矢量分析与场论 天津大学 流体力学基础
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第一节 场 1 场的概念
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的 值，就说在这空间里确定了该物理量的场．如果这物理量是数量就称这个场为 数量场，若是矢量就称这个场为矢量场，例如温度场、密度场、电位场等为数 量场，而力场、速度场等为矢量场．
2．数量场的等值面 由数量场的定义可知，分布在数量场中各点处的数量u是场中之点M的单
因梯度具有上述性质，它是数量场中的一个重要概念．如果我们把数量 场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来，就得到一个矢量场，称为 由此数量场产生的梯度场．
(3) 哈米尔顿(Hamllton)算子．为了方便，我们引入一个矢段微分算子
叫做哈米尔顿算子．记号▽是一个微分运算符号，但同时又要当 作矢量看待．其运算规则是：
值函数u＝u(M)，当取定了oxyz坐标系以后，成为点M的坐标(x,y,z)的函数
一个数量场，可以用一个函数来表示．
在数量场中，为了宣观地研究物理量M在场中的分布状况，需要考察 场中有相同物理量的点，也就是使u(M)取相同数的点值的各点。
这个方程，一般在几伺上表示一曲而，这个曲面，称为数员场的等 值面．例如温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面； 电位场中的等值面，就是由电位相同的点须组成的等位面。
第三节 矢量场的通量及散度
具有连续转动切线的曲线，称为光滑曲线； 具有连续转动法线的曲面，称为光滑曲面． 为了简便起见，我们把由有限多段不相交的光滑曲线连成的曲线，叫做 简单曲线；而由有限多块不相交的光滑曲面连成的曲面叫做简单曲面． 假定：以后所讲到的曲线都是简单曲线；所讲到的曲瓦也都是简单曲 面． 另外，为了区分曲面的两侧，取其中的一面作为曲面的正侧，并规定曲面 的法矢M是指向正侧的；如果曲面是封闭的，则取其外侧为正侧．这种取定 正侧的曲面，叫做有向曲面．
gradM＝G 梯度的这个定义是与坐标系无关的，它是由数量场中数量u(M)的分布所 决定的．它在直角坐标系中的表示式为
(2) 梯度的性质：从(2．7)式我们可以得到梯度的 两个重要性质：
1) 方向导效等于梯度在该方向的投影，即有：
2) 数量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且 指向函数u(M)增大的方向．
应的矢量分别为
与
如图(1—5)，则 叫做矢性函数A(6)的增量，记作ΔA， 据此，我们就可给出矢性函数的导数定义．
定义：矢性函数A(t)在点t处的增量ΔA与对应的Δ t之比
此式把求矢性函数的导矢，归结为求三个数性函数的导数． 例如：圆柱螺旋线的矢量方程为
则其导矢
3．矢性函数的微分
设有矢性函数A＝A(t)，我们把dA＝A’(t)dt (dt＝Δt)称为矢性因数A(t) 在t处的微分．
这说明，矢径函数对(其矢端曲线)的弧长S的导数 为一单位矢量
4 矢性函数的导数公式
设矢性函数A＝A(t)，B＝B(t)及数性函数μ＝μ(t)在t的某个范围内可导， 则下列公式在该范围内成立
定长矢量A(t)与其导矢互相垂直．特别对于单位矢量A。＝A。(t)有
第三节 矢性函数的积分
1 矢性函数的不定积分 定义：若B’(t)＝A(t)，则称B(t)为A(t)的一个原函数．A(t)的原函数的全体，
若在(1．2)式中给常数c一系列不同的数值， 就得到一系列不同的等值面，参看图(2—1)， 这族等值面充满整个数量场所在的空间，而 且互不相交．通过数量场的每一点存一个等 值面；一个点只在
比如地形图上的等高线，地面气象图上的等压线等等，就是平面数量场中等 值线的例子．
数量场的等值面或等位线，以直观地帮助我们了解物理量在场中的分布 状况．
函数，记作:
A＝A(t)
(1．1)
这时，矢量A在直角坐标系中的三个坐标(即它在三个坐标轴上的投
影)，显然都是 t 的数性函数：
依此，就可以写出矢量A酌坐标表示式：
2．矢端曲线
为了能用图形来直观地表示矢性因数A)的变化状态， 把A的的起点取在坐标原点．这样，当 t 变化时，矢 量A(t)的终点就描绘出一条曲线)；这条曲线叫矢性函 数A的的矢端曲线，亦叫做矢性函数A(t)的图形．
2．梯度 方向导数给我们解决了函数u(M)在给定点处沿某个方加的变化率问题．然而
从场中给定点出发，有无穷多个方向函数u(M )，沿其中的哪个方向其变化率最 大，最大的变化率又是多少呢?
