第二章 导热基本定律
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E&in qx qy qz
导出微元体的总热流量
E&out qxdx qydy qzdz
E&in
E&out
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
dxdydz
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运动速度高
k 103 W / mK k(W / mK)
T (C) T (C)
T (C)
氟利昂12
wenku.baidu.com
qx
x
k
T x
dydz
dx
qydy
qy
qy y
dy
qy
y
k
T y
dxdz dy
(b)
qz dz
qz
qz z
dz
qz
z
k
T z
dxdy
dz
③ 对于任一微元体根据能量守恒定律，在任
温度升高、晶格振动加强、导热增强
(2) 非金属的热导率：
非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小 建筑隔热保温材料： k 0.025~3 W (mK )
T k 大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度 k
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）-GB427-92
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
c ：气体分子运动的均方根速度
k
1 3
cv cmfp mfp：气体分子在两次碰撞间平均自由行程
：气体的密度； cv ：气体的定容比热
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
k金属 k非金属; k固相 k液相 k气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1、气体的热导率
k气体 0.006~0.6 W (mK )
0oC : k空气 0.0244W (mK) ; 20oC : k空气 0.026 W (mK)
气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
2、液体的热导率
k液体 0.07~0.7 W (mK )
20oC : k水 0.6 W (mK) 液体的导热：主要依靠晶格的振动
晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点 阵，即所谓晶格
大多数液体（分子量M不变）： T k
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样
q '' k T x
T1 140C T1 T2
T2 100C
T2 20C T2
T1 140C
grad T
T T T
T T
温度梯度
等温面上没有温差，不会有热量传递 不同的等温面之间，有温差，有热
(Temperature gradient ） 量传递
T T n s
温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限，gradT
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad T
T
ur i
T
r j
T
r k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
2 、温度梯度与热流密度矢量的关系 如图 2-2 （ a ）所示，表示了微元面积
式为:
qr '' kggradT k T nr n
式中： gradt是空间某点的温度梯度；
n是通过该点等温线上的法向
单位矢量，指向温度升高的
qr
方向；
'是' 该处的热流密度矢量。
uur q '' -kgrad T [ W m2 ]
k : 热导率（导热系数） W (m K) （Thermal conductivity）
c T (k T ) (k T ) (k T ) q&
t x x y y z z
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方 程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空 间的变化关系。
c T (k T ) (k T ) (k T ) q&
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是 各向同性的。
1 ）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体 由前可知，空间任一点的热流密度矢量可
以分解为三个坐标方向的矢量。 同理，通过空间任一点任一方向的热流量
T y
kxz
T z
qy
'' k yx
T x
k yy
T y
k yz
T z
qz
'' kzx
T x
kzy
T y
kzz
T z
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知： （ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
也可分解为 x 、 y 、 z 坐标方向的分热流 量，如图 2-4 所示。
qz dz
q y dy
qx dx qx
qy qz
① 通过 x=x 、 y=y 、 z=z ，三个微元表
面而导入微元体的热流量：qx 、qy 、qz 的 计算。 根据傅立叶定律得
T qx k x dydz
T q ''
T T
T T T T T
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
不同方向上的热流密度的大小不同
q '' W m2
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方u向ur、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q ''
k(W / mK)
k(W / mK)
T (C) T (C)
氨 甘油
机油 氟利昂12
3、固体的热导率
k
1 3
C
cmfp
c ：电子平均速度/平均声速
C：电子/声子比热容 mfp : 电子/声子平均自由程
(1) 金属的热导率： k金属 12~418 W (mK )
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动
（Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的 改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：
T f (x, y, z)
2 ）非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
第二章 导热基本定律
§ 2 -1 导热基本定律
一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的 总称。
由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标和时间 的函数：
T f x, y, z,t
其中 x, y为, z空间坐标， 为t时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
A x 2 ）数学表达式： q kA T
x
3 ）傅里叶定律用热流密度表示：
q '' k T x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中 q—'' —热流密度(单位时间内通过单位面
积的热流量) T ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，
干扰自由电子的运动
k
k合金 k纯金属
如常温下： k纯铜 398W/mK
k黄铜 109W/mK 黄铜：70%Cu, 30%Zn
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷 k
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T k
uur
ur
uur
uur
直角坐标系中： q '' qx ''i qy '' j qz '' k
uur
q '' q '' cos
二 、导热基本定律
1 、导热基本定律（傅立叶定律） 1 ）定义：在导热现象中，单位时间内通过给 定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截 面方向上的温度变化率，而热量传递的方 向与温度升高的方向相反，即 q ~ T
