保守力与非保守力
大学物理-保守力与非保守力
4/12
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 2 保守力作功的数学表达式
∫
(The mathematical expression of work by the conservative force)
ACB
F ⋅ dr = ∫
F ⋅ dr =
ADB
F ⋅ dr
∫
BDA
m 从 A 到 B 的过程中 作功： 的过程中F作功 作功：
A mθ m'm W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr dr r A r rA e r dr er ⋅ dr = er ⋅ dr cos θ = dr r + dr
B
rB m'm B W = ∫ − G 2 dr rA r 1 1 m'm W = Gm′m( − ) W = −G dr = 0 2 rB rA l r
Elastic potential energy
m' m Ep = −G r
1 E p = kx 2 2
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第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 物体在地球表面附近距地面高为y时 具有的引力 物体在地球表面附近距地面高为 时,具有的引力 势能称为重力势能 重力势能(Gravity potenial) Ep = −mgy 重力势能 保守力的功(Work of conservative force) 保守力的功
第三章 动量守恒和能量守恒
z = 0, Ep = 0
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物理学
第五版
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2_7保守力与非保守力
zB
zB
mg
BLeabharlann = ( mgz B mgz A )
o
= mgz A mgz B = mg h
x
W =
y
∫ mg d z = 0
2 – 7 保守力与非保守力 势能
3 ） 弹性力作功
F
o
W = ∫ dw = ∫ kxdx
xA xB
x
xA xB
F = kx i dW = F dx = kxi dxi
1 2 1 2 W = ( kx B kx A ) 2 2
保守力的功
W = ( E p 2 E p1 ) = E P
2 – 7 保守力与非保守力 势能
小结
势能是状态函数 势能是状态函数 状态
Ep = Ep ( x, y , z )
势能具有相对性 势能大小与势能零点的选取有关 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 . 相对 大小与势能零点的选取 势能是属于系统的 势能是属于系统的 . 系统 势能计算 令
2 – 7 保守力与非保守力 势能
万有引力、重力、 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1） 万有引力作功
m 为参考系， 以 m' 为参考系， 的位置矢量为 r .
m' 对 m 的万有引力为
m' m F = G 3 r r
m
m'
O
A
dr r (t)
r (t + dt)
m 移动位移元 d r 时引力作功为
2 – 7 保守力与非保守力 势能
势能 重力功 重力功
与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能 重力势能
W = (mgzB mgzA )
第2章-3能量守恒定律j(2024版)
xb
x2
由胡克定律： F kxi
W
F dx
x2
kxi
dxi
x2 kxdx
x1
x1
W
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，
而与弹性变形的过程无关。
保守力：
做功与路径无关，只与始末位置有关的力。
非保守力：
做功不仅与始末位置有关，而且与路径 有关力。
保守力的特点：
dx vdt 3 t 2dt 2
W
Fdx
2
6t
3
t 2dt
9
t
4
2
36 J
0
2
40
2-4-2 动能和动能定理
一、质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有对外做功的本领。
Ek
1 2
mv2
单位：J
设质点m在力的作用下 沿曲线从a点移动到b点
元功：
dW
F
dr
F
cos
ds
dr
b
θ
F
a
F cos
Ep
1 2
kx2
引力势能：
（弹簧自由端(坐标原点）为 势能零点）
Ep
G
m0m r
（无限远处为势能零点）
势能是瞬时量，是位置的函数。
保守力功与势能的积分关系：
W Ep
保守力功与势能的微分关系： dW dEp
因为： dW F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp
Ep x
dx
Ep y
质点i的动能定理：
Fi
Wi外i
n
n
n
保守力与非保守力
