时间序列分析
时间序列分析入门
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳旳条件
xt t t1 2t2 3t3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var(
xt
)
1
2
2
自协方差函数
1
r0
1
2
(1 11)(1 1 12
1 )
2
r2 E[xt2 (1xt1 t 1t1)] 1r1
rk 1rk1 (k 2)
ARMA(1,1)旳自有关函数
k
(1 11 1 12
)(1 1 211
)
1 k 1
k 1 k2
ARMA(p,q)旳自有关函数与AR(p)一样，具有拖尾性
③ 滞后算子形式
xt 1xt1 2xt2 p xtp t 1t1 2t2 qtq
p (B)xt q (B)t
xt
1 p
(
B)
q
(
B)
t
t
1 q
(
B)
p
(
B)
xt
性质总结
模型
• 自有关 • 函数 • 偏自有
关函数
• 平稳旳 条件
• 可逆旳 条件
AR(p) 拖尾
MA(q) 截尾
ARMA(p,q) 拖尾
① 自回归模型旳定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间旳相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不有关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
时间序列分析ppt课件
目录
• 时间序列分析简介 • 时间序列的基本概念 • 时间序列分析方法 • 时间序列分析案例 • 时间序列分析的未来发展
01 时间序列分析简介
时间序列的定义与特点
定义
时间序列是指按照时间顺序排列的一 系列观测值。
特点
时间序列具有动态性、趋势性和周期 性等特点，这些特点对时间序列分析 具有重要的影响。
时间序列的季节性
总结词
时间序列的季节性是指时间序列在固定周期内重复出现的模式，这种模式可能是由于季节性因素、周 期性事件或数据采集的频率所引起的。
详细描述
季节性是时间序列中的一个重要特征，许多时间序列都表现出季节性。例如，一个表示月度销售的序 列可能会在每个月份都出现类似的销售模式。在进行时间序列分析时，需要考虑季节性对模型的影响 ，以便更准确地预测未来的趋势和模式。
时间序列分析在金融领域的应用广泛，如股票价格预测 、风险评估等。未来将进一步探索时间序列分析时间序列分析可用于医学影像分析、疾病 预测等方面。未来将进一步拓展其在健康领域的应用范 围，为医疗保健提供有力支持。
谢谢聆听
时间序列分析的意义
01
预测未来趋势
通过对时间序列进行分析，可以了解数据的变化趋势， 从而预测未来的走势，为决策提供依据。
02
揭示内在规律
时间序列分析可以帮助我们揭示数据背后的内在规律和 机制，进一步理解事物的本质。
03
优化资源配置
通过对时间序列的预测和分析，可以更好地优化资源配 置，提高资源利用效率。
03 时间序列分析方法
图表分析法
总结词
通过图表直观展示时间序列数据，便 于观察数据变化趋势和异常点。
详细描述
时间序列的分析方法
时间序列的分析方法时间序列分析是指通过对时间序列数据进行统计学和数学模型的建立和分析，以预测和解释时间序列的未来走势和规律。
它是应用统计学和数学方法研究时间序列数据特点、规律、变化趋势，以及建立模型进行分析和预测的一种方法。
时间序列数据是按照时间顺序记录的数据，比如月度销售额、季度GDP增长率、年度股票收盘价等。
时间序列分析的目的是从历史数据中发现数据的模式，以便更好地理解现象、做出预测和制定决策。
时间序列分析主要有以下几种方法：1. 数据可视化方法数据可视化是分析时间序列数据的重要方法，可以通过绘制数据的折线图、柱状图、散点图等来观察数据的趋势、周期性、季节性等特点。
2. 描述性统计方法描述性统计是对时间序列数据的集中趋势、离散程度和分布形态进行描述的方法。
常用的描述性统计指标有均值、标准差、最大值、最小值等。
3. 平稳性检验方法平稳性是时间序列分析的重要假设，即时间序列在长期内的统计特性保持不变。
平稳性检验可以通过观察数据的图形、计算自相关函数、进行单位根检验等方法来判断时间序列是否平稳。
4. 时间序列分解方法时间序列分解是将时间序列数据分解为趋势成分、周期成分和随机成分的方法。
常用的时间序列分解方法有经典分解法和X-11分解法。
5. 自回归移动平均模型（ARMA）方法ARMA模型是时间序列的常用统计学模型，可以描述时间序列数据的自相关和滞后移动平均关系。
ARMA模型包括两个部分，AR(p)模型用来描述自回归关系，MA(q)模型用来描述移动平均关系。
6. 自回归积分滑动平均模型（ARIMA）方法ARIMA模型是ARMA模型的扩展，加入了差分操作，可以处理非平稳时间序列。
ARIMA模型通常用于对非平稳时间序列进行平稳化处理后的建模和预测。
7. 季节性模型方法对于具有明显季节性的时间序列数据，可以采用季节性模型进行分析和预测。
常用的季节性模型有季节性ARIMA模型、季节性指数平滑模型等。
8. 灰色模型方法灰色模型是一种适用于少量样本的时间序列建模和预测方法，它主要包括GM(1,1)模型和GM(2,1)模型。
第10章-时间序列分析
67885
•1991～1996年平均国内生产总值：
•时期数列
•2023/5/3
•【例】
年份
•19941998年中 国能源生产 总量
1994 1995 1996 1997 1998
能源生产总量（万吨标 准煤） 118729 129034 132616 132410 124000
•2023/5/3
❖2.绝对指标时点数列的序时平均数
如：1991—1996年间，我国逐年的GDP，构
成一个时间序列。
记：a1 , a2 , … , an ( n项 ) 或：a0 , a1 , a2 , … , an ( n+1项 )