方向导数的公式中：
(1)梯度的定义：若在数量场u(M)中的一点M处，存在矢量G，其方向为函 数u(M)在该点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数 值．则称矢量G为函数u(M)在该点处的锑度，记作gradM，即
叫做A(t)的不定积分，记作 A(t)dt
由于矢性函数的不定积分和数性函数的不定积分在形式上完全类似，因此， 数性函数不定积分的基本性质对矢性因数来说仍然成立。
矢Βιβλιοθήκη Baidu函数的定积分
矢性函数的定积分概念也和数性困数的完全类似．因此，也相应地具有数 性函数定积分的基本性质。
第二章 场 论
在许多科学、技术问题中，常常要考察某种物理量（温度；密度、电位、 力、速度等等)在空间的分布和变化规律．为了揭示和探索这些规率，数学上就 引进了场的概念．
第一节 矢性函数
我们在矢量代数中，曾经学过模和方向都保持不变的矢量，这种矢 量称为常矢； 然而，在许多科学、技术问题中，我们常常遇到模和 方向或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢．此外，在矢量分 析中还有矢性函数的概念。
定义：设有数性变量 t 和变矢A，如果对于 t 在某个范围内的每一个
数值，A都有一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量 t 的矢性
矢性函数就有类似于数性图数中的一些极限运算的法则
(2) 矢性函数连续性的定义：若矢性函数 A(t)在点 t。的某个邻域内有定义， 而且有
则称A(t)在t＝t。处连续。 若矢性函数A在某个区间内的每一点处都连 续，则称它在该区间内连续．
第二节 矢性函数的微分法
1 矢性函数的导数
矢性函数A(t)(矢量的起点相同)，当数性变量从t变到 t十Δt时( t十Δt≠0) ，对
当我们把A(t)的起点取在坐标原点O，A(t)实际上就成为其终点M的矢径矢径
有这样一个特点，就是它的三个坐标
正好对应地等于它的
终点M的三个坐标x ,y, z
此式就是曲线L以t为参数的参数方程．和矢量方程是一一对应的 例如：已知圆柱螺旋线的参数方程为 其矢量方程为
其矢量方程为
3．矢性函数的极限和连续性
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的 值，就说在这空间里确定了该物理量的场．如果这物理量是数量就称这个场为 数量场，若是矢量就称这个场为矢量场，例如温度场、密度场、电位场等为数 量场，而力场、速度场等为矢量场．
2．数量场的等值面 由数量场的定义可知，分布在数量场中各点处的数量u是场中之点M的单
因梯度具有上述性质，它是数量场中的一个重要概念．如果我们把数量 场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来，就得到一个矢量场，称为 由此数量场产生的梯度场．
(3) 哈米尔顿(Hamllton)算子．为了方便，我们引入一个矢段微分算子
叫做哈米尔顿算子．记号▽是一个微分运算符号，但同时又要当 作矢量看待．其运算规则是：
值函数u＝u(M)，当取定了oxyz坐标系以后，成为点M的坐标(x,y,z)的函数
一个数量场，可以用一个函数来表示．
在数量场中，为了宣观地研究物理量M在场中的分布状况，需要考察 场中有相同物理量的点，也就是使u(M)取相同数的点值的各点。
这个方程，一般在几伺上表示一曲而，这个曲面，称为数员场的等 值面．例如温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面； 电位场中的等值面，就是由电位相同的点须组成的等位面。
第三节 矢量场的通量及散度
具有连续转动切线的曲线，称为光滑曲线； 具有连续转动法线的曲面，称为光滑曲面． 为了简便起见，我们把由有限多段不相交的光滑曲线连成的曲线，叫做 简单曲线；而由有限多块不相交的光滑曲面连成的曲面叫做简单曲面． 假定：以后所讲到的曲线都是简单曲线；所讲到的曲瓦也都是简单曲 面． 另外，为了区分曲面的两侧，取其中的一面作为曲面的正侧，并规定曲面 的法矢M是指向正侧的；如果曲面是封闭的，则取其外侧为正侧．这种取定 正侧的曲面，叫做有向曲面．
gradM＝G 梯度的这个定义是与坐标系无关的，它是由数量场中数量u(M)的分布所 决定的．它在直角坐标系中的表示式为
(2) 梯度的性质：从(2．7)式我们可以得到梯度的 两个重要性质：
