力法的基本概念

X
等价形式
③去掉一个约束，成为简支梁
注意
不能随便去掉某个约束，去掉约束后必须 保证结构几何不变
例题2
例题2
例题2
不可以
例题3
练习：按上述去掉约束的办法，判定下列结构 的超静定次数。
解答
练习：按上述去掉约束的办法，判定下列结构 的超静定次数
解答
二、力法的基本未知量和基本体系 1．超静定结构经过去掉多余约束后，变为静定结构，这个静 定结构称为力法的基本结构。 去掉的多余约束所对应的约束力，称为力法的基本未知量。 基本结构、荷载与多余未知力合称基本体系。 q q 基本结构 基本体系 2．基本结构的形式不唯一。 一般地，基本结构和多余未知力同时产生。选取时，应使 计算简单为前提。 X
3、做X=1 下基本结构的弯矩图 4、求出方程系数，解力法方程
1 1 2 1 4 4 4 256 4 4 4 EI 2 3 EI 3EI 1 4 16 4 1 1 16 4 3 4 320 1P EI EI 3 4 EI 15 11 X 1P 0 X 3.75k N 4
4 kNm
X=1
5. 解力法方程
1 X P 0
1 解得：X ，方向向左 2
6. 依叠加法作出弯矩图
M MP M X
4 kNm M P图
2 kNm 4 kNm
X=1
M图 M图
练习：作出下列结构的弯矩图
2m 6 kN/m
4m
6m
解：1. 选取基本体系与多余未知力
P
B
P
B
BP
B/
MP
P=1
BP
1 EI
1 PL3 L PL L 2 EI 2
* 带入位移协调条件
1 X BP 0
即，
----称为力法方程
4 L3 PL3 X 0 3EI 2 EI
解得：
3P X 8
此即支座B的约束反力，其余支座反力可随之求出
M图
6. 依叠加法作出弯矩图
12 72
60
M图，单位：kNm
基本步骤：
1、取基本结构
2、做荷载作用下基本结构的弯矩图
3、做X=1 下基本结构的弯矩图
4、求出方程系数，解力法方程----位移协调条件
5、做出弯矩图
练习
2 kN/m
2、做基本结构在荷载作用下
的弯矩图
16
4 X=1
4m
4m
作弯矩图，EI=常数 1、取基本结构
6）位移的求法
X1
(X1 作用下A截面转角和B截面的相对转角）
B截面有转角
A截面有转角
X1=1
P=1
P=1
6）位移的求法
(X2 作用下A截面转角和B截面的相对转角）
X2 B截面有转角
A截面有转角
X2=1
P=1
P=1
6）位移的求法 (q作用下A截面转角和B截面的相对转角）
q
B截面有转角
A截面也有转角，为零
1）结构在荷载作用下，A、B处的弯矩是唯一确定的，
设为X1和X2
2）原结构的受力可等价基本结构在X1和X2及荷载q共同
产生的。
3）基本体系的受力可看作基本结构在： X1单独作用， X2单独作用，q 单独作用 下的叠加。
X1
+
X2
+
q
4） X1单独作用，X2单独作用，q 单独作用下结构的变形 X1
22 9 解得： X 1 , X 2 7 7
5）作弯矩图 M M P M1 X 1 M 2 X 2
16
8 kN
4 X1=1
X2=1
MP
M1
4
M2
16
B
8 kN
4 X1=1
X2=1
A MP 24/7
M1
4
M2
MA=16-4×22/7-4×(-9/7) = -12/7(右侧受拉) MBA=16-4×22/7+0
21 X 1 22 X 2 2 P 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
9）弯矩图的作法
定义：
q M P图 X1=1
M 1图
X2=1
M 2图
9）弯矩图的作法
M M P M1 X 1 M 2 X 2
10）把上述过程总结如下的简洁步骤： *确定超静定次数 *选取基本体系
*作MP图，M 1图及 M 2 图，求出 11, 12 , 21, 22 , 1P , 2 P
*写力法方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
2m 6 kN/m 4m
6m
X
基本体系
2. 作出MP图
96 12
108
MP
3. 作出 M图
4 X=1
4
M图
4. 求出力法方程的系数
160 1440 1 , P 3EI EI
96
12 108 MP 4 4 X=1
5. 解力法方程
1 X P 0
解得：X 9，方向向左
A截面有转角 1P 荷载q作用下，在A、B截面产生的转角分别记为： 1P 2 P
8）位移协调条件的公式表达
原结构在A截面的转角为零的条件 要求X1，X2，q单独作用下在A截面产生转角的叠加为零
11 X1 12 X 2 1P 0
原结构在B截面的相对转角为零的条件 要求X1，X2，q单独作用下在B截面产生相对转角的叠加为零
B截面有转角
A截面有转角
X2
B截面有转角
A截面有转角
q
B截面有转角
A截面转角为零
5）位移协调条件的描述
A B B C
原结构在A截面的转角为零的条件 要求X1，X2，q单独作用下在A截面产生转角的叠加为零 原结构在B截面的相对转角为零的条件
要求X1，X2，q单独作用下在B截面产生相对转角的叠加 为零
， 12 21
L 6 EI
1 1 2 L 11 L 1 EI 2 3 3EI
， 22
L EI
4）解力法方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
= 24/7(左侧受拉)
12/7 M图，单位：KNm
练习
EI=常数
P
L=4m
2m
2m
2m
2m
解：1）两次超静定结构
2）选取基本体系 X2
X1
P
3）作 M P图，M 1图，M 2图
8 kN MP
X1=1
M1
1 1
X2=1
M2
1
1P 0 ， 2 P
