三阶非线性三点边值问题解的存在性和唯一性

第３ ３卷 第 ３期 ２１ ０ ２年 ６月
大 连 交 通 大 学 学 报
Ｊ ＵＲＮＡ Ｏ ＤＡＬ Ａ ０ Ｌ Ｆ Ｉ Ｎ Ｊ Ａ ＯＮＧ Ｉ ＯＴ Ｕ ＶＥ Ｉ Ｙ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ ３ １３ ．
Ｊｎ２ ２ ｕ ． ０１
文章编号 ：６ ３ ９９ ２ １ ）３０ ８ —４ １７ —５０（０ ２ ０ —０ ６０
（ ） 则 ｏ （ ）≤ （）≤ ／ （） ｔ， Ｌ ｔ ｔ ｏ ３ ｔ ，一１≤ ｔ １ 如 ０ ≤ ，
＾
（） ２ 存在 （）∈Ｃ ［ ，］ 使得 Ｊ ｔ ｔ ｊ 一１１ ， Ｂ ）＜ （
＾ ＾
果 ｇ ｕ １ ， （） （（ ）ｕ １ ）＝Ｏ则定理为真； ， 如果 ｇ （ ） （ １，
文献标识码 ： Ａ
０ 引言
在理 论上 有 重要 意 义 ， 且 在 流体 力 学 中有 而
重要 应用 的三 阶非 线 性 常 微 分 方 程 三 点 边 值 问
（ ） （， “Ｗ） ∈ Ｃ ［ １１ １ ｌｔ 厂 ， ， （ 一 ，］×Ｒ ） 且 在 ， ［ ，］上关 于 单 调不减 ， ［ ，］上关 于 单 一１０ 在 ０１
＾
ｇ （ ） （ ） （ １ ， １ ）＜０ ｇ （ ） 卢 １ ） ＞０ ， （ １ ， （ ）
故 存在一致收敛 的子序列 ｛ （） ， （） 使得 ￡｝ ｛ ｆ ｝
（） 。 ， （ ） Ｍ。 ， ￡一 （ ）卢 一 （）
一
１≤ ｔ≤ １ Ｊ ｝ 。 ．— 。
一
＾
一
如果 上 式等式 成 立 ， ％ （）便 是 （ ） （ ） 解． 则 ｔ ３ ，４ 的 否 则考 虑边值 问题
＾ Leabharlann ｇ ‰（ ） ｕ。 １ ）≥ ０，０ １ ＝ Ｂ， （ １ ， （ １ ， （ ） ｔ （一 ） ｔ ｇ （ ） （） １ ）≤０ 由式 （ ， ６ ， ５） （ ）可 知 “ （ ）≤ （ ） 。 ｔ 。 ｔ ，
厶
（ ） （ ） ｂ ｔ ， ｔ ∈ 一１ １ ， １ ｔ ， （ ） （） Ｃ［ ， ］ 且 （）≥ ｔ
＾
ｕ” ＝
ｔ
，
Ｔ ， ， ， （ ）＝ ｄ ， （ ） ＝Ｂ ｕ ｕ ｕ ） “ 一１ １Ｍ １
０ ，一１≤ ｔ≤ ０ （）≤ ０， ， ｔ ０≤ ｔ １ ≤ ；
从 引 理 １可 得 其 解 存 在 ， 取 其 一 记 为 任
我们将 在通 常意 义下 研 究方 程 （ ） 满 足非 １之 线性 边值 条件 （ ） ２ 的解 的存 在性 ， 唯一性 ．
证明
为真 ．
利用文 献 ［ ］ 理 ４的方 法 易知 结 论 ３定
１ 辅 助 引 理
考 虑一 类 Ｖ ｌ ｒ 型 积分 微 分方 程 的非 线性 ｏ ｅｒ ｔ ａ