•2023/5/3
•
时间数列的构成要素：
1. 现象所属的时间；
2. 不同时间的具体指标数值。
•2023/5/3
例如
年底人数
（万 人）
8350 9949 11828 14071 16851 18375
间隔年数 3 2 3 2 2
•间断时点数列（间隔不等）
•2023/5/3
•我国第三产业平均从业人数：
•2023/5/3
•【例】 •某地区1999年社会劳动者人数资料如下
：
•单位：万人
时间 1月1日 5月31日 8月31日 12月31日
•2023/5/3
•定基和环比发展速度相互关系
•2023/5/3
【例】
❖ 某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下: ❖ 1996年为103.9%，1997年为100.9%， ❖ 1998年为95.5%，1999年为101.6%，2000年为
108%，试计算2000年以1995年为基期的定基发 展速度。 ❖ (109.57%)
时间序列 8种方法
时间序列分析是一种用于处理和分析时间序列数据的方法，它可以帮助我们理解数据的变化趋势、周期性、随机性等特征。
以下是在时间序列分析中常用的8种方法：
1. 描述性统计：这是最基本的数据分析方法，包括平均值、中位数、标准差、极值等。
2. 趋势图：将数据以图表的形式展示出来，可以直观地看到数据的变化趋势。
3. 季节性分析：如果数据具有季节性特征，可以使用季节性指数、移动平均法等方法来分析。
4. 回归分析：通过建立回归模型，对时间序列数据进行拟合，以预测未来的数据。
5. 滑动平均模型（SMA）：这是一种常用的时间序列分析方法，可以平滑短期波动，反映价格或指数的长期变化趋势。
6. 指数平滑：这是一种基于时间序列数据的平滑方法，可以处理时间序列数据的非平稳性问题。
它有多种形式，如一次指数平滑、二次指数平滑等。
7. ARIMA模型：这是一种常用于时间序列分析的模型，可以自动处理时间序列数据的平稳性和季节性变化。
8. 时间序列预测的神经网络方法：这种方法利用神经网络对时间序列数据进行训练，以预测未来的数据。
这些方法各有优缺点，具体使用哪种方法取决于数据的特征和需求。
在应用这些方法时，需要注意数据的清洗和预处理，以及对结果的解读和分析。
另外，随着数据科学技术的不断发展，可能还会出现新的方法和工具来应对时间序列分析中的问题。
此外，要注意这些方法只是帮助我们理解和预测时间序列数据的一种手段，它们不能替代我们对于数据背后问题的深入思考和探讨。
在应用这些方法时，我们需要结合实际问题和背景知识，进行合理的分析和解释。
同时，也需要不断地学习和探索，以应对不断变化的数据和分析需求。
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种重要的统计学方法，用于研究随时间变化的数据。
它可以帮助我们了解数据的趋势、周期性和季节性，预测未来的变化趋势，并做出相应的决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、常见的方法和应用领域。
一、时间序列的基本概念时间序列是按时间先后顺序排列的一组观察数据。
它可以是连续的，例如每天的股票价格；也可以是离散的，例如每月的销售量。
时间序列的分析要求数据点之间存在一定的相关性和规律性。
二、时间序列的组成部分时间序列通常由三个主要组成部分构成：趋势、季节性和随机性。
趋势是时间序列在长期内呈现的整体变化趋势；季节性是时间序列在较短的时间内出现的重复周期性变化；随机性是时间序列中无法解释的随机波动。
三、时间序列分析的方法1. 描述性分析描述性分析是对时间序列数据进行可视化和概括的方法。
常用的方法包括绘制折线图、直方图和自相关图等，以帮助我们了解数据的分布和相关性。
2. 平稳性检验平稳性是时间序列分析的基本假设。
平稳序列的统计特性在时间上是不随时间变化的，包括均值、方差和自相关性等。
常见的平稳性检验方法有单位根检验和ADF检验。
3. 建立模型建立时间序列模型是对数据进行预测和分析的关键步骤。
常用的时间序列模型有ARIMA模型、AR模型和MA模型等。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数，从而进行未来值的预测。
4. 模型诊断与改进在建立模型之后，需要对其进行诊断和改进。
常见的诊断方法包括残差检验、模型稳定性检验和模型比较等。
根据诊断结果，我们可以对模型进行改进，提高预测的准确性。
四、时间序列分析的应用领域时间序列分析在许多领域都有广泛的应用，例如经济学、金融学、气象学和市场营销等。
在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济增长趋势和通货膨胀率。
在金融学中，它可以帮助我们预测股票价格和利率走势。
在气象学中，时间序列分析可以用于预测天气变化和自然灾害。
在市场营销中，它可以帮助我们预测销售量和用户行为。
时间序列分析方法介绍
时间序列分析方法介绍引言时间序列分析是一种重要的统计分析方法，用于研究连续时间点上的数据序列。
时间序列是在一段时间内收集到的观测数据的有序集合，它包含了时间的信息，因此可以帮助我们了解数据随时间的变化趋势以及其他相关的统计性质。
时间序列分析方法可以应用于许多不同的领域，如经济学、金融学、气象学等，以揭示数据背后的规律性和趋势。
本文将介绍几种常用的时间序列分析方法，包括平稳性检验、自回归移动平均模型（ARIMA模型）、季节性分解和指数平滑法。
平稳性检验时间序列的平稳性是进行时间序列分析的前提条件之一。
平稳性意味着时间序列的均值和方差在时间上保持不变，不受时间的影响。
平稳性检验主要通过观察时间序列的均值和方差随时间的变化，以及利用统计检验方法来进行判断。
