求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题

掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有

(1) 利用极限的四则运算法则；

(2) 利用两个重要极限；

(3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；

(4) 利用连续函数的定义。

例 求下列极限：

（1）x

x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1

0)21(lim -→ （4）2

22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1

1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x

x x 33sin 9lim 0-+→ =)

33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3

3sin 91lim 3sin lim 00++⨯→→x x x x x =2

1613=⨯ （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1

)1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim

11+⋅--=→→x x x x x 2

11111=+⨯= （3）利用第二重要极限计算，即

x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。

（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x

x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x

x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。

（5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11

01e 00-=-+⋅