非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类.在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力，所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少,并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下,物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多.摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定,它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如,物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度,方向竖直向下,而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化.例如,空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加.③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之,则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定,能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件.系统的各物体在只受保守力作用的情况下其机械能守恒。
耗散力不象保守力，对于两个位置之间，力对物体做功没有确定的值，从而相应的两个位置之间没有一定的能量差。
保守力与非保守力
保守力与非保守力Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非保守力：凡作功与路径有关的力称为非保守力。
常见的摩擦力,物体间相互作非弹性碰撞时的冲击力都属于非保守力。
非保守力具有沿任意闭合路径作功不等于零的特点。
非保守力包括耗散力和非耗散力两类。
在力学范围内接触的非保守力大多数是耗散力,所以长期以来耗散力就成了非保守力的同义词。
严格说来两者是有区别的，一个系统的总机械能减少，并转变为系统的热能或内能。
通常人们把这个过程叫耗散过程，而把导致耗散的力成为耗散力。
摩擦力是耗散力，但非保守力（如爆炸力）不一定都是耗散力。
⑴定义：做功多少只由始末位置所决定，而跟路径无关的力叫做保守力。
做功多少和物体运动路径有关的力叫耗散力。
⑵说明①保守力对物体做功的多少取决于物体始末位置，如果在该力作用下，物体的运动沿闭合路线绕行一周回到了起始位置，则所做功为零。
重力、弹力等属于保守力。
耗散力做功就不能由物体的始末位置决定，而和物体的运动路径有关，在其他条件相同的情况下，物体运动路径越长，所做的功也越多。
摩擦力、粘滞力等属于耗散力②保守力和耗散力所做功的情况不同，是和这两种力的本身的特点有关。
物体系确定后保守力和物体的运动状况无关，其大小由相互作用物体的相对位置所确定，它的方向总在两个相互作用物体的连线上。
例如，物体确定后，重力的大小决定于它离开地面的高度，方向竖直向下，而和物体以什么样的速度运动无关，和物体运动速度的大小和方向如何变化无关。
耗散力的大小和方向都随着物体运动速度的大小、方向的改变而发生变化。
例如，空气对运动物体的阻力，其方向随着物体运动的方向改变而变化，它的大小随物体运动速度增大而增加。
③保守力和物体系的势能有着极为密切的联系。
保守力做正功，则物体系的势能减少；反之，则物体系的势能增加。
而且相对两个位置之间，功量一定，能量差一定。
所以物体间存在保守力是物体系具有势能的条件。
2-2-动能定理-保守力与非保守力-能量守恒定律(2024版)
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
习题2-3 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌 面上，物体 A 和 C, B 和 D 之间摩擦因数均不为 零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B， 使 弹簧压缩，后拆除外力， 则 A 和 B 弹开过程中， 对 A、B、C、D 及弹簧组成的系统
解： W1 F1d cos300 176 .66 J W2 F2d cos 400 130 .22 J
W W1 W2 306 .88 J
根据动能定理有：
W 1 mv2 0 2
F2
F1
300
400
代入得： v 1.65m s1
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
机械能 E Ek Ep W ex Wnicn E2 E1
质点系的功能原理: 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
2 机械能守恒定律
功能原理 W ex Wnicn (Ek2 Ep2 ) (Ek1 Ep1)
(C)只有(2)是正确的 (D)只有(3)是正确的
分析（：1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少).
（3）错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.)
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2 – 2 动能定理 能量守恒定律
物理学简明教程
dx vxdt 1.5t 2dt
W
Fdx
2 9t3dt 0
36.0
3-5 保守力与非保守力
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
v v v v A F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr ∫ACB ADB v v v v v v ∫l F ⋅ dr = ∫ACB F ⋅ dr + ∫BDA F ⋅ dr v v W = ∫ F ⋅ dr = 0
l
C
第三章 动量守恒和能量守恒 1
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
v m从A到B的过程中 F 作功： 从 到 的过程中 作功：
