带有二次约束二次规划问题的分枝定界方法
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Ｅｌｅ ｓ
把 单 纯 形 剖 分 为 ｒ 子 单 纯 形 ． 一， ， Ｕ Ｓ 个 ｓ ． 且 ＝ Ｓ， ｓ
ｉｔ． ｎ ｔ＝ ≯ ｉ≠ ＿ ； 于每 个 ｉ∈ ｛ ， ， ｝ 计 算 ｍｉ ｛ （ ） ∈ Ｆ Ｎ Ｓ ｝ 。 ｎ ｓ ｎ ｉｔｓ （ 『 对 ） １… ｒ ， ｎ ： 。 ｙ
让 Ｔ：＝ （ ＼｛ ｝ ． ）Ｕ ｛ ＝ １ … ， ， ｓ ．： ｓ ， ｒ
ｆ ｙ，
＜ ｙ｝ ，
如果 Ｔ ＝ ≯
１ Ｉｉ ： ∈ ， 如果Ｔ ７ ｍｎ ． ｝ ： ｛ ｓ ≠≯
选 择 ． ， 得 ｓ∈ 使
Ｅｎｄ ｆ ｉ
＝ １ ７ 。
让 ｋ：＝ ｋ ＋ １
８ ５
而 问题 （ ）的 最 优 值 必 为 问题 （ Ｐ ２ Ｑ ）在单 纯 形 Ｓ上 的最 优值 的 一 个 下 界 。
３ 单纯 形 分 枝 定 界 算 法及 其 收敛 性
我 们用 Ｖｅｔ ｒ Ｄ表 示 多 面 体 Ｄ 的 顶 点 集 合 ， 表 示 问 题 （ Ｐ ｙ Ｑ ）在 ｓ上 的 上 界 。 果 Ｖ ｒ 如 ｅｔ
＝ ａ
因为
是 非 奇 异 的 ， 以 ｃ被 唯 一 确 定 ， 而 ｂ也 被 唯 一 确 定 。 所 从
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第 ２期
高岳 林 等 ： 有 二次 约束 二次 规划 问题 的分 枝 定界 方法 带
让 １ ７ ：＝ ； ：＝ Ｓ ； ：： ｛ ｝ ｓ ｐ ｆｌｅ １ Ｓ ｏ ． ；ｔ ａ ；ｋ ｓ ｏ ｓ 。
Ｗ ｈｉｅ ｓｏ ＝ ｆ ｌｅ ｄ ｌ ｔ ｐ ａｓ ｏ
Ｉ ｙ＝ Ｔ ｅ ｆ ｈ ｎ输 出 ， ｓ ｐ— Ｔ ｕ １是 最 优 解 ， ｙ；ｔ ｏ ｒｅ（， ｙ是 最 优 值 ） 。
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第 ２期
高岳 林 等 ： 有 二 次约束 二次 规划 问题 的分 枝 定界 方法 带
８ ３
２ 线性 规 划 松 驰 确 定 下 界
在 这 一 节 ， ｒ维 单 纯 形 Ｓ ＝ ［，，，， ，， ， Ｄ ｎ Ｊ 。 估 计 问 题 （ Ｐ 设 ｂ １ ｌ … ｌ ］ 且 ｓ≠ 。 ’ 要 Ｑ ）在 Ｊ ｓ上
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最 优 值 的一 个 下 界 。 了对 问题 （ Ｐ 进 行 线 性 规 划 松 驰 ， 先 给 出关 于 凹 函数 凸 包 的 两 个 为 Ｑ ） 首
引理。
引 理 １ 设 ｌ ，，， ，， 多 面 体 Ｄ 的 所 有 不 同 的 顶 点 。 么 凹 函数 ｆ ） 多 面 体 Ｄ ， ＇ … ｌ ’ 是 那 （ 在
