压力管道振动分析

因声速大于300m / s较大,可简化为:
t
t
t
2
at
2
t 2
代入连续性方程得:
t
2
x 2
t
2
at
2
t 2
0
2
x 2
1
2
at
2
t 2
0
这就是平面波动方程。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 引入变量： x att, x att,平面波动方程变成 :
2 0
上式的通解为：
f x att g x att
往复式机械进、出口管道的振动分析
Pt Pt t , s s是熵
则
Pt
Po o
Pt
|s
2 Pt
2
|s
2
a
2 t
这里:
t
o
, Pt
|s
a
2 t
是声速的平方
t
t
a
2 t
t
2
at
t
t
t
t
t
2
at
2
t 2
1
2
at
t
t
t
1
1
2
at
t
t
t
t
2
at
2
t 2
往复式机械进、出口管道的振动分析
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气柱固有频率与共振管长
• 简单管道的共振管长
• 复杂管系气柱固有频率计算 由程序计算。 把复杂管系看成由若干直管、体积元件、汇流点、 异径管、回流等元件组成。在计算时将复杂的管 系分解成若干元件的组合，这样就可以利用各类 元件的转移矩阵逐点由上游点向下游点计算参数。 管道元件的转移矩阵都是圆频率ω的函数。当ω 正好是自振频率时，计算结果满足边界条件，而 并非任意一个ω值都能满足边界条件。实际求解 时要对ω反复赋值，由起始点算起直到管系末端 的p，u满足边界条件，这时的ω值就是气柱的固 有频率。
S
Pt x
dx
ut t
ut
ut x
1
t
Pt x
在dx很小，
ut
变化不是很大的情况下，ut
x
很小，
上式可写成：
ut 1 Pt 0
t t x
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 平面波动理论
• 波动方程
令 : ut
x
ut 2
t xt x t
运动方程成为 :
1 Pt 0 x t t x
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 平面波动理论 对于可压缩流体，设Po、ρo和P′、ρ′分 别为平衡状态下的压强和密度，以及它 们的偏离。这里讨论的问题是
Pt Pt Po Po , t t o o
的情况。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 平面波动理论
• 连续性方程
连续性方程就是质量守恒定律的数学描述。质量守
a
kl l n
a
f na 2 2 l
一阶共振管长计算式: 二阶共振管长计算式:
l 0.8 ~ 1.2 1 a
2 fex
l 0.8 ~ 1.2 a
fex
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气柱固有频率与共振管长
• 简单管道的共振管长
• 二端封闭的管道 P1=P2=1，u1=u2=0。其结果与二端开启管道相 同。
定律。也就是质量为m的物
ⅠⅡ
体，当其具有加速度a时， x 它的惯性力F=ma。对上图 o
pt
中管截面I处的流速为，密度 x
dx
为，压力为，在II截面处它
们分别为：
ut
ut x
dx,
t
t
x
dx,
Pt
Pt x
dx
ut
ut x
dx
pt
百度文库pt x
dx
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 平面波动理论
• 运动方程 在II截面处的质量、加速度为：
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 由于气体具有可压缩性，当压力高时，体积 变小，密度变大，当压力低时，体积增大， 密度变小，气柱具有弹性性质。当管内气柱 受到干扰，象金属结构一样会发生自由振动， 其频率称为气柱固有频率。气柱的固有频率 与气柱性质、绝热指数和气体常数有关。当 压缩机运动频率与气柱固有频率，或管道系 统的固有频率相等或相近时，会发生共振。 因此，我们必须能计算气柱固有频率和管道 固有频率，以防共振。
压力管道振源分析
• 压力管道振源分类
• 系统自身原因引起的振动 离心式压缩机流量小于设计流量时，叶轮各相邻叶 片间的流体流过的量不尽相同，排气的气量也随之 变化，造成管道振动。离心泵气蚀造成泵自身振动 和排液中有气体也是引起管道振动的原因。 管道阀门突然开、关，造成流速突变，对管道产生 很大的冲击，即液击，也是管道的一种振动源。 管道内高速流动的两相流，引起管道内沿管长方向 周期性的流体密度变化，对管道产生冲击力而引起 振动。
压力管道振动分析
课件制作：尹华杰
压力管道振源分析