v v B m'm v v W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr A A r v v r v v v v rA er ⋅ dr = er ⋅ dr cos θ = dr
则
v v v v F = Fx i + Fy j + Fz k ∂E P v ∂EP v ∂E P v = − ∂x i + ∂y j + ∂z k
第三章 动量守恒和能量守恒 11
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能 重力势能
B
质点沿任意闭合路径运动一周时， 质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力 闭合路径运动一周时 对它所作的功为零． 对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关． 非保守力：力所作的功与路径有关． 例如摩擦 摩擦力 （例如摩擦力）
第三章 动量守恒和能量守恒 6
物理学
第五版
• 势能
3-5 保守力与非保守力 势能 -
势能 重力功 重力功
W = −(mgzB − mgzA )
引力功 引力功 m' m m' m W = −(−G ) − (−G ) rB rA 弹力功 弹力功 引力势能 引力势能
保守力与非保守力课件
03
常见保守力
常见的保守力包括重力、弹性力、万有引力等。
保守力做功与路径无关
做功定义
保守力做功是指力在空间上的累 积效应，等于力的大小与位移的
乘积。
路径无关性
由于保守力的做功只与始末位置 有关，而与路径无关，因此物体 在保守力作用下沿任意路径从同 一位置移动到同一位置所做的功
都是相同的。
计算方法
计算保守力做功时，可以通过始 末位置的势能差值来计算，即做 功等于末位置势能减去初位置势
电场力是非保守力的一种，它是由电 场对电荷的作用所产生的。电场力在 做功时与物体经过的路径和所处的位 置有关。
磁场力
磁场力是非保守力的一种，它是由磁 场对带电粒子或电流的作用所产生的。 磁场力在做功时与物体经过的路径和 所处的位置有关。
04 保守力与非保守力的应用
保守力在物理学的应用
机械能守恒
保守力在机械能守恒中起着关键作用， 重力、弹力等保守力在只有保守力做 功的情况下，系统的机械能保持不变。
保守力与非保守力课 件
目录
CONTENTS
• 保守力与非保守力的定义 • 保守力的特性
01 保守力与非保守力的定义
保守力的定 义
01
02
03
保守力
在物理系统中，保守力是 指做功与路径无关，只与 初末位置有关的力。
常见保守力
重力、弹性力、万有引力 等。
特点
保守力做功不会改变系统 内能，只改变系统的动。
非保守力的定 义
非保守力
与保守力相反，非保守力 做功与路径有关，且做功 会导致系统内能变化。
常见非保守力
摩擦力、空气阻力、电磁 力等。
特点
非保守力做功会改变系统 内能，同时也会改变系统 的动能。
第 03章 2 次课 -- 动能定理 保守力和非保守力 功能原理
上海师范大学
3 /17
§3. 4 三、质点的动能定理
动能定理
外力F作用在质点上, 对质点做功, 质点的速率发生变化, 因此能量发生变化.
外力所做的功W与质点的能量有什么定量 关系吗?
dv 由 W F dr F cos dr Ft dr Ft ds 和 Ft m
A
dW F dr
W F r
A
W
B
B F dr F cosdr
r
是在力的作用下产生的位移.
W Fi dr Fi dr Wi
合力的功 = 各分力的功的代数和
i
W W1 W2 W3 Wi
5. .直角坐标系中的功
F Fx i Fy j Fz k； dr dxi dyj dzk
W Fx dx Fy dy Fz dz
6. 功的单位
Wx Wy Wz
1 /17
1J 1N m
上海师范大学
§3. 4 二、功率
12 /17
§3.5 四、势能曲线
保守力与非保守力 势 能
势能是空间位置的函数, 将这种函数用图形表示就称为势能曲线.
Ep mgz
1 E p kx 2 2
m'm Ep G r
Ep
Ep
O
Ep
x
O
重力势能曲线
z
x
O
弹性势能曲线
引力势能曲线
z 0, Ep 0
x 0, Ep 0
v v0 e
t 0
x
dt
W b (0 e
3-5保守力与非保守力_势能
陨石在“天外”时 rA
时，E pA＝0
落到地面时， rB=6.4×106 m
WAB
GmM 6.67 1011 5 103 6 1024 11 3.110 ( J ) 6 rB 6.4 10 19
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
5）保守力的功等于势能增量的负值
重力 弹力
WGAB (mgy2 mgy1 ) ( E p 2 E p1 )
WeAB
可统一写成
1 2 1 2 ( kx2 kx1 ) ( E p 2 E p1 ) 2 2 W保 E p ( E p 2 E p1 )
L
f 保 dr 0
保守力的环流为零（保守力沿任意闭合路径 的线积分叫做保守力的“环流”）。 描述矢量场基本性质的方程形式。
8
3-5 保守力与非保守力 势能
证明第二种表述： f 保 dr 0
L
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
F保
1
L
f 保 dr
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
讨论
1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系） (对应一对内力作功之和) 3）势能与参考系无关(与相对位置有关) 4）质点系的内力可分为 保守内力 (作功与路径无关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
10
3-5 保守力与非保守力 势能
3-5 保守力与非保守力 势能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