下 界 ， 定 确
（。 ． ）＝ Ｖ ｒＳ ｓ ｅｔ‘Ｎ Ｆ；
让 ：＝
ｎ 【 （ 】 如 果 Ｗ ＝ ≯， 么 ｙ ＝＋ ∞ ； Ｕ ．） ， ｓ 那
鱼 果 Ｗ ≠ ≯， ＝ ｍｉ ｛ （ ： ∈ Ｗ｝ 口 ｙ ｎ ） ； 选 择 ∈ Ｗ， 得 （， 使 １ ）＝ ｙ；
ｉ： ｌ
＝
∑ ａ （ ） １ ） ａ （ ＋（ 一 ∑ ） ‘
● ｌ ： ｉ： １
＝ Ａ ）＋ （ ） ） Ｆ（ １一 Ｆ（
其 次 ， 们 假 定 凸 函数 ｈ ） ｆ ） Ｄ上 ， 了 ∈ Ｄ使 得 Ｆ（ ）＜ ｈ（ ） 设 厦是 我 （ （ 在 且 。
ｅ ｄ ｉｅ ｎ ｗｈ ｌ
定 理 ２ 设 问题 （ Ｐ Ｑ ）的 可 行 域 ，是 ｎ维 的 ， 单 纯 形 剖 分 方 法 是 耗 尽 的 ， 么 且 那 １ ）如果 该算 法 在 有 限 步终 止 ， 终 止 时 必得 到 问题 （ Ｐ 则 Ｑ ）的 整 体 最 优 解 ； ２ ）如 果 该 算 法 在 有 限 步 不 能 终 止 ， 它 产 生 的 序 列 ｛，｝的 每 一 个 聚 点 ｌ 必 是 问 题 则 ｌ ‘ ， （Ｐ Ｑ ）的 整 体 最 优 解 。 证 明 结 论 １ ）显 然 成 立 ， 须 证 明 ２ 成 立 。 设 该 算 法 有 限 步 不 能 终 止 ， 产 生无 穷 只 ） 假 并
如 果 Ｗ ＝ ≯ 那 么 ｙ ＝＋ ∞ ； 果 Ｗ ≠ ≯， 么 ｙ ＝ ｍ ｎ （ ） ∈ Ｗ｝ ， 如 那 ｉ｛ ： ； ｎ． （ ： ／ ｓ 。 ７ ｓ 计 算 １ ＝ ｍｉ ｉ￣ ｘ） ∈ ， ｎ ． ｝的下 界 １ ； ７ ｓ
。 。
选 择 一 个 点 ｌ ∈ Ｗ， 得 （， ， 使 １ ）＝ ｙ；
ｃｌ ， ｂ ＝ｆ １） ｆ＝０ １ … ，ｂ ‘＋ （， ， ‘ ，， ｒ 进 而 有 （， ｌ ）ｃ ＝ｆ １ ）一， １ ）＝ ａ ， ｆ＝ ０ １ … ，ｂ １ 。一 ， （， 。 （， ‘ ｉ ，， ｒ 令
Ｗ ＝ ［， ｓ １ 。一ｌ ， ，， ， … ｌ 。一ｌ ］ ａ ＝ （ ｌ ａ ， ， ， ， ａ，２… ａ） 则
０ １ … ，ｂ ，， ｒ ）唯 一 地 确 定 。
证 明 设 ｚ ｘ）＝ Ｃｘ＋ ｂ ｃ∈ Ｒ ， （ ｒ （ ｂ∈ Ｒ） 使 得 ｚ １）＝ ｆ １） ｉ＝ ０ １２ … ，ｂ ， （， （， ， ，， ， ｒ 那 么得 到 （ｂ＋１ 个 等 式 的 线 性 系统 ｒ ）
证 明 首 先 证 明 Ｆ（ 在 Ｄ上 是 凸 函数 。 ０５ ） 设
分 别 在 ＝ ’ 和 ＝ 时 最 小 解 。 么 那
１ ， ∈ Ｄ， ， 是 问题 （＊） ，
Ｆ Ａ ＋（ 一 ） ∑ ［ ＋ １ ） ］（ ） （ｘ １ ） （一 ａ ， ‘