qy
k
T y
dxdz
(a)
T qz k z dxdy
② 通过 x=x+dx 、 y=y+dy 、 z=z+dz 三 个微元表面而导出微元体的热流量qx+dx 、 qy+dy 、qz+dz 的计算。根据泰勒级数展开：
qxdx
qx
qx x
dx
qx
k
T x
dydz
qxdx
❖ (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相 交
❖ (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会 中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面 （曲线），或者就终止与物体的边界上
❖ 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
• 等温线图的物理意义： • 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密
可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示 是用等温线图表示温度场的实例。
此标准随着年代发展也逐渐改变。
k(W / mK)
T (C)
k(W / mK)
4 、各向异性材料
指有些材料（木材，石墨）各向结构 不同，各方向上的也有较大差别，这些材 料称各向异性材料。此类材料 必须注明方 向。相反，称各向同性材料。
各向异性材料中：
qx '' kxx
T x
kxy
一时间间隔内有以下热平衡关系：
E&st E&in E&out E&g
微元体热力学能的增量
E&st
c
T t
dxdydz
微元体内热源的生成热 E&g q&dxdydz
其中 , c, q&—,—t 微元体的密度、比热容、
单位时间内单位体积内热源的生成热及时 间。
导入微元体的总热流量
主要依靠前者
金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
k银 k铜 k金 k铝
T k — 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:kCu 12000 W (mK) 15K : kCu 7000 W (mK)
kt / k 0C
T (C)
钨
铝合金2024
铂
高温陶瓷 熔融石英
T f (x, y, z,t)
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。
T f (x) T f (x,t)
等温面与等温线
❖ 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同 的点连接起来所构成的面
❖ 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这 个平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点：
uur 直角坐标系中：q ''
qx
ur '' i
qy
''
uur j
qz
uur '' k
k
T x
ur i
k
T y
uur j
k
T z
uur k
qx
''
k
T x
;
qy
''
k
T y
;
qz
''
k
T z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
dA 附近的温度分布及垂直于该微元面积的 热流密度矢量的关系。 1 ）热流线
定义：热流线是一组与等温线处处垂直 的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点 的热流密度矢量相切。
2 ）热流密度矢量与热流线的关系： 在整个物体中，热流密度矢量的走向可用
热流线表示。如图 2-2 （ b ）所示。
T T
t x x y y z z 1）对上式化简：
①导热系数为常数
1 t 2T 2T 2T q&
三、热导率（ Thermal conductivity ）
uur
k q '' -grad T
— 物质的重要热物性参数
热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过
单位面积的导热量 W (m K)
热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等
导出微元体的总热流量
E&out qxdx qydy qzdz
E&in
E&out
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
dxdydz
将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：
气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运动速度高
k 103 W / mK k(W / mK)
T (C) T (C)
T (C)
氟利昂12
wenku.baidu.com
qx
x
k
T x
dydz
dx
qydy
qy
qy y
dy
qy
y
k
T y
dxdz dy
(b)
qz dz
qz
qz z
dz
qz
z
k
T z
dxdy
dz
③ 对于任一微元体根据能量守恒定律，在任
温度升高、晶格振动加强、导热增强
(2) 非金属的热导率：
非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小 建筑隔热保温材料： k 0.025~3 W (mK )
T k 大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度 k
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）-GB427-92
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
c ：气体分子运动的均方根速度
k
1 3
cv cmfp mfp：气体分子在两次碰撞间平均自由行程
：气体的密度； cv ：气体的定容比热
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。
除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化
k金属 k非金属; k固相 k液相 k气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1、气体的热导率
k气体 0.006~0.6 W (mK )
0oC : k空气 0.0244W (mK) ; 20oC : k空气 0.026 W (mK)
气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
2、液体的热导率
k液体 0.07~0.7 W (mK )
20oC : k水 0.6 W (mK) 液体的导热：主要依靠晶格的振动
晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点 阵，即所谓晶格
大多数液体（分子量M不变）： T k
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样
q '' k T x
T1 140C T1 T2
T2 100C
T2 20C T2
T1 140C
grad T
T T T
T T
温度梯度
等温面上没有温差，不会有热量传递 不同的等温面之间，有温差，有热
(Temperature gradient ） 量传递
T T n s
温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限，gradT
直角坐标系：（Cartesian coordinates）
grad T
T
ur i
T
r j
T
r k
x
y
z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
2 、温度梯度与热流密度矢量的关系 如图 2-2 （ a ）所示，表示了微元面积
式为:
qr '' kggradT k T nr n
式中： gradt是空间某点的温度梯度；
n是通过该点等温线上的法向
单位矢量，指向温度升高的
qr
方向；
'是' 该处的热流密度矢量。
uur q '' -kgrad T [ W m2 ]
k : 热导率（导热系数） W (m K) （Thermal conductivity）
c T (k T ) (k T ) (k T ) q&
t x x y y z z
这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方 程的一般表达式。 其物理意义：反映了物体的温度随时间和空 间的变化关系。