• 压力管道振源分类
• 系统自身原因引起的振动 是与管道相连接的机器、设备的振动和管道流体 的不稳定流动引起的振动。如活塞式压缩机往复 运动引起的周期性变化惯性力。如果平衡不好， 将产生振动，与之相连的管道也随之振动。活塞 式压缩机的进、排气是间歇进行的，排入管道内 的气体压力是脉动变化的，引起管路内的气体压 力也脉动变化。当气流变化的脉动频率与管道固 有频率相近或相等时，将引起共振。
f1 a
f a 1a
4l
l 1 a 1
4 f1 4
可见气柱共振的最短管长为该条件下声波波长的1/4。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气柱固有频率与共振管长
• 简单管道的共振管长
一般认为激发频率fex为（0.8～1.2）气柱固有频率 范围为共振区。
• 一端封闭、一端开启的管道
一阶共振管长: l 0.8 ~ 1.2 1 a
和第2列的元素。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气柱固有频率与共振管长
• 气柱固有频率 对于敞口管子：P=0，u≠0，对于管子闭端： P≠0，u=0。 对处于某种边界条件下的气柱，受到初扰 动后，呈现的振动就是自由振动，这时的 频率就是气柱的固有频率。在求解固有频 率时，不为零的参数绝对值的大小不影响 结果，为简便起见，可将它们定为1。对 于一端封闭，一端开启的管道，左端封闭 时：P1=1，u1=0，右端开启时：P1=0， u1=1。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气柱固有频率与共振管长
• 气柱固有频率 p1=1,u1=0
由式
p2=1,u2=0 x
可uP得22 ：
cos kl j
sin
oa
kl
jo a sin
cos kl
kl
p1 u1
0 1
cos kl j sin
oa
kl
joa
cos
sin kl
k
l
4 fex
二阶共振管长: l 0.8 ~ 1.2 3 a
4 fex
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气柱固有频率与共振管长
• 简单管道的共振管长
• 二端开启的管道
P1=P2=0，u1=u2=1
0 1
cos kl j sin
oa
kl
joa
cos
sin kl
k
l
0 1
sin kl sin l 0
对复杂管系采用计算机用程序计算。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气流脉动
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 消减气流脉动的方法
• 选择压力脉动小的压缩机型式 • 采用缓冲器
采用的缓冲器容积一般要大于气缸容积的 10倍以上。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 消减气流脉动的方法
• 采用气流脉动衰减器
S1
S2
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 转移矩阵
• 异径管的转移矩阵
1 0
MR
0
S1
S2
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 转移矩阵
• 回路的转移矩阵
ML
M11
C p1
M12C p2 Cu1 Cu2
M 12Cu 2 Cu1 Cu2
式中：C p1、C p2、C u1、C u2 为推导过程使用的 若干参数的组合表达式。M11、M12是由1′ 到2的主管路线的转移矩阵之第1行第1列
• 转移矩阵
上式写成矩阵形式为：
P2
u 2
cos kl j
sin
oa
kl
其转移矩阵为：
jo a sin
cos kl
kl
p1 u1
cos kl joa sin kl
M 21
j
oa
sin
kl
cos kl
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 转移矩阵
• 直管段的转移矩阵
压力管道振源分析
• 压力管道振源分类
• 系统外部力造成的振动 由风载荷、地震载荷引起的振动
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 右图示出了活塞式 压缩机的PV曲线。 示出了膨胀、吸气、 压缩、排气四个阶 段的压力变化规律。 造成吸气管和排气 管内气体压力发生 波动，引起振动， 压力波动的大小用 压力不均匀度δ表示： Pmax Pmin 100 % Pm
对x积分上式得：（认为ρt不随x变化）
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 平面波动理论
