人大版 微积分 第四章 单调性及其判定

利用单调性证明不等式的步骤： 利用单调性证明不等式的步骤：
恒等变形（通常是移项） ①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数 一端为 另一端即为所作的辅助函数f(x) ②求 f ′( x ) 验证f(x)在指定区间上的单调性 在指定区间上的单调性 ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证
A
B
y
A y = f (x) B
o
a
f ′(x) ≥ 0
b
x
o a
f ′(x) ≤ 0
b x
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从几何图形上看， 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时， 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升 下降） （下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切 线斜率都为正（ ），即切线的倾角全为锐 即切线的倾角全为锐（ 线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝） 曲线就是上升（下降） 角，曲线就是上升（下降）的 定理 函 y = f (x)在a,b]上 续在 a,b) 可 . 数 [ 连 , ( 内 导
来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断区间内导 数的符号 .
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例2 确 函 f (x) = 2x3 −9x2 定 数
+12x − 3的 调 间 单 区 .
解 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
f ′( x ) = 6 x 2 − 18 x + 12 = 6( x − 1)( x − 2)
−∞ 单调区间为 (−∞ ,0]， [0,+∞ ).
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例3
定 数 确 函 f (x) = 3 x2 的 调 间 单 区 .
2 33 x
解 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
f ′( x ) = , ( x ≠ 0)
y = 3 x2
定义域
f ′( x ) f ( x)
(∞,0) ↘
0 不存在 0
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思考题解答
不能断定. 不能断定
1 2 x + 2 x sin , x ≠ 0 例 f ( x) = x 0, x=0
1 f ′( 0) = lim (1 + 2 ⋅ ∆x ⋅ sin ) = 1 > 0 ∆x → 0 ∆x
y
y= x
2
π
2
y = sin x
x
o
π
则f ′( x ) = cos x −
2
π
π
2
x
f ′( x ) = 0 ⇒ x0 = arccos
2
当x < x0时 cos x > cos x0 ⇒ f ′( x ) > 0 当x > x0时 cos x < cos x0 ⇒ f ′( x ) < 0
π
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x 时 证 立 例4 当 > 0 ,试 x > ln(1+ x)成 .
x . 证 设f ( x ) = x − ln(1 + x ), 则 f ′( x ) = 1+ x
∵ f ( x )在[0,+∞ )上连续 , 且(0,+∞ )可导， f ′( x ) > 0, 可导，
上单调增加； ∴ 在[0,+∞ )上单调增加；∵ f (0) = 0,
明 , 例7 证 0< x < 时sinx +tanx > 2x 2 证 记 f ( x ) = sin x + tan x − 2 x
则 f ′( x ) = cos x + sec2 x − 2 1 1 = cos x + − 2 > cos 2 x + −2 ≥ 0 2 2 cos x cos x
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dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@gxu.edu.cn
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链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
第九章 微分方程
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参考书
[1]赵树嫄 微积分 中国人民出版社 赵树嫄. 微积分. 赵树嫄 [2]同济大学 高等数学 高等教育出版社 同济大学. 同济大学 高等数学.
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第四章单调性及其判定
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单调性及其判定
Lagrange定理 ∆y = f ′( x0 + θ∆x ) ⋅ ∆x 给出了 定理 函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的 导数之间的关系， 导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。 性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、 来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值 最值、凹凸、拐点和曲率。 最值、凹凸、拐点和曲率。
解方程 f ′( x ) = 0 得， x1 = 1, x2 = 2.
定义域
f ′( x ) f ( x)
(∞,1) + ↗
1 0
(1,2) ↘
2 0
(2,+∞) + ↗
( 单调增加区间： −∞ 单调减少区间： 单调增加区间： (−∞ ,1)，( 2,+∞ ). 单调减少区间： 1,2).
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例3
2
⇒ x > 0时 f ( x ) ↑
⇒ f ( x ) > f ( 0) = 0
⇒ 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) > 1 + x 2
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例6 设 0 < x <
π
2
证明 x >sinx > x
2
π
[分析 如图所示 分析] 分析 结论是显然的 证一 令f ( x ) = sin x −
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三、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要 应用. 应用 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 结论仍然成立 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 应用： 程实根的个数和证明不等式. 程实根的个数和证明不等式
பைடு நூலகம்积分
思考题
若 f ′( 0) > 0 ，是否能断定 f ( x ) 在原点的 充分小的邻域内单调递增？ 充分小的邻域内单调递增？
1如 在 内 （） 果 (a,b) f ′(x) > 0 那 函 y = f (x) ， 末 数 [ 在a,b]上 调 加 单 增 ； (2) 如 在a,b) f ′(x) < 0 那 函 y = f (x) 果 ( 内 ， 末 数 [ 在a,b]上 调 少 单 减 .
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证
∀ x1 , x2 ∈ ( a , b ), 且 x1 < x2 , 应用拉氏定理 得 应用拉氏定理,得 ( x1 < ξ < x2 )
(0,+∞) + ↗
−∞ 单调减少区间为 (−∞ ,0)， 单调增加区间
(0,+∞ ).