c T (k T ) (k T ) (k T ) q&
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是 各向同性的。
1 ）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体 由前可知，空间任一点的热流密度矢量可
以分解为三个坐标方向的矢量。 同理，通过空间任一点任一方向的热流量
T y
kxz
T z
qy
'' k yx
T x
k yy
T y
k yz
T z
qz
'' kzx
T x
kzy
T y
kzz
T z
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
由前可知： （ 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
也可分解为 x 、 y 、 z 坐标方向的分热流 量，如图 2-4 所示。
qz dz
q y dy
qx dx qx
qy qz
① 通过 x=x 、 y=y 、 z=z ，三个微元表
面而导入微元体的热流量：qx 、qy 、qz 的 计算。 根据傅立叶定律得
T qx k x dydz
T q ''
T T
T T T T T
热流密度矢量 （Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；
不同方向上的热流密度的大小不同
q '' W m2
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方u向ur、数值上正好等于沿该方向的热
流密度 q ''
k(W / mK)
k(W / mK)
T (C) T (C)
氨 甘油
机油 氟利昂12
3、固体的热导率
k
1 3
C
cmfp
c ：电子平均速度/平均声速
C：电子/声子比热容 mfp : 电子/声子平均自由程
(1) 金属的热导率： k金属 12~418 W (mK )
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动
（Steady-state conduction） 是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的 改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式：
T f (x, y, z)
2 ）非稳态温度场（非定常温度场） （Transient conduction） 是指在变动工作条件下，物体中各点的温 度分布随时间而变化的温度场称非稳态温 度场，其表达式：
第二章 导热基本定律
§ 2 -1 导热基本定律
一 、温度场 （Temperature field） 1 、概念
温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的 总称。
由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐标和时间 的函数：
T f x, y, z,t
其中 x, y为, z空间坐标， 为t时间坐标。
2 、温度场分类 1 ）稳态温度场（定常温度场）
A x 2 ）数学表达式： q kA T
x
3 ）傅里叶定律用热流密度表示：
q '' k T x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中 q—'' —热流密度(单位时间内通过单位面
积的热流量) T ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性，
干扰自由电子的运动
k
k合金 k纯金属
如常温下： k纯铜 398W/mK
k黄铜 109W/mK 黄铜：70%Cu, 30%Zn
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷 k
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T k
uur
ur
uur
uur
直角坐标系中： q '' qx ''i qy '' j qz '' k
uur
q '' q '' cos
二 、导热基本定律
1 、导热基本定律（傅立叶定律） 1 ）定义：在导热现象中，单位时间内通过给 定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截 面方向上的温度变化率，而热量传递的方 向与温度升高的方向相反，即 q ~ T
qy
k
T y
dxdz
(a)
T qz k z dxdy
② 通过 x=x+dx 、 y=y+dy 、 z=z+dz 三 个微元表面而导出微元体的热流量qx+dx 、 qy+dy 、qz+dz 的计算。根据泰勒级数展开：
qxdx
qx
qx x
dx
qx
k
T x
dydz
qxdx
❖ (1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相 交
❖ (2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会 中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面 （曲线），或者就终止与物体的边界上
❖ 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
• 等温线图的物理意义： • 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线的疏密
可反映出不同区域导热热流密度的大小。如图所示 是用等温线图表示温度场的实例。
此标准随着年代发展也逐渐改变。
k(W / mK)
T (C)
k(W / mK)
4 、各向异性材料
指有些材料（木材，石墨）各向结构 不同，各方向上的也有较大差别，这些材 料称各向异性材料。此类材料 必须注明方 向。相反，称各向同性材料。
各向异性材料中：
qx '' kxx
T x
kxy
一时间间隔内有以下热平衡关系：
E&st E&in E&out E&g
微元体热力学能的增量
E&st
c
T t
dxdydz
微元体内热源的生成热 E&g q&dxdydz
其中 , c, q&—,—t 微元体的密度、比热容、
单位时间内单位体积内热源的生成热及时 间。
导入微元体的总热流量
主要依靠前者
金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
k银 k铜 k金 k铝
T k — 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:kCu 12000 W (mK) 15K : kCu 7000 W (mK)
kt / k 0C
T (C)
钨
铝合金2024
铂
高温陶瓷 熔融石英
T f (x, y, z,t)
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况 下的温度场称一维温度场。
T f (x) T f (x,t)
等温面与等温线
❖ 等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同 的点连接起来所构成的面
❖ 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这 个平面上得到一个等温线簇
等温面与等温线的特点：
uur 直角坐标系中：q ''
qx
ur '' i
qy
''
uur j
qz
uur '' k
k
T x
ur i
k
T y
uur j
k
T z
uur k
qx
''
k
T x
;
qy
''
k
T y
;
qz
''
k
T z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
dA 附近的温度分布及垂直于该微元面积的 热流密度矢量的关系。 1 ）热流线
定义：热流线是一组与等温线处处垂直 的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点 的热流密度矢量相切。
2 ）热流密度矢量与热流线的关系： 在整个物体中，热流密度矢量的走向可用
热流线表示。如图 2-2 （ b ）所示。
T T
t x x y y z z 1）对上式化简：
①导热系数为常数
1 t 2T 2T 2T q&
三、热导率（ Thermal conductivity ）
uur
k q '' -grad T
— 物质的重要热物性参数
热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过
单位面积的导热量 W (m K)
热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等