剖析科氏加速度

�� � vr
�、�两个加速度大小相等，方向 相同。 所以科式加速度（横向方向上的加速度）为：
�� � �� �� � aθ = 2ω × vr
通过以上分析我们可以得知，科式加速度是由两部分组 分，即径向速度方向变化和横向速度大小变化。初学者往往 只能分析其一，而不能综合考虑，所以不知道系数“2”是怎 么回事。 其实方法一和方法三是统一的，只不过方法一侧重于数 学上的逻辑推理，而方法三侧重物理上的发散思维分析。
= 2ω vr
（ aθ 即为科式加速度）
法三：分析法 若能求出质点在径向速度和角速度都保持不变的情况下 运动的横向加速度，那么求出的这个加速度即为科式加速 度。
要想求出质点横向方向上的加速度，就先得通过分析知 道在这个方向上速度的变化量，在用速度变化量对时间求微 商，求出来的即为科式加速度。 质点的速度可以分解为径向速度和横向速度，下面将分 别分析这两个速度在横向方向上的变化量。（此时我们很自 然地知道，对横向速度分析大小变化，而对径向速度分析方 向变化。） 对横向速度（大小）进行分析
�� � �� �� � 科式加速度 ： aθ = 2ω × vr ω
其中
法一：极坐标
ω 为角速度， vr 为径向速度。
� j
ω
� i
O
� � � d ρ i dρ � � dr � di d ρ � v= = = i+ρ = i + ρω j dt dt dt dt dt
� � r = ρi
( )
� � � dv d 2 ρ � d ρ � d ρω j a= = 2 i+ ω j+ dt dt dt dt � 2 � � � � d ρ dρ dρ dω dj = 2 i+ ωj+ ωj+ρ j + ρω dt dt dt dt dt � � d 2ρ � d ρ � d ρ � = 2 i+ ωj+ ω j + ρβ j − ρω 2 i dt dt dt � � d 2ρ � d ρ � 2 = 2 i+2 ω j + ρβ j − ρω i dt dt
剖析科式加速度
顾加银 刘骏马 杨明亮 章建 高仁鹏 袁刘 庞婷 徐静思
（物理科学与技术学院 扬州大学） （2009 年 5 月 20 日撰稿）
摘要：将运动的质点用极坐标表示，在径向速度和角速度都保持不 变的情况下质点在横向上具有加速度叫做科式加速度。 关键词：速度 加速度 证明 变化 速度的变化产生加速度，在所有类型的加速度中，科式 加速度当属比较难理解的一种，正确认识和理解科式加速度 对学好物理尤其是理论力学有着极大地帮助，同时也可帮助 读者更深层次的认识一些自然想象。下面笔者就以三种证明 的方法不断深入地剖析科式加速度并列举一种相关的自然现 象以使读者对此建立感性认识。

总结：通过以上三种证明方法和地表运动物体转向的
这一自然现象，我们对科式加速度有了个理性上和感性上的 认识，这极大的帮助了我们学好物理。 谨以此文献给我们的张锡娟老师和所有热爱物理的人。 参考资料：《普通物理学》（力学）梁绍荣主编 高等教育 出版社 《物理学大题典》（力学） 强元棨、程稼夫主编 作者： 科学出版社 顾加银 男 本科生 刘骏马 男 本科生 物理 08 班 物理 08 班
综合掌握上述三种证明方法能够帮助读者跟深入地理解 科式加速度。 在地球上，相对于地球运动的物体会受到另外一种惯性 力的作用。这种惯性力，以首先研究它的法国数学家科里奥 利的名字命名，叫做科里奥利力 它是一种惯性力，它是取不同参照系产生的一种差异， 我们拿自己生活的地球为参照系就有了科里奥利力。 宇宙中你到任何一个星球上，只要它自传，就会存在科 里奥利力。 当空气环绕着旋转的地球表面远距离移动时，它最初的 向东的动量在地表开始改变。我们知道，地球是由西向东旋 转的，赤道地区旋转的线速度最大，随着纬度越高，线速度 越来越小，到了极点减为零。设想空气从低纬度地区移向北 极：在最初，空气是具有与源地相同的向东速度的；当空气 接近极点时，在那儿的地球转动为零，而这股空气却继续保 持着它原来的向东的动量（假设没有因为摩擦而耗损的 话），于是它会相对于目的地的地表转向东面。这样，即使 空气以相当直的路线越过纬线向极地方向前进，相对于地 球，它看起来会是同时朝东转向越过经线。 一个名叫古斯塔·加斯佩德·科里奥利的法国人在 1835 年最先用数学方法描述了这种效应，所以科学界用他的姓氏 来命名此种力。我们通常也称它为地转偏向力。在北半球， 科里奥利力使风向右偏离其原始的路线；在南半球，这种力 使风向左偏离。风速越大，产生的偏离越大。于是，在北半 球，当空气向低压中心辐合时会向右弯曲，形成了一个逆时 针方向的旋转气流。从高压中心辐散出来的空气，则因为向 右弯曲而形成了顺时针方向的旋风。我们把逆时针旋转的叫 做气旋，把顺时针旋转的叫做反气旋。在南半球，上述的情 形正好相反。
