选修4-4第二讲参数方程(直线的参数方程)教案

三 直线的参数方程
教学目标：掌握直线的参数方程，理解参数t 的几何意义；会应用直线的参数方程解决有关线段长度问题及直线与二次曲线相交的弦长、中点、最值等问题。

教学重点、难点：用直线的参数方程解决有关距离问题；参数方法与普通方法之甄别。

直线的参数方程
经过点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的普通方程为
y-y 0=tan α(x-x 0)
怎样建立直线l 的参数方程呢？
如图，在直线l 上任取一点M(x, y)，则 00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--u u u u u u r
直线的方向向量(cos ,sin )e αα=r
，[0,)απ∈；
0//M M e u u u u u u r r 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =u u u u u u r r
，即
00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．
于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+． 因此，经过定点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
⎩
⎨⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）．
问题：由0M M te =u u u u u u r r
，直线参数方程中的参数t 有什么几何意义？
因为(cos ,sin )e αα=r ，所以||1e =r ，由0M M te =u u u u u u r r ，所以0M M t =u u u u u u r
，因此|t|即为直线上的
动点M(x,y)到定点M 0(x 0, y 0)的距离；
当0<α<π时，sin α>0，直线的单位方向向量(cos ,sin )e αα=r
总是向上的，因此有结论：
①t>0：则0M M u u u u u u r
的方向向上，即M 0在M 的上方；
②t<0：则0M M u u u u u u r
的方向向下，即M 0在M 的下方；
③t=0：则点M 与点M 0重合．
直线参数方程也可以表示为：⎩⎨⎧+=+=bt
y y at
x x 00（t 为参数）
探究：直线 ⎩⎨⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线y=f(x)交于M 1, M 2两点，对应的
参数分别为t 1, t 2．
（1）曲线的弦M 1M 2的长是多少？12121M M t t =-（） （2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？12
22
t t t +=（）
例2、经过点M(2, 1)作直线l ，交椭圆22
1164
x y +
=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．
解：设过点M(2, 1)的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），
代入椭圆方程，整理得 22(3sin 1)4(cos 2sin )80t ααα+++-=．
因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为t 1, t 2， 则122
4(cos 2sin )
3sin 1
t t ααα++=-
+．因为点M 为线段AB 的中点， 所以
1202t t +=，即cos 2sin 0αα+=．于是直线l 的斜率1
tan 2k α==- 因此，直线l 的方程是1
1(2)2
y x -=--，即240x y +-=．
例3 当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?
海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化（比如：。