平稳性检验常用的方法包括观察法、ADF检验（单位根检验）和KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin检验）。
观察法主要是通过绘制时间序列的图形、计算移动平均值和指数加权移动平均值等手段来判断平稳性。
ADF检验可以检验时间序列是否存在单位根，从而判断序列是否平稳。
KPSS检验则是用来检验序列是否具有趋势性。
如果时间序列不满足平稳性条件，我们可以进行平稳性转换，如差分、对数转换等。
平稳性转换可以消除随时间变化的趋势和季节性，使得数据更具有可分析性。
自回归移动平均模型（ARIMA模型）ARIMA模型是对时间序列进行建模和预测的常用方法。
它是自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型的组合，加上差分（I）的操作，因此得名ARIMA模型。
ARIMA模型主要通过观察时间序列的自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定模型的阶数。
自相关图反映了序列与其自身滞后的关系，偏自相关图则反映了序列与其滞后项的关系。
通过观察这两个图形，我们可以确定ARIMA模型中的p（自回归阶数）、d（差分阶数）和q（移动平均阶数）。
ARIMA模型的建模过程包括参数估计、模型检验和预测。
什么是时间序列分析
什么是时间序列分析关键信息项：1、时间序列分析的定义2、时间序列分析的目的3、时间序列分析的常用方法4、时间序列数据的特点5、时间序列分析的应用领域6、时间序列分析的步骤7、时间序列分析的局限性11 时间序列分析的定义时间序列分析是一种用于研究数据随时间变化规律的统计方法。
它通过对一系列按时间顺序排列的数据点进行分析，以揭示数据中的趋势、季节性、周期性和随机性等特征。
时间序列分析在经济学、金融学、气象学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
111 时间序列数据的特点时间序列数据具有以下几个主要特点：1111 顺序性：数据是按照时间顺序依次记录的，时间顺序对于分析结果具有重要影响。
1112 相关性：相邻时间点的数据之间往往存在一定的相关性。
1113 趋势性：数据可能呈现出长期的上升、下降或稳定的趋势。
1114 季节性：某些数据在一年内的特定时间段内会表现出相似的模式，如销售数据在节假日期间的增加。
1115 随机性：数据中还包含了一些无法预测的随机波动。
12 时间序列分析的目的时间序列分析的主要目的包括：121 预测未来值：通过对历史数据的分析，预测未来一段时间内数据的可能取值，为决策提供依据。
122 理解数据的动态特征：揭示数据的趋势、季节性和周期性等模式，帮助人们更好地理解数据产生的机制。
123 监测和控制：用于监测系统的运行状态，及时发现异常情况并采取相应的控制措施。
124 评估政策和干预的效果：在政策实施或干预措施执行后，通过时间序列分析评估其对相关数据的影响。
13 时间序列分析的常用方法常用的时间序列分析方法包括：131 移动平均法：通过计算一定时期内数据的平均值来平滑数据，消除随机波动。
132 指数平滑法：对历史数据进行加权平均，给予近期数据更高的权重，以更好地反映数据的最新变化。
133 自回归模型（AR）：利用数据自身的滞后值来预测当前值。
134 移动平均自回归模型（ARMA）：结合自回归和移动平均的特点进行建模。
时间序列分析法
时间序列分析法时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的方法，它专门用于处理具有时间依赖性的数据。
时间序列数据是按时间顺序排列的一组观测值，例如股票价格、气温变化、经济指标等。
时间序列分析的目标是从历史数据中提取模式、趋势和周期以及预测未来的数据走势。
时间序列分析包括了多种方法和技术，下面将介绍其中几种常用的方法：1. 均值模型均值模型是最简单的时间序列模型之一，它假设时间序列的未来值将等于过去几期的平均值。
均值模型最常用的是移动平均模型（MA）和指数平滑模型（ES）。
移动平均模型根据过去几期的观测值对未来值进行预测，而指数平滑模型则给予较大权重给近期的观测值。
2. 趋势分析趋势分析用于识别时间序列中的长期趋势。
常用的趋势分析方法包括线性趋势分析、多项式回归分析以及指数平滑趋势分析。
这些方法主要是通过拟合一个数学模型来描述时间序列的趋势，然后根据模型对未来走势进行预测。
3. 季节性分析季节性分析用于识别和预测时间序列中的季节性模式。
常用的季节性分析方法包括季节性平均法、回归分析以及季节性指数平滑法。
这些方法可以通过拟合一个季节性模型来描述时间序列的季节性变动，并进行未来的预测。
4. 自回归移动平均模型（ARMA）ARMA模型是一种将自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）结合起来的时间序列模型。
AR模型通过过去的观测值对未来值进行预测，而MA模型则根据过去的误差对未来值进行预测。
ARMA模型可以通过估计AR和MA参数来对时间序列进行预测。
5. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）ARIMA模型是一种将自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）与差分运算结合起来的时间序列模型。
ARIMA模型可以通过求解差分参数来对非平稳时间序列进行预测。
差分运算可以减少时间序列的趋势和季节性，使其更具平稳性。
以上是常用的时间序列分析方法，每种方法都有其适用性和局限性。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法进行分析和预测。
时间序列分析
时间序列分析时间序列数据的特点是观测值之间存在时间上的依赖关系，即一个观测值的取值可能与之前的多个观测值存在相关性。