“ （ ） （）≤ ，一１≤ ｔ≤ １．
１ ， 得 Ｏ ｔ ≤ （） （） ≤ ｔ ］ ｔ ， ］使 ｌ ） ｔ ， ｔ ，［ （） （ （） （） ，”ｔ ≥ Ｉ ｔ ［ ］ ｔ ，． ｔ ， ｔ ， ｔ ）Ｏ （） Ｌ 厂 ， （）Ｏ （） （ １ Ｏ （） ， 称 （）和 （）为方程 （ ）的上 下解． ｌ ｆ ）则 ｔ ｔ ３
、 ＪＵ
于 ［ ，］×［ ，］ 连续非 负 ， ｔ ［ ， 一１１ ～１１ 上 （）于 一１
１ ］上 连续 ． 定 义 １ 如果存在 函数 （） ｌｔ ｔ 和Ｏ ）∈Ｃ ［ ， （ ２ 一１
（ ）≤ Ｂ≤ （ ） 一１ 一１
则 边值 问题 （ ） （ ） ３ ， ４ 有解 “ ｔ ， （ ） 使得 Ｏ ｔ Ｌ ）≤ （
（） ｔ，一１≤ ｔ≤ １ 同 时 满 足 Ｏ 一１ ， ／ （ ）≤ Ａ ≤
（ ） （ ）≤ Ｂ ≤ （ ） 一１ ， １ １
几篇论文 ［ ，］本文利用微分不等式技巧 ， １３ ． 考虑
更 一般 的三 阶非线 性 三点边 值 问题
ａ
ｍ
．
．
厂ｔ ， ） （， ，
（） １
厶
Ａ
Ｙ ＝ （） ”＋ｂ ｔｙ （） ｔｙ （） ＋ ｔｙ
（） ７ （） ８
１
再 置 ｄ １［ （ ）＋ （ ） ， 考虑 边值 ：＝ １ １］ 并
‘
（ ）＋ｂ １ ＝０ ｙ Ｏ ＝０ Ｙ （ ） ＝０ １ ｙ（ ） ，（ ） ， 一１ 只有 零解 ．
． 一
１ ≤ ｔ≤ １． ｉ—｝∞
／（） 于是 ｏ （ ）≥ 。 １ ，由条 件 （ ） ３ｔ ， Ｌ １ （） ２ 得 ｇ ｏ （ ） ｏ 。 １ ）≤ ｇ （ ） （ ） （Ｌ １ ， （ ） 。 Ｌ （ １ ， １ ）≤ ０
即 ｕ （） ｕ （） 满足 方程 （ ） 且 （ ）＝Ｂ， 。ｔ ，。ｔ 都 ３ ， 一１
于是利 用 数 学 归纳 法 可 得 两 串序 列 ，｛ｔ ｔ ｝ ， Ｏ （） ｛ ｔ ｝ 满足 ／ （） ３
０
解 ， 由卢 （）＞０ 又知集合 Ｄ＝｛ ｌ ｙｏｔ 故 ｔ ， （）＜ Ｍ
引理 １ 假设
证明 首 先 当 Ｏ １ ＝ （ ）时 ， Ｏ ｔ ／ ） １ （ 由 ｔ ）≤ （ （） 又得 Ｏ （ ）≤卢 （ ） 又 由 （ ）知 （ ）≤ ｔ， ｔ１ １ ， ３ １
Ｏ （ ） 即有 Ｏ （ ） ： （ ） 则 边 值 问题 “ ／ １， ／ １ １， ”＝
Ｏ （ ）≤ （）≤ （）≤ 卢 （ ） ｔ ｔ ２ ｔ ｔ １ １ｔ ，一１≤ ｔ １ ≤
存在 非零 解 Ｙ（） 则 Ｙ。ｔ 。ｔ ， （）≠０ 一１≤ｔ １ ， （ ≤ ）且 可不 妨设 有 ｔ ［ ，］使 得 Ｙ。 ｔ）＞０ 因为 。∈ 一１ １ ， （。 ， 对任何 实 数 Ｍ， 。ｔ 亦 是边 值 问题 （ ） （ ）之 Ｍｙ（） ７ ，８
一
ｕ” ＝
ｔ
，