1) 方向导效等于梯度在该方向的投影，即有：
2) 数量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且 指向函数u(M)增大的方向．
应的矢量分别为
与
如图(1—5)，则 叫做矢性函数A(6)的增量，记作ΔA， 据此，我们就可给出矢性函数的导数定义．
定义：矢性函数A(t)在点t处的增量ΔA与对应的Δ t之比
此式把求矢性函数的导矢，归结为求三个数性函数的导数． 例如：圆柱螺旋线的矢量方程为
则其导矢
3．矢性函数的微分
设有矢性函数A＝A(t)，我们把dA＝A’(t)dt (dt＝Δt)称为矢性因数A(t) 在t处的微分．
这说明，矢径函数对(其矢端曲线)的弧长S的导数 为一单位矢量
4 矢性函数的导数公式
设矢性函数A＝A(t)，B＝B(t)及数性函数μ＝μ(t)在t的某个范围内可导， 则下列公式在该范围内成立
定长矢量A(t)与其导矢互相垂直．特别对于单位矢量A。＝A。(t)有
第三节 矢性函数的积分
1 矢性函数的不定积分 定义：若B’(t)＝A(t)，则称B(t)为A(t)的一个原函数．A(t)的原函数的全体，
若在(1．2)式中给常数c一系列不同的数值， 就得到一系列不同的等值面，参看图(2—1)， 这族等值面充满整个数量场所在的空间，而 且互不相交．通过数量场的每一点存一个等 值面；一个点只在
比如地形图上的等高线，地面气象图上的等压线等等，就是平面数量场中等 值线的例子．
数量场的等值面或等位线，以直观地帮助我们了解物理量在场中的分布 状况．
函数，记作:
A＝A(t)
(1．1)
这时，矢量A在直角坐标系中的三个坐标(即它在三个坐标轴上的投
影)，显然都是 t 的数性函数：
依此，就可以写出矢量A酌坐标表示式：
2．矢端曲线
为了能用图形来直观地表示矢性因数A)的变化状态， 把A的的起点取在坐标原点．这样，当 t 变化时，矢 量A(t)的终点就描绘出一条曲线)；这条曲线叫矢性函 数A的的矢端曲线，亦叫做矢性函数A(t)的图形．
2．梯度 方向导数给我们解决了函数u(M)在给定点处沿某个方加的变化率问题．然而
从场中给定点出发，有无穷多个方向函数u(M )，沿其中的哪个方向其变化率最 大，最大的变化率又是多少呢?
方向导数的公式中：
(1)梯度的定义：若在数量场u(M)中的一点M处，存在矢量G，其方向为函 数u(M)在该点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数 值．则称矢量G为函数u(M)在该点处的锑度，记作gradM，即
叫做A(t)的不定积分，记作 A(t)dt
由于矢性函数的不定积分和数性函数的不定积分在形式上完全类似，因此， 数性函数不定积分的基本性质对矢性因数来说仍然成立。
矢Βιβλιοθήκη Baidu函数的定积分
矢性函数的定积分概念也和数性困数的完全类似．因此，也相应地具有数 性函数定积分的基本性质。
第二章 场 论
在许多科学、技术问题中，常常要考察某种物理量（温度；密度、电位、 力、速度等等)在空间的分布和变化规律．为了揭示和探索这些规率，数学上就 引进了场的概念．
第一节 矢性函数
我们在矢量代数中，曾经学过模和方向都保持不变的矢量，这种矢 量称为常矢； 然而，在许多科学、技术问题中，我们常常遇到模和 方向或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢．此外，在矢量分 析中还有矢性函数的概念。
定义：设有数性变量 t 和变矢A，如果对于 t 在某个范围内的每一个
数值，A都有一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量 t 的矢性
矢性函数就有类似于数性图数中的一些极限运算的法则
(2) 矢性函数连续性的定义：若矢性函数 A(t)在点 t。的某个邻域内有定义， 而且有
则称A(t)在t＝t。处连续。 若矢性函数A在某个区间内的每一点处都连 续，则称它在该区间内连续．
第二节 矢性函数的微分法
1 矢性函数的导数
矢性函数A(t)(矢量的起点相同)，当数性变量从t变到 t十Δt时( t十Δt≠0) ，对
当我们把A(t)的起点取在坐标原点O，A(t)实际上就成为其终点M的矢径矢径
有这样一个特点，就是它的三个坐标
正好对应地等于它的
终点M的三个坐标x ,y, z
此式就是曲线L以t为参数的参数方程．和矢量方程是一一对应的 例如：已知圆柱螺旋线的参数方程为 其矢量方程为
其矢量方程为
3．矢性函数的极限和连续性