第3章_离散信源题与答案
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3.1 设有一离散无记忆信源，其概率空间为
⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X 该信源发出的信息序列为(202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210)。
求：
(1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解： (1)
此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此消息发出的概率是：
6
2514814183⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=p
此消息的信息量是：bit p I 811
.87log =-=
(2)
此消息中平均每符号携带的信息量是：bit n I 951.145/811.87/==
3.2 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知信源的概率空间为
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/34/110
)(X P X
(1) 求信息符号的平均熵；
(2) 由100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100 - m ）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。
解： (1)
bit x p x p X H i
i i 811.043log 4341log 41
)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=∑
(2)
bit m x p x I x p m
i i m m
m i 585.15.4143
log
)(log )(4
34341)(100
100100
100100+=-=-==⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=---
(3)
bit X H X H 1.81811.0100)(100)(100=⨯==
3.5 某信源的消息符号集的概率分布和二进制代码如题表3.2所列。
题表 3.2
(1) (2) 求每个消息符号所需要的平均二进制码的个数或平均代码长度。进而用这一结果求码序列中的一个二进制码的熵；
(3) 当消息是由符号序列组成时，各符号之间若相互独立，求其对应的二进制码序列中出现0和1的无条件概率0p 和1p ，求相邻码间的条件概率1/0p 、0/1p 、1/1p 、0/0p 。
解： (1)
bit x p x p X H i
i i 75.181log 8181log 8141log 4121log 21
)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-=∑
(2)
bit
X H L X H N X H l x p l E L N i
i i i 1)(1
)(1)(75.1381
381241121)()(====⨯+⨯+⨯+⨯=
==∑
(3)
设消息序列长为N ，则0u 、1u 、2u 、3u 的个数分别为8/ ,8/ ,4/ ,2/N N N N 个。
则0的个数为8708181412N N N N N =⨯+⨯+⨯+⨯ 而1的个数为8
738281402N
N N N N =⨯+⨯+⨯+⨯
因而5.010==p p
212
141/ 21212121/21212121/ 21
2141
/1111/11010
/10000/01101
/0====⨯===⨯
=
====p p p p p p p p p p p p
3.7 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。该信源在任意时间而且不论以前发生过什么消息符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的；
(2) 试计算H(X 2), H(X 3/X 1X 2)及H ∞；
(3) 试计算H(X 4)并写出X 4信源中可能有的所有符号。
解： (1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……” (2)
bit
X H X X X X H H bit x p x p X H X X X H bit
X H X H N N N N i
i i 971.0)().../(lim 971.0)6.0log 6.04.0log 4.0()(log )()()/( 942.1)6.0log 6.04.0log 4.0(2)(2)(12132132====+-=-===+⨯-==-∞
>-∞∑
(3)
1111
111011011100101110101001100001110110010101000011001000010000的所有符号：
884.3)6.0log 6.04.0log 4.0(4)(4)(44X bit X H X H =+⨯-==
3.11 有一马尔可夫信源，已知转移概率为3/2)/(11=S S p ，3/1)/(12=S S p ，1)/(21=S S p ，
0)/(22=S S p 。试画出状态转移图，并求出信源熵。
解：
bit
S S p S S p S p H S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p S S p S p S S p S p S p S S p S p S S p S p S p i
j
i j i j i 689.0 31log 314332log 3
2
43 )
/(log )/()(4
/1)(4
/3)(1
)()()(31)()(31)()()(32)()
/()()/()()()/()()/()()(212112
1221112122222121111=⎪
⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-=-=⎩⎨
⎧==⎪⎩⎪⎨
⎧
=+=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+=⎩⎨
⎧+=+=∑∑∞
2/3