时间序列分析主要考虑以下几个方面：1. 趋势分析：时间序列数据中存在的长期增长或下降趋势可以通过趋势分析来判断。
趋势分析可以采用移动平均法、指数平滑法等方法来拟合趋势线，从而预测未来的趋势。
2. 季节性分析：时间序列数据中的季节性波动是一种按照固定的季节循环出现的规律变动。
季节性分析可以通过季节性指数、分解法等方法来对季节性波动进行分析和预测。
3. 周期性分析：周期性是指时间序列数据中存在的较长周期的波动。
周期性分析可以通过傅里叶分析、自相关函数等方法来分析和预测周期性波动。
4. 随机性分析：时间序列数据中的随机变动是指除趋势、季节性、周期性之外的不可预测的波动。
随机性分析可以通过残差项的分析来判断数据中是否存在随机波动。
时间序列分析的方法包括统计方法和经典时间序列分析方法。
统计方法主要包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
经典时间序列分析方法主要包括指数平滑法、趋势法、季节性指数法等。
时间序列分析的应用领域广泛。
在经济学中，时间序列分析可以用来预测经济指标的变动趋势，为政府决策提供依据。
在金融学中，时间序列分析可以用来预测股市的走势，帮助投资者制定投资策略。
在气象学中，时间序列分析可以用来预测天气变化，为农民和旅行者提供参考。
在医学中，时间序列分析可以用来预测疾病的传播趋势，为疾病防控提供支持。
然而，时间序列分析也存在一些挑战和限制。
首先，时间序列数据的质量和可靠性对分析结果的影响很大，因此数据的采集、清洗和处理是很重要的。
其次，时间序列数据的非线性和非平稳性使得分析方法的选择和应用更为复杂。
此外，时间序列数据同时受到多种因素的影响，如外部环境、政策变化等，这些因素需要合理地加以考虑。
总的来说，时间序列分析是一种重要的统计分析方法，可以用来揭示时间序列数据内部的潜在规律和特征，并通过对过去数据的观察和分析来预测未来的趋势。
什么是时间序列分析？有哪些应用场景？
时间序列分析是一种统计方法，专门用于研究有序时间点上观测到的数值数据。
这些数据点按照时间顺序排列，形成了一条时间序列。
时间序列分析旨在揭示这些数据随时间变化的模式、趋势和周期性，并预测未来的走势。
这一方法广泛应用于各个领域，包括但不限于金融、经济、气象、生物学、医学、社会科学和工程等。
**一、时间序列分析的基本概念**1. **时间序列的定义**：时间序列是一组按时间顺序排列的数据点，通常用于反映某个或多个变量随时间的变化情况。
这些数据点可以是连续的（如每秒的气温），也可以是离散的（如每天的股票价格）。
2. **时间序列的构成**：时间序列通常由四个部分组成：趋势（Trend）、季节性（Seasonality）、周期性（Cyclicality）和随机性（Randomness）。
* **趋势**：长期变化的方向，可以是上升、下降或平稳的。
* **季节性**：由外部因素（如季节变化）引起的周期性变化。
* **周期性**：由内部因素（如经济周期）引起的周期性变化。
* **随机性**：无法预测的随机波动。
3. **时间序列的类型**：根据数据的性质和分析目标，时间序列可以分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
平稳时间序列的统计特性（如均值和方差）不随时间变化，而非平稳时间序列则可能存在长期趋势或其他非恒定特性。
**二、时间序列分析方法**1. **描述性统计**：通过计算时间序列的均值、方差、标准差等指标，初步了解数据的分布情况。
2. **时间序列图**：通过绘制时间序列图，可以直观地观察数据的趋势、季节性和周期性。
3. **时间序列模型**：常用的时间序列模型包括自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和自回归移动平均模型（ARMA）等。
这些模型通过拟合历史数据来预测未来的趋势。
**三、时间序列分析的应用场景**1. **金融市场分析**：时间序列分析在金融市场分析中具有重要意义。
股票价格、汇率、债券收益率等金融数据都是典型的时间序列数据。
时间序列分析法
3. 生长曲线法
① 逻辑曲线 曲线在其单调区间内的y=k/2处有唯一的拐点。 记拐点处的y值为yr，则
对应于拐点的时间点tr
因此，logistic曲线对于点（yr,tr）是对称的。
3. 生长曲线法
② 龚珀兹曲线
•Gompertz曲线是双层指数函数。对于模 型参数的不同取值，Gompertz曲线有四 种不同的类型。其中满足条件K>0,0<a<1 ，0<b<1的Gompertz曲线适用于某些技术 、经济、社会现象发展过程的模拟。
用递推公式可以大大减少计算量。同时，
当获得新数据时，无需像回归分析那样重
新估算方程，而可以根据先期计算出来的
移动平均值，很容易求出新的移动平均值
。
1. 移动平均法
① 一次移动平均
合理地选择周期数n是用好移动平均法的关键 。在n取较大值时，移动平均值对于随机影响的 敏感性弱些，平滑作用强，但适应新数据水平的 时间要长些，容易落后于可能的发展趋势；而当 n 取较小值时，移动平均值对于随机影响的敏感 性较强，平滑作用差，适应数据新水平的时间短 ，因而容易对随机干扰反映过度灵敏而造成错觉 。一般可以根据实际时间序列数据的特征和经验 选择参数n。
在时间序列数据散点图的倾向线大致 是一次指数曲线时可用一次指数曲线去 拟合它。
2. 指数平滑法
一般形式：
y a •bt
2. 指数平滑法
两边取对数：
lg y lg a lg b • t
记Y lgy,A lga, B lgb,则有 Y AB•t
可将指数曲线转化为直线， 再求a和b的。其预测模型为：3. 生长曲线法
生长曲线是增长曲线的一大类，是 描绘各种社会、自然现象的数量指标依 时间变化而变化的某种规律性的曲线。 由于生长曲线形状大致呈“S”型，故又 称“S”曲线。在信息分析与预测中利用 生长曲线模型来描述事物发生、发展和 成熟的全过程的方法就是生长曲线法。