Ｔ ， ， ， （ ）＝／（ ） ｕ 一１ ＝Ｂ ｕ “ ｕ） “ １ ３ １ ，（ ）
１≤ｔ １且 Ｍ （ ）＝ｕ （ ）又 ｆ （ ）≤ ｕ （ ） ≤ ， ｏ１ ０１ ， ｔ １ ｏ ０１ ，
又 由引 理 １ 此 问 题 有 解 ， 任 取 其 一 记 为 ， 并
／ （ ） 有 ｏ ｔ ３ ｔ， ｏ （）≤／ （ ）≤ ／ ｔ ，一１≤ ｔ １ ３ ｔ ｏ ３ ） （ ≤ ，
ｕ ＝－ ｔＴ ， ） ｕ １ ＝ｏ １ ， （ ） ＝Ｂ 厂 ， ｕ ， ， （ ） （ ｔ ） Ｍ 一１ （
ｏｔ
．
（） ｔ
一
“（）ｏ （） ｏ ｔ ， ．ｔ ｔ
ｕ０ ｔ ， （）
＾
有解 ， 任取其 一记 为 。ｔ ， （） 显然 （）≤ ｏ （）≤ Ｌｔ 。
收 稿 日期 ：０ １０ —６ ２ １．８２
作者简 介 ： 王国灿 （ ９ ３一） 男 ， １６ ， 教授 ， 硕士 ， 主要从事常微分方程 的边值问题的研究
Ｅ－ ｉ： ｎ ｇ ＠ ｄ ． ｎ ｍａ ｌ ｗａ ｇ ｅ １ｃ ．
第 ３期
王 国灿 ： 三阶非线性三点边值 问题解 的存在性和 唯一性
一
（） ” ｔ ｆ卢 （ ）＋ｂ ｔＢ （ ）＋ｃ 卢（ ） 卢 （ ）＞ｏ （） ｔ （ ） ｔ ， ｔ ， １≤ ｔ １ （ ）≤ ｏ，一１≤ ｔ ｏ， ）≥ ｏ， ≤ ， ≤ （
（ ） ＜０， 取 （） ＝“ ｔ ， ｔ ＝卢 （ ） １） 则 ｔ （ ）／ （） ３ 。ｔ ； 如果 ｇ ｕ １ ， １ ）＞０， 取 １ ｔ ＝ ｏ ｔ ， （ （ ）ｕ（ ） 则 （） （ ）
－ ｔＴ ，， ）“ １ （ ） “ 一１ ， ，ｕ“ ，（ ）＝ １ ，（ ）＝Ｂ在 ［ ， ＜ 一１ １ ］上 满足 ｏ ｔ Ｌ ）≤ Ｍ ｔ ／ ｔ （ （）≤ ３ ）的解 即为所求 ． （ 其次 考虑 （ ）＜ （ ）时 的情 形 ． １ １ 根 据 引理 １知边值 问题
则边 值 问题 ”：ｌ ｔＴ ，， ，（ ） ＝ 厂 ，ｕ ｕｕ）１ 一１ （ １ ，
Ａ ，（ ）＝ Ｂ 有 解 （ ）∈ Ｃ ［ ， ］ 且 满 足 Ｍ１ ｔ 一１ １ ，
Ｏｔ ｔ ）≤ ｕ （ ） （ （）≤ ｔ ，一１≤ ｔ≤ １．
ｘ ｏ ： （ ） 曰， （ （ ） （ ） ＝０（ ） （ ） Ａ， 一１ ＝ ｇ １ ，”１ ） ２
问题
＾
“ ” ＝
ｔ
，
Ｔ ， ， ）“ １ ｕ ｕ ， （ ）＝ ｄ ， （ ）＝Ｂ ２“ 一１
证明
采用 反 证 法 ． 果 边 值 问题 （ ） （ ） 如 ７ ， ８
显 然 问 题 有 解 ， 取 其 一 记 为 （） 与 （） 任 ｔ， ｔ，
卢 （ ）的类 似选取 可得 （ ） （ ）满足 ｔ ｔ， ｔ
三 阶非 线性 三点 边 值 问题 解 的存 在 性 和 唯 一性
王 国灿
