ===所以
22
2246123211S S S b b b S a ++++=，所以211
222
123246
a S
b b b S S S =++++，同理可证2
32
22
2123246S a b b b S S S =++++，2
35
22
2123246
a S
b b b S S S =++++，所以
222
123135
222
123246
a a a S S S
b b b S S S ++++=++++，因为135246S S S S S S ++=++，所以222
123222123
1a a a b b b ++=++，即22222
212
3123a a a b b b ++=++.
例5：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，并且AB >AC ，在斜边BC 上取一点D ，使BD =AB ，过D 作直线平分 △ABC 的面积，且与AB 的交点为E . 求证：BE 、DE 都等于BC 的一半。

证明 设BC 的中点为O ，连结AO .因为△ABO 与△ABC 是同高的两个三角形，并且O 是BC 的中点，所以1
2
ABO ABC S S ∆∆=
，因为ED 平分△ABC 的面积，所以
1
2
EBD ABC S S ∆∆=
；所以,ABO EBD S S ∆∆=所以ABO EBO EBD EBO S S S S ∆∆∆∆-=-，即AEO
DEO S S ∆∆=．因为△AEO 和△DEO 共底边且面积相等，所以AD ∥EO ，
所以∠BEO =∠BAD ，∠BOE =∠BDA ．因为AB =BD ，所以∠BAD =∠BDA ，所以∠BEO =∠BOE ，所以1
2
BO BE BC ==，所以△ABO ≌△DEB ，所以DE = AO .因为∠BAC =
90°，O 是BC 中点，所以12AO BC =
，所以1
.2
DE AO BC ==
例6：（第26届IMO 试题）设凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在AB 边上，且与四边形的其他三边相切，求证：AD ＋BC =AB . 分析 设AD 、BC 延长线交于E ，利用△ECD ∽△EAB 可以得出边和面积的比例关系，而⊙O 与AD 、CD 、BC 相切又可以将面积的关系转化为底边之间的关系，两者综合起来便得到所要证明之结论。

证明 延长AD 、BC 交于E (如图)，连结EO 、OC 、
OD .
设
⊙
O
的
半
径
为
r
，
则
111
,222
ECD EDO ECO DCO S S S S DE r CE r CD r ∆∆∆∆=+-=
+- 11
.22
ABE AEO BEO
S S S AE r BE r ∆∆∆=+=+因为ABCD 是圆内接四边形，
所以△ECD ∽△EAB ，所以EC ED CD
EA EB AB
λ===，所以
EC =,,.EA ED EB CD AB λλλ==又因为2,
ECD ABE
S DE CE CD S AE BE
λ∆∆+-==+所以
2(),EA EB AB
EA EB
λλλ+-=+所以EA EB +=
EA EB AB
λ
+-，所以
().EC ED EA EB EA EB AB λ+=+=+-所以 .AD BC EA ED EB EC AB +=-+-=
A 卷 一、填空题
1.如图，已知DE ∥BC ，1,4DOE OBC S S ∆∆==， DC 与BE 交于O 点，则ABC S ∆= 。

2.如图，在△ABC 的各边AB 、BC 、CA 上取AD 、BE 、CF 各等于其边的三分之一，则
DEF
ABC
S S ∆∆= 。

3.如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AC 、BC 上的点，
BM 与AN 相交于O .如果OMA S ∆=3 cm 2、OAB S ∆=2 cm 2、OBN S ∆=1 cm 2
，则CMN S ∆= cm 2
．
4.如图，在△ABC 中，AD 、BE 都是中线，MN 平分BE 且平行于AD .已知AD 、BE 、MN 将△ABC 分成六部分的面积，依次是a 、b 、c 、d 、e 、18，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，d = ，e = 。

5.在平行四边形ABCD 中，P 为BC 的中点，过P 作BD 的平行线交CD 于Q ，连结PA ，PD ，AQ ，QB ，则图中与△ABP 面积相等的三角形，除△ABP 之外还有 个。

二、解答题
6.如图，已知△ABC 的面积为m ，1,3BP BC =Q 是AB 的中点，1
4
AR AC =，求.PQR S ∆
7.如图，已知P 为△ABC 内任意一点，AP 、BP 、CP 分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，求证： 1.BD CE AF
DC EA FB
=
8.如图，已知P 、Q 是线段BC 上的两点，且 BP =CQ ，A 是直线BC 外的动点，当A 运动到∠PAB =∠QAC 时，判定△ABC 是什么三角形。