时间序列分析实验报告
时间序列分析实验报告一、实验目的时间序列分析是一种用于处理和分析随时间变化的数据的统计方法。
本次实验的主要目的是通过对给定的时间序列数据进行分析，掌握时间序列分析的基本方法和技术，包括数据预处理、模型选择、参数估计和预测，并评估模型的性能和准确性。
二、实验数据本次实验使用了一组某商品的月销售量数据，数据涵盖了过去两年的时间范围，共 24 个观测值。
数据的具体形式为一个时间序列，其中每个观测值表示该商品在相应月份的销售量。
三、实验方法1、数据预处理首先，对数据进行了可视化，绘制了时间序列图，以便直观地观察数据的趋势、季节性和随机性。
然后，对数据进行了平稳性检验。
采用了 ADF（Augmented DickeyFuller）检验来判断数据是否平稳。
如果数据不平稳，则需要进行差分处理，使其达到平稳状态。
2、模型选择根据数据的特点和可视化结果，考虑了几种常见的时间序列模型，如 ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型、SARIMA（Seasonal AutoRegressive Integrated Moving Average）模型和HoltWinters 模型。
通过对不同模型的参数进行估计，并比较它们在训练数据上的拟合效果和预测误差，选择了最适合的模型。
3、参数估计对于选定的模型，使用最大似然估计或最小二乘法等方法来估计模型的参数。
通过对参数的估计值进行分析，判断模型的合理性和稳定性。
4、预测使用估计得到的模型参数，对未来一段时间内的销售量进行预测。
为了评估预测的准确性，采用了均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）等指标来衡量预测值与实际值之间的差异。
四、实验过程1、数据可视化通过绘制时间序列图，发现数据呈现出明显的季节性和上升趋势。
同时，数据的波动范围也较大，存在一定的随机性。
2、平稳性检验对原始数据进行 ADF 检验，结果表明数据是非平稳的。
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种统计学方法，用于分析时间序列数据。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一组观测值，通常用于研究随时间变化的趋势、周期性和季节性等特征。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、方法和应用。
一、基本概念1. 时间序列数据：时间序列数据由时间组成的一组观测值。
例如，每天的股票价格、每月的销售数据等都可以作为时间序列数据进行分析。
2. 趋势：趋势是时间序列数据中长期变化的模式。
可以是递增的趋势（上升趋势）或递减的趋势（下降趋势）。
3. 周期性：周期性是时间序列数据中呈现出来的重复出现的模式。
例如，季节性需求的数据在每年同一季度都呈现相似的特征。
4. 季节性：季节性是时间序列数据中特定季节上的周期性变动。
例如，夏季疫情的确诊人数可能会高于其他季节。
5. 不规则成分：时间序列数据中不规则成分是由于随机因素导致的波动，通常不能归因于趋势、周期性或季节性，需要通过其他模型进行建模。
二、方法1. 描述性分析：描述性分析是对时间序列数据进行可视化和描述统计分析。
通过绘制时间序列图、计算均值、标准差和自相关系数等指标，可以了解数据的整体特征。
2. 平稳性检验：平稳性是时间序列分析的基本假设，即数据的统计特性在时间上不发生显著变化。
平稳性检验可以通过单位根检验、ADF检验等方法来进行。
3. 季节性分解：季节性分解是将时间序列数据分解为趋势、季节性和不规则成分的过程。
常用的季节性分解方法有移动平均法、分段回归法等。
4. 时间序列模型：时间序列模型是通过建立数学模型来描述时间序列数据的变化。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
5. 预测：时间序列分析的一个重要应用是进行预测。
通过拟合时间序列模型并利用历史数据进行预测，可以预测未来一段时间内的趋势和季节性变化。
三、应用时间序列分析在各个领域都有广泛的应用，特别是在经济学、金融学和市场调研等方面。
1. 经济学：时间序列分析可以用于研究经济数据的趋势和周期性变化，如GDP的季度变动、通货膨胀率等。
时间序列分析(统计分析学概念)
统计分析学概念
01 基础知识
03 分类 05 主要用途
目录
02 性质特点 04 具体方法
时间序列分析（Time-Series Analysis）是指将原来的销售分解为四部分来看——趋势、周期、时期和不 稳定因素，然后综合这些因素，提出销售预测。强调的是通过对一个区域进行一定时间段内的连续遥感观测，提 取图像有关特征，并分析其变化过程与发展规模。当然，首先需要根据检测对象的时相变化特点来确定遥感监测 的周期，从而选择合适的遥感数据。
主要用途
时间序列分析常用在国民经济宏观控制、区域综合发展规划、企业经营管理、市场潜量预测、气象预报、水 文预报、地震前兆预报、农作物病虫灾害预报、环境污染控制、生态平衡、天文学和海洋学等方面。主要包括从 以下几个方面入手进行研究分析。
系统描述 根据对系统进行观测得到的时间序列数据，用曲线拟合方法对系统进行客观的描述。 系统分析 当观测值取自两个以上变量时，可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化，从而深入了解 给定时间序列产生的机理。 预测未来 一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。 决策和控制 根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上，即预测到过程要偏离目标时便可进行必 要