（ 大连交通大学 理学院 ， 辽宁 大连 １６ ２ ） １０ ８
摘 要： 利用积分算子和微分不等式技 巧 ， 研究了三阶微分方程 非线性三 点边值 问题 ， 到了解的存 在性 得
与 唯一 性 ．
关键词 ： 三阶微分方程 ； 非线性三点边值 问题 ； 存在性 与唯一性 ； 微分不等式
于是有 。 １ （ ）≥ ｆ。 １ ， ｔ （ ） 这样 从条 件 （ ）得 ０≤ ２
ｇ “ （ ） ｕ。 １ ）≤ｇ 。 １ ， （ ） （ ｏ １ ， （ ） （ （ ） “。 １ ）≤０， 于是
显 然 。 １ （ ）≤／ （ ） 再 以 ｇ ， ）的单 调性 知 ３ １， （ 叼 ｇ （ ）／ 。 １ ）≥ ｇ 卢 （ ） 。 １ ）≥ ０ （ １ ， （ ） ３ （。 １ ， （ ） 同理 ， 如果上式等式成立 ， 则定理得证 ； 则取 ｄ 否 ＝
／￡ ３ ）＝ Ｍ ｔ 于是 （ （），
１
ｏ ≤ ｔ １ 且 ≤ ， ０， 中 ｂ≥ ０ 其 ． 则边 值 问题
＾
。
（ ）＋６ ” １ ＞ ０， ０ ＝ １ 』（ ） ３ 卢（ ）
／ （ ）一 （ ） ＝－ ［ （ ）一 （ ） ３ １ 。 １ ５ 。 １ 。 １ ］ －
调不 增 ；
题， 文献 ［ — ］ １４ 已作 过 一 系列 研 究 ， 以往 的工 作 但 仅局 限 于特殊 的非 线性方 程 与 Ｒ ｂｎ边 值 问题 下 ｏｉ 讨论 过 ， 尤其 是解 的唯一 性 ， 至今 只有为 数不 多的
（ ） 程 （ ） 足 Ｎ ｇ ｏ条件 ； ２方 ３满 ａｍａ （ ） （） 是方程 （） ３ ｆ ，（） ３ 的上下解 ， Ｏ ｔ 且 ｔ ）≤ （
１
ｇ 。 １ ， 。 １ ） ＝ｇ ｕ （ ） “。 １ ） ＝ ０ 且 （ （ ） （ ） （ 。 １ ， （ ） ，
一
＾
ｕ （ ） ＝ｕ （ ） ＝Ｂ， 而 定理得 证 ． 。 一１ 。 一１ 从 引理 ３ 假设
＾ ， 、 ＾ ＾
÷［。１ （） ， Ｊ （）＋ 。１ ］ 并考虑边值问 Ｂ 题
引理 ２ 假设
边值 问题
／ 厂 ｔＴ ， ， ／ ， ”＝－ ，ｕ Ｍ ｌ） （ Ｚ
，ｔ
（） １ 引理 １中的 （ ） （ ） １ ，２ 条件成 立 ；
（） ３ （ ） （ ｒ）∈Ｃ Ｒ ） 且 ｇ ， 对 固定 的 ２ ｇ ， １ （ ， （ ）
ｕ 一１ （ ）＝ Ｂ， （ （ ） ｕ （ ） ｇ ｕ １ ， １ ）＝０ （ ） ４
关 于 单调 不减 ； （ ）方程 （ ）有上解 （） ３ ３ 和下解 （） ￡ 满足
ｇ Ｏ １ ， １ ）≤ ０， （ １ ， １ ）≥ ０ （ｔ ） Ｏ （ ） （ ｔ ｇ （ ）／ （ ） ３ ，
＾
式中， ］ｔ （ ＋Ｉ （， ｕｓｄ，（， ［ （ ）＝ ｔ ） （）ｓ ￡ ） ） Ｋ ｓ Ｋ