一. 重力作功与重力势能
dr dxi dyj
WG
B A
G mgj
y
y1 y2
保守力-势能
2 l
2 l
2
得 v g l( l2 a 2 )( l a ) 21 2
小结 •功与功率
•势能
重力势能 Ep mgy
dAFdr
Mm
P＝ dA dt
•质点的动能定理
引力势能 Ep G r
弹性势能
Ep
1 2
kx 2
A12mv22 12mv12
•质点系的动能定理
n
n
n
Ai Eki Eki0
•万有引力、重力、弹性力
i1
i1
i1
作功的特点
•质点系的功能原理
A 外 力 ＋ A 非 保 守 内 力 ＝ E－ E0
•机械能守恒定律
n
n
n
n
E ki Ep＝ i E k0i Ep0i
i0
i0
i0
i0
1. 能量、动量、角动量是更为基本的物理量， 它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。 （既适用于宏观世界，又适用于微观领域； 既适用于实物，又适用于场。）
A F d r 0
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 与保守力相反的是非保守力
典型的非保守力： 摩擦力
1、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
A Ga bm g d r
b ( m ) k ( d g i x d j d yk )
zb (mg)dz a za
Z
mg azmg b z
B C
X
解：取绳索、光滑面、地球为系统，机械能守恒。
取AB面为重力势能零点，系统初始状态的机械能为
E1Ll mg(2lsin)
系统末状态的机械能为 E21 2m2vmg(L 2sin)
保守力和非保守力关系的简答题
保守力和非保守力关系的简答题保守力和非保守力是物体受到的两类力，它们在物理过程中起着重要的作用。
保守力是指在物体的位移过程中所做的功与路径无关，只与起点和终点的位置有关的力。
具体而言，在一个闭合环路中，如果一个力沿着任意一条路径绕回起点所做的功为零，则这个力是保守力。
反之，非保守力则是指在物体的位移过程中，所做功与路径有关的力。
保守力与非保守力的主要区别在于所做的功是否与路径有关。
对于保守力，物体在环路中的位移过程中，不论物体沿着怎样的路径运动，当回到起点时所做的功都是相同的。
换句话说，保守力是沿闭合环路的势能之梯度施加的，其中势能是由于位置而产生的。
例如，重力和弹簧力是典型的保守力。
在这些情况下，物体在环路中的总机械能始终保持不变。
非保守力与保守力不同，所做的功与路径有关。
不同的路径导致了所做的功的差异。
典型的非保守力包括摩擦力、阻力和涡旋力等。
摩擦力在物体相对于另一个表面移动时产生热量，所以它不是沿着闭合环路所做的，因此不是保守力。
涡旋力是一种旋转的非保守力，例如涡旋状流体中的湿气漩涡。
阻力是运动物体所受到的空气或流体的阻碍力，它同样也是非保守力。
保守力和非保守力之间存在一定的关系。
首先，任何一个非保守力可以被视为多个保守力的总和。
这是因为非保守力是路径相关的，可以通过微分位移的积分来计算相对于起点的总工作量。
而在每个微分位移中，可以将非保守力分解为垂直于位移方向的保守力和与位移方向平行的非保守力的两个分量。
这样，通过对各个微分位移的作用力进行积分，可以得到总的作用力，即非保守力。
另外，保守力和非保守力都可以通过势能来描述。
保守力是由势能施加的力，而非保守力没有明确定义的势能。
对于保守力，势能可以通过对力的势能函数进行积分得到。
当力是非保守力时，由于无法定义势能，因此无法使用势能来描述非保守力。
总的来说，保守力和非保守力是两种不同类型的力，它们在物体的位移过程中起着不同的作用。
保守力与物体的机械能有关，而非保守力则会改变物体的机械能。
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
W
Fc dr E p 0 E p
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
W Fc dr E p 0 E p ( x0 , y0 , z0 ) ( x, y,z ) Ep Ep0 Fc dr
( x, y ,z )
( x0 , y0 , z0 )
动能状态函数22动能定理保守力与非保守力能量守恒定律为参考系的位置矢量为方向单位矢量22动能定理保守力与非保守力能量守恒定律22动能定理保守力与非保守力能量守恒定律只与始末位置有关与路径无关22动能定理保守力与非保守力能量守恒定律mgymgy22动能定理保守力与非保守力能量守恒定律kxkx22动能定理保守力与非保守力能量守恒定律保守力
BDA
A
D
A
F dr
ACB
F dr
BDA
F dr
C
F dr 0
l
B
C
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
D
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律 三 势能 势能 重力功 引力功 势能曲线 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
Ep mgy
Ep
1 2 Ep k x 2
m' m E p G r
Ep
O
Ep
r
O
y
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
y 0, Ep 0
x 0, Ep 0
r , Ep 0
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律 一 质点系的动能定理 对第 i 个质点，有
保守力与非保守力