• 波动方程
t
t
Pt
Po Po为平衡状态的压强
, 将ut
x
代入连续性方程得
:
t
t
t
2
x 2
0
实验已证实，在小扰动量的传播过程中，流 动是绝热可塑的，也就是流体质点的熵保持 不变，处在平衡状态下的热力学关系为：
at
C e D e j
t
x at
k
j
t
x at
k
ut
x
1
t at
Ae j
t
x at
Be
j
t
x at
P Ae Be j
t
x at
j
t
x at
t
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 转移矩阵
令截面I在t=0，x=0时，Pt P1,ut u1得 :
P1 A B
u1
1
0a
A
B
A P1 0au1
Mp
cos l
a
j
sin l
oa a
j
oa
sin
a
cos l
l
a
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 转移矩阵
• 体积元件的转移矩阵
1
0
MR
V oa2S2
S1
S2
S为截面积。
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 转移矩阵
• 汇流点的转移矩阵
1 0
MJ
S3
S
2
u3 p3
写成三角函数形式后得：
ut
P1
20a
j x e a
j x e a
u1 2
j x e a
j x e a
j
P1
0a
s
in
k
l
u1
c
os
k
l
Pt
P1 2
j x e a
j x e a
0au1
2
j x e a
j x e a
P1 coskl
j0au1 sin kl
往复式机械进、出口管道的振动分析
m
t
t
x
dxSdx
tSdx
t
x
Sdxdx
t Sdx
a
ut t
ut x
dx dt
2ut dx xt
ut t
ut
ut x
当小扰动时二阶导数项 很小
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 平面波动理论
• 运动方程 在I、II截面间的合力：
F S P和 dx x
t
Sdx
ut t
ut
ut x
1 0
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气柱固有频率与共振管长
• 气柱固有频率
从而得
cos kl cos l 0 kl l n 2n 1
a
a
2 2
f 2n 1 a 2 4 l
分别取式中n=0、1、2、…，可得气柱的一阶、二 阶、三阶、…固有频率。f1=a/(4l)称为为基频。波 长、频率与声速之间的关系式
2
B P1 0au1
2
ut
1
0 a
P1
0au1
2
j t x
e a
P1 0au1
2
j t x e a
Pt
P1 0au1
2
j t x
e a
P1
0au1
2
j t x
e a
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 转移矩阵
由一个截面的参数求取另一个截面的参数，二者相联 系的方程系数矩阵称为转移矩阵。上式在t=0时展开后
对右行波:
ut
x
f
x att
t
at f
x att
atut
Pt Po t atut
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 一般 f x att和gx att可分解成各种不同波
数k和频率ω的平面单色波的叠加，用傅
立叶积分表示为：
f x att Ck e jtkxdk
0
其中k ,可写成:
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气流脉动
气流的压力和速度随时 间的变化就是气流的脉 动。 衡量压力脉动的参数是
压力脉动的最大幅度Δp：
p
1 2
pmax
pmin
1 2
pm
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 气流脉动
在前面我们用转移矩阵法求由一个截面的参数求下一 个截面的参数时，公式是用正弦和余弦三角函数等谐 量表示的。但对压缩机的排气是间歇且不均匀的，不 是谐量。根据谐量分析理论，任何不具有无穷间断点 的函数都可展开成用三角函数表示的富氏级数。可把 压缩机出口气体的速度，压力展开成富氏级数，再对 级数的每阶谐量用前面的转移矩阵法求解，然后叠加 得到结果。
恒定律为：进出控制体的质量流之差必须恰好等于
控制体内质量的增加。由此可得到连续性方程：
t
t
ut
t
x
t
ut x
0
当密度变化很小时，t 很小，上式可写成：
x
t
t
t
ut x
0
往复式机械进、出口管道的振动分析
• 平面波动理论
• 运动方程
ⅠⅡ
x o
ut
就是流体力学中常讲的动量
x
dx
方程，它实质上是牛顿第二