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注意:区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性 注意 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 区间内个别点导数为零 不影响区间的单调性.
y = x 3 , y′ x = 0 = 0, 但在( −∞ ,+∞ )上单调增加. 例如, 例如
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ )( x2 − x1 ) ∵ x2 − x1 > 0,
若在(a , b )内，f ′( x ) > 0,
则 f ′(ξ ) > 0,
∴ f ( x2 ) > f ( x1 ). ∴ y = f ( x )在[a , b]上单调增加.
若在(a , b )内，f ′( x ) < 0, 则 f ′(ξ ) < 0,
例1 讨 函 y = ex − x −1的 调 . 论 数 的 单 性 解 ∵ y′ = e x − 1. 又 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
在( −∞ ,0)内, y′ < 0,
函数单调减少； ∴函数单调减少；
在(0,+∞ )内, y′ > 0,
∴函数单调增加 .
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二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 但在各个部分区间上单调． 定义: 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 则该区间称为函数的单调区间 单调区间. 的，则该区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点， 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 的分界点． 方法: 方法:用方程 f ′( x ) = 0的根及 f ′( x ) 不存在的点
π
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或
f ′′( x ) = − sin x + 2 sec2 x tan x 2 = sin x[ 3 − 1] > 0 cos x ⇒ f ′ ( x ) ↑ ⇒ f ′ ( x ) > f ′( 0 ) = 0 ⇒
f ( x) ↑
⇒ f ( x ) > f ( 0) = 0
即 sin x + tan x > 2 x
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一、单调性的判别法
函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给 出了函数在某区间上单调的定义， 出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判 定函数的单调性却是很不方便的。 定函数的单调性却是很不方便的。
y
y = f (x)
定 数 确 函 f (x) = 3 x2 的 调 间 单 区 .
2 33 x
解 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
f ′( x ) = , ( x ≠ 0)
y = 3 x2
当x = 0时, 导数不存在 .
−∞ 上单调减少； 当 − ∞ < x < 0时，f ′( x ) < 0, ∴ 在(−∞ ,0]上单调减少； 上单调增加； 当0 < x < +∞ 时， f ′( x ) > 0, ∴ 在[0,+∞ )上单调增加；
∴ 当x > 0时， x − ln(1 + x ) > 0, 即 x > ln(1 + x ).
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例5 证
证明 x > 0 时 1+ xln(x + 1+ x2 ) > 1+ x2
令 f ( x ) = 1 + x ln( x + 1 + x 2 ) − 1 + x 2
1 x ⇒ f ′( x ) = ln( x + 1 + x ) + x ⋅ − 2 1+ x 1 + x2 2 = ln( x + 1 + x ) 1 >0 ⇒ f ′′( x ) = 1 + x2 ⇒ x > 0时 f ′( x ) ↑ ⇒ f ′( x ) > f ′( 0) = 0
π
π
π π
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⇒ g( x ) ↓
⇒ g ( x ) < g ( 0) = 0
x cos x − sin x g( x ) 则 f ′( x ) = = 2 <0 2 x x π 2 ⇒ f ( x) ↓ ⇒ f ( x) > f ( ) = 2 π 2 π ⇒ sin x > x x ∈ (0, ) π 2
∴ f ( x2 ) < f ( x1 ). ∴ y = f ( x )在[a , b]上单调减少 .
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注
内至多有有限个导数等0的点和至多 ①若在(a,b)内至多有有限个导数等 的点和至多 若在 内至多有有限个导数等 有限个不可导点， 有限个不可导点，而在其余点处均有 则由连续性， f ′( x ) > 0( f ′( x ) < 0) 则由连续性，结论仍成立 ②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用
−∞ 单调区间为 (−∞ ,1]， [1,2]， [2,+∞ ).
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例2 确 函 f (x) = 2x3 −9x2 定 数
+12x − 3的 调 间 单 区 .
解 ∵ D : ( −∞ ,+∞ ).
f ′( x ) = 6 x 2 − 18 x + 12 = 6( x − 1)( x − 2)
⇒ 0 < x < x0时
f ( x ) ↑ ⇒ f ( x ) > f ( 0) = 0
⇒ x0 < x < 时 f ( x ) ↓ ⇒ f ( x ) > f ( ) = 0 2 2 2 总之有 f ( x ) > 0 ⇒ sin x > x
sin x 证二 记 f ( x ) = x ∈ ( 0, ) x 2 x cos x − sin x 则 f ′( x ) = 2 x cos x = 2 ( x − tan x ) < 0 x 或令 g( x ) = x cos x − sin x ⇒ g′( x ) = − x sin x < 0
解方程 f ′( x ) = 0 得， x1 = 1, x2 = 2.
−∞ 上单调增加； 当 − ∞ < x < 1时， f ′( x ) > 0, ∴ 在(−∞ ,1]上单调增加； f ′( x ) < 0, ∴ 在[1,2]上单调减少； 上单调减少；
当1 < x < 2时，
当2 < x < +∞ 时， f ′( x ) > 0, ∴ 在[2,+∞ )上单调增加； 上单调增加；