保守⼒与⾮保守⼒⼀、万有引⼒、重⼒、弹性⼒作功的特点1 万有引⼒作功如上图所⽰，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任⼀路径由点A 运动到点B ，万有引⼒作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引⼒作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，⽽与所经过的路径⽆关。
这是万有引⼒作功的⼀个重要特点。
扩充内容：计算万有引⼒作的功设在某⼀时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位⽮为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引⼒为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位⽮r 的单位⽮量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引⼒作的功为r e r F d d d r 2?'-=?=r m m G W从图可以看出r d cos d cos d d r r ===?θθr r e r e于是，上式为r r m m G W d d 2'-=所以，质点m 从点A 沿任⼀路径到达点B 的过程中，万有引⼒作的功为'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d即2 重⼒作功如右图所⽰，⼀个质量为m 的质点，在重⼒作⽤下从点A 沿ACB 路径⾄点B ，点A 和点B 距地⾯的⾼度分别为21 y y 和，计算重⼒作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重⼒作功只与质点的起始和终了位置有关，⽽与所经过的路径⽆关，这是重⼒作功的⼀个重要特点。
扩充内容：计算重⼒作的功因为质点运动的路径为⼀曲线，所以重⼒和质点运动⽅向之间的夹⾓是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重⼒P 所作的功为r P d d ?=W若质点在平⾯内运动，按图所选坐标，并取地⾯上某⼀点为坐标原点O ，有j i r y x d d d +=且j P mg -=。
《大学物理》3-5-9保守力与非保守力
复习
I＝
t2
Fdt
t1
•动量定理 •质点系的动量定理
I Fdt＝ P
I＝P－P0
•动量守恒定律 •功与功率
n
P＝
mivi
恒矢量
i 1
dW F dS
P＝ dW
dt
B B
W A F dr A F cos ds
第五次课
保守力与非保守力 ★ 势能
质点系的动能定理 质点系的功能原理
(2) 重力作功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
A
M2
M1 1
Fz
dz
Z2（ mg）dz
Z1 1
mg（z1 z2）
z M1
②
m①
M2
G
O
y
x
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路
径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
Ep
r
(G
mM r2
)dr
等势面
M
mr
G mM
F
r
引力的功
引力势能
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
Ep
G
m' m r
弹力的功
弹性势能
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
Ep
1 2
k x2
x
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能
3-4保守力与非保守力
一、万有引力、重力、弹性力作功的特点1 万有引力作功如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。
取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功为)11(A B r r m m G W -'= （3-10）上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。
这是万有引力作功的一个重要特点。
扩充内容：计算万有引力作的功设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为r 2e F r m m G '-=r e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=rm m G W从图可以看出rd cos d cos d d r r ===⋅θθr re r e 于是，上式为r r m m G W d d 2'-= 所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为⎰⎰'-==B A r r B A r r m m G W W 2d 1d 即2 重力作功如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为21 y y 和，计算重力作功为()12mgy mgy W --= （3-11）上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。
扩充内容： 计算重力作的功因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。
我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为rP d d ⋅=W若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有ji r y x d d d += 且j P mg -=。
