高考数学单元复习训练圆锥曲线的综合问题

2
c2 b= a
(10
2
a ) 2 (10-a)=
12
D. a
2
2
20 ( a 5 )( 10 a )
令 t=a3-25a2+200a-500. 则 t′=3a2-50a+200 ，
3
2Baidu Nhomakorabea
20 ( a 25 a 200 a 500 ) .
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2
x
解析：设椭圆方程为 2 a
2
2
y
x
2 =1 ， 双 曲 线 方 程 为 2
b
m
2
y
2 =1, 则 |PF1|+|PF2|=2a ，
n
|PF1|-|PF2 |=2m,故 |PF1|=a+m,|PF2|=a-m.又 PF 1 2 PF 2 =0,
∴(a+m) 2+(a-m) 2=4c 2,即 a2+m2=2c 2,
1
2
e1
1
=2.
2
e2
2
2
x
y
3.已知 F1、F2 是椭圆
+
2
=1(5<a<10) 的两个焦点， B 是短轴的一个端点， 则△ F1BF2
2
a (10 a )
的面积的最大值是（
）
100 3
A.
3
100 3
B.
9
C.100（ 3-2 2 ）
答案： B
解析： ∵ 5<a<10,∴ a>10-a.故 S = F 1 BF 2
Cn
an
2
2
2
10.(2010 江苏南通九校模拟， 18)以下四个关于圆锥曲线的命题中
1 2 ()
2 =2.
1 1
2
①设 A 、B 为两个定点， k 为非零常数， | PA |-| PB |=k,则动点 P 的轨迹为双曲线；②过定圆
1
C 上一定点 A 作该圆的动弦 AB ， O 为坐标原点，若 OP = （ OA + OB ），则动点
BD 、AE ，则以 A 、
A. 3
B.1
C.2 3
D.2
答案： A
解析： 因 DA=AB 2 cos30° ,DB=AB 2 sin30°
AB
∴椭圆离心率为
DA DB
3 -1，双曲线离心率为
AB DA DB
3 +1.
1
故两离心率的倒数和为
1
3.
31
31
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A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 答案： C
B.焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
解析： ∵ < 3 <2< π ,∴sin 3 -sin2>0,cos 3 -cos2>0，
2
又 cos 3 -cos2-（ sin 3 -sin2） = 2 2 sin（2+ ） - 2 cos(2+ )>0 ，
4
4
故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 .
2.(2010 湖北八校模拟， 11)设 e1,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率， P
2
2
为两曲线的一个公共点，且满足
PF 1 2 PF 2 =0，则 e1
e2 的值为（ 2
）
(e1e2 )
1
A.1
B.
C.2
2
答案： C
D.不确定
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2
2b
7.定长为 L（ L>
)的线段 AB 的端点在双曲线
b2x2 -a2y 2=a2b2 的右支上， 则 AB 中点 M 的
a
横坐标的最小值为 ( )
aL
A.
2
2
2a b
aL
B.
2
2
2a b
a(L 2a)
C.
2
2
2a b
a( L 2a )
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20
令 t′=0, 则 a= 或 a=10,又 5<a<10,
3
20
500
故当 a= 时， t 取最大值
，故△ F1BF 2 的最大值为
3
27
10000 27
100 3
.
9
2
x
4.(2010 江苏苏州一模， 6)设双曲线 C：
-y 2=1 的右焦点为 F，直线 l 过点 F 且斜率为 k ，
4
若直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交，则直线 l 的斜率的取值范围是（
）
1
1
A.k ≤ - 或 k≥
2
2
1
1
B.k<- 或 k>
2
2
1
1
C.- <k<
2
2
答案： C
D.- 1 ≤ k ≤ 1
2
2
解析： 因渐近线的斜率为± 1 ，故 - 1 <k< 1 .
2
2
2
2
2
x
y
5.椭圆
=1 上一点 P 到两焦点距离之积为 m ，则当 m 取最大值时， P 点是 ( )
25 9
A. （ 5，0）和（ -5，0）
5
C.（
2
2 ， 3 ）和（ - 5
2
2
答案： D
2，3 ）
2
53
5
3
B.（ ， 2 ）和（ ， - 2 ）
22
2
2
D.（ 0， 3）和（ 0，-3）
解析：
∵ |PF1 |2
| PF 1
|PF2|≤ (
|
| PF 2 | )2=( 10 ) 2=25.
2
2
当且仅当 |PF1|=|PF2|时等号成立，即 P 为短轴顶点 . 6.如右图，在△ ABC 中，∠ CAB= ∠ CBA=30 ° ,AC 、BC 边上的高分别为 B 为焦点，且过 D 、 E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )
2
迹为椭圆；③方程
2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线
P 的轨
2
2
2
x
y
x
=1 与椭圆
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课时训练 51 圆锥曲线的综合问题 【说明】 本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟 . 一、选择题（每小题 6 分，共 42 分）
2
x
1.(2010 南通九校模拟， 11)方程
2
y
=1 所表示的曲线是（
）
sin 3 sin 2 cos 3 cos 2
D.
2
2
2a b
答案： D 解析： 当 AB 过右焦点时， M 的横坐标最小 . 二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
8.平面内有长度为 _________. 答案：［ 2， 4］
2 的线段 AB 和一动点 P，若满足 |PA|+|PB|=6,则 |PA|的取值范围是
解析： |PA|+|PB|=6>2，所以点 P 的轨迹是以 A 、B 为焦点的椭圆， a=3,c=1, ∴a-c≤ |PA|≤ a+c， 故应填［ 2， 4］ .
9.有一系列中心在原点， 以坐标轴为对称轴的椭圆， 它们的离心率
为准线，则所有椭圆的长轴之和为 答案： 2
_______________.
1
en=(
)n(n∈ N),且都以
x=1
2
2
a
解析： 因 n
Cn
1n
1n
1n
=1, =( ) ,故 an=( ) ,2an=2 2 ( ) ,故所有椭圆的长轴之和为