特点：简单易行，便于掌握，但准确性差，一般只适用于短期预测。
分类
时间序列依据其特征，有以下几种表现形式，并产生与之相适应的分析方法： 1.长期趋势变化：受某种基本因素的影响，数据依时间变化时表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地增 长或下降。使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、模型拟和法等。 2.季节性周期变化：受季节更替等因素影响，序列依一固定周期规则性的变化，又称商业循环。采用的方法： 季节指数。 3.循环变化：周期不固定的波动变化。 4.随机性变化：由许多不确定因素引起的序列变化。 时间序列分析主要有确定性变化分析和随机性变化分析。其中，确定性变化分析包括趋势变化分析、周期变 化分析、循环变化分析。随机性变化分析：有AR、MA、ARMA模型等。
时间序列分析方法
• 如果样本容量有限;或者样本点之间的联系紧密;去掉某 个样本点会影响模型的估计质量;则要采取特定的技术 将遗失数据补上
准确性
• 准确性有两方面含义：
– 所得到的数据必须准确反映它所描述的经济因素的 状态;即统计数据或调查数据本身是准确的；
– 必须是模型研究中所准确需要的;即满足模型对变量 口径的要求；
– 在生产函数模型中;作为解释变量的资本 劳动等必须是投入到生产过 程中的 对产出量起作用的那部分生产要素;以劳动为例;应该是投入到 生产过程中的 对产出量起作用的那部分劳动者 于是;在收集样本数据 时;就应该收集生产性职工人数;而不能以全体职工人数作为样本数据; 尽管全体职工人数在统计上是很准确的;但其中有相当一部分与生产 过程无关;不是模型所需要的
• 计算方法：不同类型的时间数列有不同的计算方法
总量数列的序时平均数
时期数列——简单算术平均法
• 计算公式：
yy1y2 ynyt
n
n
• 计算结果表示：某段时间内平均每期的水平
– 例： 根据某年各月商品销售收入数据;计算该年的月平均销售收入
时点数列的序时平均数
• 连续时点数列已知每天数据;视为连续时点数列 – 简单算术平均法
4; 5; 6; 7; …… ;n 采样时;得到时间序列：
y1; y2; y3 ; y4 ; y5 ; y6 ; …… ; yn
定义
• 时间数列——又称为动态数列
– 把反映某一现象发展变化的一系列指标数值 按时间先后顺序排列起来所形成的数列
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种统计方法，用于研究随时间变化的数据。
它可以帮助我们揭示数据背后的趋势、周期性和季节性等模式，帮助我们做出有意义的预测和决策。
本文将介绍时间序列分析的基本原理、常用的方法和应用领域等内容。
一、时间序列分析的基本原理时间序列是按时间顺序排列的数据序列。
时间序列分析的基本原理是假设数据是由趋势、周期性、季节性和随机波动组成的。
通过分解时间序列，可以将数据分解为这些组成部分，进而对每个部分进行建模和分析。
趋势是时间序列长期变化的方向。
通过趋势分析，可以判断数据的增长或下降趋势，并预测未来的发展方向。
常用的趋势分析方法有移动平均法、指数平滑法和回归分析法等。
周期性是时间序列在一定时间范围内变化的重复模式。
周期性分析可以帮助我们了解数据的周期性波动，并进行周期性预测。
常用的周期性分析方法有傅里叶级数分析、谱分析和周期性指数平滑法等。
季节性是时间序列在一年内循环出现的固定模式。
季节性分析可以揭示数据中的季节性变化规律，并进行季节性预测。
常用的季节性分析方法有季节性指数平滑法、季节性回归模型和季节性自回归移动平均模型等。
随机波动是时间序列中无法由趋势、周期性和季节性解释的部分。
随机波动的分析可以帮助我们评估模型的准确性和稳定性。
常用的随机波动分析方法有自相关函数和偏自相关函数的分析等。
二、常用的时间序列分析方法1. 移动平均法移动平均法是一种常用的趋势分析方法，通过计算一定时间段内数据的平均值来平滑时间序列。
移动平均法能够过滤数据的随机波动，较好地反映数据的趋势。
2. 指数平滑法指数平滑法是一种适用于短期预测的方法，通过赋予过去观测值不同的权重来预测未来的值。
指数平滑法能够灵活地适应数据的变化，并能够较好地捕捉数据的趋势。
3. 季节性指数平滑法季节性指数平滑法是一种适用于季节性数据的方法，通过对每个季节的数据赋予不同的权重来进行季节性预测。
季节性指数平滑法能够很好地反映季节性数据的变化规律。
时间序列分析
其中,是最后一个已经算出来的值。也就是说,一次指数平滑法得出的预测在任何时候都是一条直线。
刚刚描述的一次指数平滑法适用于没有总体趋势的时间序列。如果用来处理有总体趋势的序列,平滑值将往往滞后于原始数据,除非的值接近1,但这样一来就会造成不够平滑。
最后一个问题是如何选择拌合参数/。我的建议是反复试验。先试试0.2和0.4之间的几个值(非常粗略地),然后看看会得到什么结果。或者也可以为(实际数据和平滑算法的结果之间的)误差定义一个标准,再使用一个数值优化过程来将误差最小化。就我的经验而言,一般没有必要弄得这么麻烦,原因至少有两个：数值优化是一个不能保证收敛的迭代过程,最终你可能还需要花非常多时间将算法设计成收敛的。此外,任何这样的数值优化都受限于你选对误差进行最小化的表达式。问题是使误差最小化的参数值可能并不能满足在解决方案中你想要看到的其他特性(也就是近似值的精确性和结果曲线的平滑程度之间的平衡),那么,到最后你才会发现,手动的计算方法往往更好。不过,如果你要预测很多序列,花些精力构建一个能自动决定最优参数值的系统也是值得的,但要实现这个系统恐怕也并不容易。
设n个测量值的误差为ε1.ε2……εn,则这组测量值的标准误差σ等于:
数理统计中均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值,记为MSE。MSE是衡量“平均误差”的一种较方便的方法, MSE可以评价数据的变化程度, MSE的值越小,说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。与此相对应的,还有均方根误差RMSE、平均绝对百分误差等等。
趋势描述的是时间序列的整体走势,比如总体上升或者总体下降。下图所示的时间序列是总体上升的：
季节性描述的是数据的周期性波动,比如以年或者周为周期,如下图:
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种经过时间排序的统计数据分析方法，它是指对同一时间观测到的数据的分析，包括自然界和社会现象等范畴。
时间序列分析可用于预测未来趋势、分析周期性变化、发现非线性关系、判断相关性等，广泛应用于经济、金融、气象、地震预测、健康等领域。
时间序列分析中常见的数据主要包括三种类型：趋势、季节性和周期性。
趋势是一种长期观测到的数据变化趋势，它可以是线性的、非线性的、上升的或下降的。
例如，一家公司的销售额随着时间的推移而逐渐上升是一种典型的趋势。
季节性是指短期内重复出现的周期性变化，通常是因为季节变化、传统节日等原因引起的。
例如，零售行业的销售额在圣诞节和冬季假期期间通常会增加，而在夏季会下降。
周期性是一种存在于相对较长时间内的、定期重复的变化。
例如，经济周期性波动，股票价格的周期性变动等都是周期性变化的例子。
对于时间序列分析，常见的方法有时域方法和频域方法两种。
时域方法是指直接对观测数据进行建模和预测，常见的模型有移动平均模型（MA）、自回归模型（AR）、自回归移动平均模型（ARMA）和自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
频域方法则是将时间序列转换为频率域，进行分析和模型设计，常用的方法有傅里叶变换、功率谱分析等。
在实际应用中，时间序列分析常常需要处理的问题包括序列平稳性、季节型、异常值等。
序列平稳是指序列的统计性质在时间上的不变性，如果序列不平稳，则需要进行差分处理以达到平稳的要求。
在季节性分析中，需要使用季节性分解的方法来区分季节性和趋势成分。
异常值指的是在序列中出现的短期内极端高或者极端低的值，这些异常值对分析的结果产生影响，因此需要进行处理。
总之，时间序列分析是一种广泛应用的统计分析方法，对于理解和预测时间序列的趋势、季节型和周期性变化具有重要意义。
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1
横截面数据时间序列数据
• 人们对统计数据往往可以根据其特点从两 个方面来切入，以简化分析过程。一个是 研究所谓横截面(cross section)数据，也就 是对大体上同时，或者和时间无关的不同 对象的观测值组成的数据。 • 另一个称为时间序列(time series)，也就是 由对象在不同时间的观测值形成的数据。 • 前面讨论的模型多是和横截面数据有关。 这里将讨论时间序列的分析。我们将不讨 论更加复杂的包含这两方面的数据。
X t 1 X t 1 p X t p at
这看上去象自己对自己回归一样，所以称为自回归模型； 18 它牵涉到过去p个观测值（相关的观测值间隔最多为p个.
ARIMA模型 ：MA模型
• ARMA 模 型 的 另 一 个 特 例 为 移 动 平 均 模 型 或 MA (Moving Average) 模型，一个纯粹的MA (q)模型意味着 变量的一个观测值由目前的和先前的q个随机误差的线 性的组合：
22
ARMA模型的识别和估计
• 上面引进了一些必要的术语和概念。 下面就如何识别模型进行说明。 • 要想拟合ARIMA模型，必须先把它利 用差分变成ARMA(p,q)模型，并确定 是否平稳，然后确定参数p,q。 • 现在利用一个例子来说明如何识别一 个AR(p)模型和参数p。 • 由此MA(q)及ARMA(p,q)模型模型可用 类似的方法来识别。
23
• 根据ARMA(p,q)模型的定义,它的参数p,q和 自相关函数(acf，autocorrelations function) 及偏自相关函数(pacf，partial autocorrelations function)有关。 • 自相关函数描述观测值和前面的观测值的 相关系数； • 而偏自相关函数为在给定中间观测值的条 件下观测值和前面某间隔的观测值的相关 系数。 • 这里当然不打算讨论这两个概念的细节。 引进这两个概念主要是为了能够了解如何 通过研究关于这两个函数的acf和pacf图来 识别模型。
2 e+05
4 e+05
6 e+05
1996
1998
2000 Time
2002
2004
9
例1的时间序列分解出来的纯趋势 成分和纯误差成分两条曲线
6 e+05 Trend and Remainder 0 e+00 2 e+05 4 e+05
1996
1998
2000 Time
2002
2004
10
指数平滑
6
时间序列的组成部分
• 一个时间序列可能有趋势、季节、循环这 三个成分中的某些或全部再加上随机成分。 因此， • 如果要想对一个时间序列本身进行较深入 的研究，把序列的这些成分分解出来、或 者把它们过虑掉则会有很大的帮助。 • 如果要进行预测，则最好把模型中的与这 些成分有关的参数估计出来。 • 就例中的时间序列的分解，通过SPSS软件， 可以很轻而易举地得到该序列的趋势、季 节和误差成分。
Box-Jenkins 方法：ARIMA模型
• 如果要对比较复杂的纯粹时间序列进行细 致的分析,指数平滑往往是无法满足要求的. • 而若想对有独立变量的时间序列进行预测， 指数平滑更是无能为力。 • 于是需要更加强有力的模型。这就是下面 要介绍的Box-Jenkins ARIMA模型。 • 数学上,指数平滑仅仅是ARIMA模型的特例.