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
0 90 W 0 正功 90 180 W 0 负功
F cos
90 W 0 不作功
➢功的图示法
o rA
曲线下的面积表示变力所作的功。
r
ds rB
➢合力的功等于各分力功的代数和。
W
F d r F1 d r
F2
d
r
W1
W2
➢功的单位：1 J=1 N·m 量纲：dim W ML2T2
解题步骤：
①确定研究对象． ②受力分析，求合外力的功． ③找准初、末状态的动能，运用动能定理列方程求解．
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
例1 如图所示，一质量m =225kg的保险箱静止 放置在光滑地面上，甲、乙两人用推力F1=24.0N和 拉力F2=20.0N同时作用于此物体，使它沿直线移动 了d =8.50m。设保险箱与地面间的摩擦可忽略不计。 试计算
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
2-2 动能定理 保守力与非保守力 能量守恒定律
物理学简明教程
2. 功率：功随时间的变化率
平均功率 P W t
瞬时功率
P dW
F
d
r
F
v
Fv
cos
dt
dt
P F v Fvcos
功率的单位 （瓦特）1W 1J s1 1kW 103 W
第二章 动量守恒定律和能量守恒定律
W1 F1d cos1 176.66 J
W2 F2d cos2 130.22 J 则两人做的总功为
W W1 W2 306.88 J
（2）两人对保险箱做功后，它的速率变为多大？ 考虑到保险箱初始速率v0为零，由动能定理
保守力与非保守力
1
一
万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
A
r
m
r r
er
dr
m'
B
m' m dW F dr G 2 er dr
r
2
m' m dW F dr G 2 er dr r
A
rA
m'
r
rB
m
B
4
( 2)
弹性力作功
设原长为坐标原点, 物体在F’外,位移：x
F
' F外
P
o
x
x
弹力：F kxi dW F d x kxi dxi kxdx
W dW k x
x2
1
1 2 1 2 xdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
GmE g 2 RE
m y
Ep 0
取：E p , RE 0 有：E p , R y mgy E 重力势能：E p mgy
RE
(取地面为零势点)
15
保守力所作的功与路径无关，仅与始、 末位置有关．
7
保守力所作的功与路径无关：
A
D
则有： ACB F dr ADB F dr F dr
l ACB
A ACB F dr ADB F dr W F dr 0 保守力的环流为零
14
设:质点:m, 离地面高度为: y mmE mmE 则：E p , R y E p , R (G ) (G ) RE y RE
4_4保守力与非保守力 势能
三. 保守力
以上通过讨论分析重力、万有引力、弹簧弹性力以及摩擦 力等各种类型力做功的特点，引入保守力与非保守力的概念。
若力所做的功仅仅依赖于受力质点的始末位置， 与质点经过的路径无关，具有这种性质的力称为保 守力。（也可称作有势力）. 与保守力相对的称为非保守力：作功与路径有关 的力称为非保守力（nonconservative force） ，或耗散力
对M，内力做功 ：
4 – 4
保守力与非保守力 势能
2. 万有引力作功 Work done by universal gravitation B
AAB f dr
rA
rB
dr
m2
r dr
m1
1 1 Gm1 m 2 ( ) rB rA
Gm Gm m 1m 2 2 1 r dr dr 3 rAr r r2 A
rBr
B
r
f
A
A dA AdA
Gm1 m2 f r 3 r
r dr rdr
可见，万有引力作功与路径无关，只与始末位置有关。
4 – 4 A dA
保守力与非保守力 势能
dA
A dA A dA cos
A
r2
dA cos
AdA
4 – 4
保守力与非保守力 势能
一 力 场：
1. 场力：
F F (r )
质点所受的仅与质点位置有关的力.
例如：静电力，弹簧弹性力等.
2. 力场：存在场力的空间 .
例如：存在均匀电场的空间即为均匀力场.
3. 有心力：质点所受力的作用线总通过某一点，则该力
称为有心力（该点称为力心）. 例如：万有引力，弹簧弹性力等.
3-5 保守力和非保守力概述
保守力：某些力对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点 1.万有引力作功 如图,设万有引力存在于质 量为m和m`物体之间， m`物 体相对不动，m 物体在 m`物 体的引力场中从 A 点沿任意 路径移到 B 点。两个质点之 间在引力作用下相对运动时 ,
0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线 h
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞3.势能和保守力的关系： 势来自是保守力对路径的线积分，EP＝
b
a
F dl
F
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
dW mg dr mgdy
W mgdy
y1 y2
m
y y1 y2
mg
mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
o 可见，重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一 端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。