(
)
上式中的有关运算：
� � di =ω j dt
� � dj = −ω i dt
� i
ω dt
� di
� i
� dj
� j
� j
ωdt
� � j i 如图所示 为沿着极径方向的单位矢量， 为垂直于极径
方向并指向转动方向的单位矢量，即分别为径向单位矢量和 横向单位矢量，这样的两个矢量建立的坐标系也称自然坐标 系。
� d 2ρ � � � dρ � 2 a = 2 i+2 ω j + ρβ j − ρω i dt dt
仔细分析上式可知：
� d 2ρ � i ρβ j 是角加速度产生的 dt 是极径伸缩产生的加速度，
加速度， 科式加速度，在质点运动过程中正确分析并掌握这些加速度 对学理论力学有莫大的帮助。
� − ρω j
C
O
� � ��� � rt = OA
dθ
如图所示，一质点在横向速度和角速度都保持不变的情况下 从 A 点运动到 C 点，极径转过的角度为 dθ 。
A
B
���� ���� rt + dt = OC
� ���� ��� � ���� ��� � ��� � 位移 d r = OC − OA = AC = AB + BC � � ��� � �� � � 2 �� � 1 �� 径向位移 d rr = AB = vr dt + an d t （ an 为向心加速度）
科里奥利效应使风在北半球向右转，在南半球向左转。 此效应在极地处最明显，在赤道处则消失。如果没有地球的 旋转，风将会从极地高压吹向赤道低压地区。 科里奥利效应在极地最显著，向赤道方向逐渐减弱直到 消失在赤道处。这就是为什么台风只能仅仅使云形成在 5 纬 度以上的地区。 科里奥利力不仅仅对风产生影响，任何一个环绕地表的 远距离运动都会受到它的捉弄。在一战期间，德军用他们引 以自豪的射程为 113 千米的大炮轰击巴黎时，懊恼地发现炮 弹总是向右偏离目标。直到那时为止，他们从没担心过科里 奥利力的影响，因为他们从没有这样远距离的开火。 当然，对于近距离的运动，科里奥利力影响极小。从场 地一边把篮球抛到另一边的运动员，考虑科里奥利力的影响 而需要调整自己投球的偏移量为 1.3 厘米。 在大气层的高处，科里奥利效应是一个重要的因素。在 大约 5500 米或更高的地方，空气没有与大山、树木的摩擦， 它能够不断地增强力量并达到惊人的速度。当气压差不断地 把这些风推向低压地区时，空气就会受科里奥利力的影响而 转向，最终会沿着等压线吹动。
而 所以
1 1 drθ = vθ dt + aθ d 2t = ρOAω dt + aθ d 2t 2 2
1 1 1 ρOAω dt + vrω d 2t + anω d 3t = vθ dt + aθ d 2t = ρOAω dt + aθ d 2t 2 2 2
略去三阶小量得： aθ
�� � �� �� � 化成矢量式： aθ = 2ω × vr
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杨明亮 男 本科生 章建 男 本科生 高仁鹏 男 本科生 袁刘 男 本科生 庞婷 女 本科生 徐静思 女 本科生 70825490@
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vθ (t ) = ρω
vθ (t + dt ) = ( ρ + vr dt ) ω
dvθ = vrω dt
.................. � 对径向速度（方向）进行分析
a = vrω
�� � vr
ω dt
�� � d vr
dvr = vrω dt a = vrω
...................... �
2
dρ � 2 ωj 是向心加速度，而 dt 就是所谓的
d 2ρ =β =0 若径向速度和加速度都保持不变，这样 dt 2 ，所以 � �� �� � � � dρ � dρ � 2 a=2 ω j = 2ω × vr a=2 ω j − ρω i ，在横向上 dt dt
这个就是科式加速度。 法二：三角形法
2 �� ��� � �� � � 2 1 �� 横向位移 d rθ = BC = vθ dt + aθ d t 2
因为 所以 又 所以
ρOC − ρOA = drr = ρ AB
ρOB = ρOC
dθ
为一小量
drθ = ρ BC = ρOB dθ = ( ρOA + ρ AB ) ω dt
1 1 ⎛ ⎞ = ⎜ ρOA + vr dt + an d 2t ⎟ ω dt = ρOAω dt + vrω d 2t + anω d 3t 2 2 ⎝ ⎠