9.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 的中点为M 、N 、MN 延长线与AB 交于P 点，求证：1.2PCD ABCD
S S ∆=
四边形
10.如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上，CF 交BE 于P ，CF 交AD 于Q ，BE 交AD 于R ，且
,,,BD CE AE
p q r DC EA FB ===1
ABC S ∆=，求
DEF PQR ∆∆、的面积。

B 卷 一、填空题
1.如图，ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则△BPD 的面积为 。

2.如图，AE ⊥AB ，AE =AB ，BC ⊥CD ，且BC =CD ，请根据图中所标数据计算图中实线所围成的图形的面积S 是 。

3.如图，一个边长分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是 。

4.如图，△ABC 中AB =2，AC =3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB 、BC 、CA 为边的正方形，则图中阴影部分的面积之和的最大值是 。

5.已知AB 为⊙O 的直径，M 为OB 上一点，且AM ：MB =7：1，过M 任作一弦PQ ，则APQ S ∆代的最大值是 。

6.已知以AB 为直径的半圆上有两点C 、D ，使∠DCB =120°，∠ADC = 105°，CD ＝1，则ABCD S 四边形＝ 。

二、解答题
7.如图，等边△ABC 内一点P ，P 到三边的距离分别为PD =1，PE =3，PF = 5，求△ABC 的面积。

8.如图，P 是△ABC 内一点，过P 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的小三角形1t 、2t 与3t 的面积分别是4、9和49，求△ABC 的面积（第2届美国邀请赛）．
9.在任意凸四边形ABCD 中，对角线BD 及AC 之比为λ，有一菱形EFGH ，其顶点在四边形的各边上，其各边平行于四边形的对角线。

（1）求ABCD
EFGH
S S 四边形四边形；
（2）求证：.1
2
EFGH ABCD S S ≤四边形
10.如图，在△ABC 的三边AB 、BC 和CA 上，分别有和顶点不重合的任意三点M 、K 和L ，试证△LAM 、△MBK 和△KCL 中至少有一个三角形的面积不大于△ABC 的面积的14
.
C 卷
一、填空题
1.如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在它的边BC 、AC 、AB 上，AD 、BE 、CF 交于一点G .若BD =2CD ，面积1S =3，面积2S = 4，则ABC S ∆= 。

2.如图，在△ABC 中，CD 、AE 、BF 分别是所在边的
1
3
，AD 、BE 、CF 分别相交于1N 、2N 、3N ，则123N N N ∆与△ABC 的面积之比是 。

3.如图，在△ABC 中，AC = 2，BC ＝4，∠ACB ＝60°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为DE ，则
△AEC 的面积是 。

4. ⊙O 和⊙O' 相交于A 、D 两点，⊙O'的切线AB 交⊙O 于点B ，⊙O 的切线AC 交⊙O'于点C .若∠BAD =45°，∠CAD =30°，O'A =52，则∠BAD 所对的弧与BD 所构成的弓形面积等于 。

5. ⊙O 是边长为1的正六边形ABCDEF 的内切圆，P 为⊙O 和DE 边的切点，Q 、R 分别是PA 、PB 与⊙O 的交点，则PQR S ∆= 。

6.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径且AB = 2，1
2
BCD AOCD S S ∆=
梯形，则OBC S ∆= 。

二、解答题
7. △ABC 是面积等于1的直角三角形，A'、B'、C'分别是A 、B 、C 关于各自对边的对称点，求△A'B'C'的面积（第21届加拿大奥林匹克）。

8.设有一边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积（须证明其论断）。

9.如图，四边形ABCD 的面积为1，其对角线交于P ，△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心分别为1M 、2M 、3M 、4M ，求四边形
1234M M M M 的面积。

10.在直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，连结三角形ABD 的内心与三角形ACD 的内心的直线分别与边AB 及边AC 相交于K 及L 两点，三角形ABC 与AKL 的面积分别记为S 和T ，求证：2S T ≥.
11.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，O 为对角线的交点，F 为OB 上一点，E 为CF 上一点，AOB S ∆ =10， BFE S ∆ = 3，BFC S ∆= 9， OEC S ∆=6，试求梯形ABCD 的面积。

12.设E 为正方形ABCD 一边AB 的中点，在边BC 和CD 上分别取两点F 和G ，并且使AG ∥EF ，试证：直线FG 与正方形ABCD 的内切圆相切。