1 1 PL 1 PL 2 L EI 2 4 2 16 EI
4. 内力图的做法
P X P
=
基本体系
P
+
MP MX
X
M MP MX
式中，M X M X
原结构
M为X 1 时的弯矩图
5. 小结 综上所述，在用力法求所给超静定结构时，所作的 弯矩图最基本的有两个，MP图与M图。分别表示： *基本结构仅在荷载作用下的弯矩图; *仅多余未知力等于1时的弯矩图。
*依叠加法作出弯矩图。
M M P M1 X 1 M 2 X 2
例题
8 kN
解：1）确定超静定次数---2次
2）选取基本体系
EI= 常数
4m
8 kN X2
2m
2m
X1
3）作 M P图，M 1图，M 2图 8 kN 16
4
X1=1 MP X2=1
11
1 1 2 256 4 4 4 4 4 4 EI 2 3 3EI
去掉约束的形式
*切断链杆（或支杆）是去掉了一个约束；
X
*拆开一个铰（或固定铰支座）是去掉了两个约束，
X1 X2
*切断刚结点（或固定支座）是去掉了三个约束
X3 X1 X2
*刚结点变为铰结点，是去掉了一个约束；
X
3.去掉约束法判断超静定次数举例
例题1 ①去掉一个约束，成为简支梁
M M ②去掉一个约束，成为悬臂梁
三、力法原理
基本假设：弹性小变形
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构，先取一个基本体系,然后让 基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样， 把超静定结构化为静定结构计算。 力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件 （变形协调条件）。
示例1
q
P=1
P=1
7）各位移的记法
X1=1 A截面有转角 11 B截面有相对转角 21
X1作用下，在A、B截面产生的转角分别记为：11 21
X2=1 B截面有相对转角 22
A截面有转角 12
X2作用下，在A、B截面产生的转角分别记为： 12
22
7）各位移的记法
B截面有相对转角 2 P q
11
5、做出弯矩图 16
4
X=1
MP 1
M
M MP M X
3.5
四、2次超静定结构的力法原理
示例2 q
EI=常数
A L 解： B L
C
1. 结构为2次超静定结构，要去掉2个约束变为静定结构
2. 选取基本体系如下
X1
X2
q
q EI=常数 A L X2 B L q C
X1
3. 基本思路
P X=1 MP
M
MP图与M图图乘表示荷载P作用下在B端产生的竖向位移， M图自己与自己图乘表示多余未知力X=1时在B端产生的 竖向位移。
*
1 X BP 0
求出X后，依
M MP M X
q=2 kN/m
作出弯矩图
例题：
B
EI=常数
A
4m
4m
解：1.找出基本体系 与多余未知力
力法的基本概念
一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何 特征: 静力 特征:
无多余约束的几何 不变体系。 仅由静力平衡方程就能 求出所有内力和反力.
有多余约束的几何 不变体系。 仅由静力平衡方程不能求 出所有内力和反力.
2．超静定的次数
超静定结构中的多余约束数目就是超静定的次数Biblioteka Baidu超静定的次数的确定：去掉多余约束使超静定结构成为静 定结构，所去掉的多余约束数目，就是超静定次数。
P B X
P
B
=
+
X
BP BX 0
* 荷载作用下的结构内力与变形
P B P B
BP
B/
MP * X作用下的结构内力与变形
BX
X X
MX
* 力X未知，对应的内力与变形也未知
如果令力X=1，
1
X=1
X=1
M
* 则根据线弹性体系的特征，X作用下的结构内力 与变形与X=1作用下的结构内力与变形有
示例1
B P L
P
EI
B X
EI
C 问题
L X是未知的
基本体系
在基本体系中，B端是自由的，若要保持原结构与基本体系 等价，必须满足B端的竖向位移为零的条件 即，在P与X共同作用下，基本结构（静定的）在B处的 竖向位移为零----这个条件称为位移协调条件
B 0
3. 实现方法 * 根据线弹性体系的叠加原理，基本结构在P 和X的共同作用下的位移等于它们分别作用在 基本结构上时的位移之和，
M1
M2
4
32 12 21 EI 928 1P 3EI
64 22 3EI 128 2P EI
4)求解力法方程
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
MX M X
BX 1 X
* 由位移协调条件 B处的竖向位移为零，即
BP BX 0
或
1 X BP 0
1
X=1 P B
BP
B/
* 位移协调条件中系数的求法
1
X=1
X=1
P=1
M
3 1 1 2 4L 1 L L L L L L EI 2 3 3EI
A
P EI C L EI L X 基本结构 基本体系
B
P
解：1.该结构为一次超静定结构，
平面上3个平衡方程不能求解4个支座反力 2. 求解思路
注意到原结构在荷载作用下的内力和变形是唯一确定的，特 别地，支座反力也是确定的。
示例1
A P EI C EI B P
L
X
L
基本体系
如果设X是支座反力，则原结构的内力与变形就与基本体系 （其结构是静定的）在荷载P和支座反力X共同作用下的内力 与变形等价。 这样，原超静定结构的计算就转化为静定结构的计算。
q=2 kN/m
X B
2. 作出MP图
4 kNm
3. 作出M图
EI=常数 A 基本体系 4 kNm X=1
BH 0
4. 求出力法方程的系数
1 1 2 128 1 4 4 4 2 EI 2 3 3EI
4 kNm
1 P EI
2 64 4 4 2 3 3EI