7
去掉季节成分，只有趋势和误差 成分的例1的时间序列。
8 e+05 0 e+00 4 e+05
Time Series Without Seasonal
1996
1998
2000 Time
2002
2004
8
例1的时间序列分解出来的纯趋势 成分和纯季节成分两条曲线
Trend and Seasonal
0 e+00
13
14
例1时间序列数据的指数平滑和对 未来的预测
1000000 0 200000 600000 Tax
1996
1998
2000 Time
2002
2004
2006
15
x=scan("d:/booktj1/data/tax.txt") tax=ts(x, frequency = 12, start = c(1995, 1)) ts.plot(tax,ylab="Tax") #plot(x1,ylab="Sales") a=stl(tax, "period") #分解 a$time.series #分解结果(三列) ts.plot(a$time.series[,1:3]) b=HoltWinters(tax,beta=0) #Holt-Winters滤波指数平滑 predict(b,n.ahead=12) #对未来12个月预测 pacf(tax); acf(tax) w=arima(tax, c(0, 1, 1),seasonal = list(order=c(1,2 ,1), period=12)) predict(w, n.ahead = 12) w$residuals#残差 acf(w$resi) pacf(w$resi) w$coef#估计的模型系数 16 w$aic #aic值
或者，等价地，
Yt (1 ) X t k
k k 0
12
这里的系数为几何级数。因此称之为“几何 平滑”比使人不解的“指数平滑”似乎更有
指数平滑
• 自然，这种在简单情况下导出的公式（如上面的 公式）无法应对具有各种成分的复杂情况。 • 后面将给出各种实用的指数平滑模型的公式。 • 根据数据，可以得到这些模型参数的估计以及对 未来的预测。在和我们例子有关的指数平滑模型 中，需要估计12个季节指标和三个参数（包含前 面公式权重中的，和趋势有关的g，以及和季节 指标有关的d）。 • 在简单的选项之后，SPSS通过指数平滑产生了对 2005年6月后一年的预测。下图为原始的时间序 列和预测的时间序列(光滑后的)。下面为误差。
例1 (数据：Tax.txt，Tax.sav)
某地从1995年1月到2005年7月的税收（单位：万元）。该数据有 按照时间顺序的按月记录，共127个观测值。图1就是由该数据得 到的一个时间序列图。
2 e+05
4 e+05
6 e+05
Tax
8 e+05
1 e+06
1996
1998
2000 Time
2002
2
时间序列和回归
• 时间序列分析也是一种回归。 • 回归分析的目的是建立因变量和自变量之间关系 的模型；并且可以用自变量来对因变量进行预测。 通常线性回归分析因变量的观测值假定是互相独 立并且有同样分布。 • 而时间序列的最大特点是观测值并不独立。时间 序列的一个目的是用变量过去的观测值来预测同 一变量的未来值。也就是说，时间序列的因变量 为变量未来的可能值，而用来预测的自变量中就 包含该变量的一系列历史观测值。 • 当然时间序列的自变量也可能包含随着时间度量 3 的独立变量。
X t at q1at 1 qq at q
由于右边系数的和不为1（q 甚至不一定是正数），因此 叫做“移动平均”不如叫做“移动线性组合”更确切；虽 然行家已经习惯于叫“平均”了，但初学者还是因此可能 和初等平滑方法中的什么“三点平均”之类的术语混淆。
19
ARIMA模型 ：ARMA模型
ARIMA模型：差分
• 差分是什么意思呢？差分可以是每一个观 测值减去其前面的一个观测值，即Xt-Xt-1。 这样，如果时间序列有一个斜率不变的趋 势，经过这样的差分之后，该趋势就会被 消除了。 • 当然差分也可以是每一个观测值减去其前 面任意间隔的一个观测值；比如存在周期 固定为s的季节成分， • 那么相隔s的差分 为Xt-Xt-s就可以把这种以s 为周期的季节成分消除。 • 对于复杂情况，可能要进行多次差分，才 能够使得变换后的时间序列平稳。
5
时间序列的组成部分
• 从该例可以看出，该时间序列可以有三部 分组成：趋势(trend)、季节(seasonal)成分 和无法用趋势和季节模式解释的随机干扰 (disturbance）。 • 例中数据的税收就就可以用这三个成分叠 加而成的模型来描述。 • 一般的时间序列还可能有循环或波动 (Cyclic, or fluctuations)成分；循环模式和 有规律的季节模式不同，周期长短不一定 固定。比如经济危机周期，金融危机周期 等等。
20
ARIMA模型：平稳性和可逆性
• 但是要想ARMA(p,q)模型有意义则要求时间序列满足平 稳性(stationarity)和可逆性(invertibility)的条件， • 这意味着序列均值不随着时间增加或减少，序列的方差 不随时间变化，另外序列本身相关的模式不改变等。 • 一个实际的时间序列是否满足这些条件是无法在数学上 验证的， • 这没有关系，但可以从下面要介绍的时间序列的自相关 函数和偏相关函数图中可以识别出来。 • 一般人们所关注的的有趋势和季节/循环成分的时间序 列都不是平稳的。这时就需要对时间序列进行差分 (difference)来消除这些使序列不平稳的成分，而使其变 成平稳的时间序列，并估计ARMA模型，估计之后再转 变该模型，使之适应于差分之前的序列（这个过程和差 分相反，所以称为整合的(integrated)ARMA模型）， 21 得到的模型于是称为ARIMA模型。
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ARMA模型的识别和估计
例：数据AR2.sav
为了直观地理解上面的概念，下面利用一个数据例子来描述。
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指数平滑
• 以简单的没有趋势和没有季节成分的纯粹 时间序列为例，指数平滑在数学上这实际 上是一个几何级数。这时，如果用Yt 表示 在t时间的平滑后的数据（或预测值），而 用X1, X2, …, Xt表示原始的时间序列。那么 指数平滑模型为