上 的 凸 包 Ｆ（ ）可 以表 示 为
Hale Waihona Puke Ｆｘ （）＝ｍｎ ａ （‘ ｉ∑ １ Ｆ， ）
ｉ １ ＝
、
ｓ． ． ∑ ｔ
● ｌ －
＝ ， Ｇ ＝１ ∑ ｌ ｉ
ｉ： １
．
（） ＊
ｉ ＝ １， … ， ２， ｍ
并记 ＝ （ ａ ， ， ）∈ Ｒ： ａ ，：… ａ 。
问题 （ ＊）在 ＝ 时 的 最 小 解 ， 么 那
Ｆ２ ＜＾ ＝ｈ ∑ 川 ∑ ａ （ ） ∑ 丘 （ ） （ （） （ ） 【 ｖ ｈ １ ＝Ｆ ） ，
推 出 矛盾 ， 因此 ｈ（ ）； Ｆ（ ）于 Ｄ 之 上 。
引 理 ２ 设 Ｊ ＝ ［，，，， ，，］ 纯 形 ， （ 是 Ｊ 的 凹 函数 。 么 ｆ（ ） Ｓ上 的 凸 ｓ １ ｌ … ｌ 单 。 ｆ ） ｓ上 那 在 包 是仿 射 函数 ｚ ）＝ ｃ ＋ ｂ 其 中 ｃ∈ Ｒ ， （ ， ｂ∈ Ｒ被 线 性 等 式 系 统 ， １）＝ ｃｌ ＋ ｂ ｉ＝ （， ‘ ， ｊ （
（ ）ｎ Ｆ ＝０ 那 么 ｙ ． ｓ ， ＝＋ ∞ ； 果 Ｖ ｒ （ ）ｎ Ｆ ≠ ≯ 那 么 ｙ ＝ ｍ ｎ｛ （ ： ∈ Ｖ ｒ（ ） 如 ｅｔ ． ｓ ， ｉ ） ｅｔ Ｓ
ｎ ，｝ 。
算法 １
Ｉ ｔａ ｉ ａｔｏ ： ｎｉｉ ｌｚ ｉ ｎ
构 造 包 含 Ｄ 的 ｎ维 单 纯形 Ｓ ； 。Ｃ Ｒ 确 定 Ｗ ＝ Ｖ ｒＳ ｅｔ０Ｎ Ｆ；
把 单 纯 形 剖 分 为 ｒ 子 单 纯 形 ． 一， ， Ｕ Ｓ 个 ｓ ． 且 ＝ Ｓ， ｓ
ｉｔ． ｎ ｔ＝ ≯ ｉ≠ ＿ ； 于每 个 ｉ∈ ｛ ， ， ｝ 计 算 ｍｉ ｛ （ ） ∈ Ｆ Ｎ Ｓ ｝ 。 ｎ ｓ ｎ ｉｔｓ （ 『 对 ） １… ｒ ， ｎ ： 。 ｙ
让 Ｔ：＝ （ ＼｛ ｝ ． ）Ｕ ｛ ＝ １ … ， ， ｓ ．： ｓ ， ｒ
ｆ ｙ，
＜ ｙ｝ ，
如果 Ｔ ＝ ≯
１ Ｉｉ ： ∈ ， 如果Ｔ ７ ｍｎ ． ｝ ： ｛ ｓ ≠≯
选 择 ． ， 得 ｓ∈ 使
Ｅｎｄ ｆ ｉ
＝ １ ７ 。
让 ｋ：＝ ｋ ＋ １
８ ５
而 问题 （ ）的 最 优 值 必 为 问题 （ Ｐ ２ Ｑ ）在单 纯 形 Ｓ上 的最 优值 的 一 个 下 界 。
３ 单纯 形 分 枝 定 界 算 法及 其 收敛 性
我 们用 Ｖｅｔ ｒ Ｄ表 示 多 面 体 Ｄ 的 顶 点 集 合 ， 表 示 问 题 （ Ｐ ｙ Ｑ ）在 ｓ上 的 上 界 。 果 Ｖ ｒ 如 ｅｔ
＝ ａ
因为
是 非 奇 异 的 ， 以 ｃ被 唯 一 确 定 ， 而 ｂ也 被 唯 一 确 定 。 所 从
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第 ２期
高岳 林 等 ： 有 二次 约束 二次 规划 问题 的分 枝 定界 方法 带
让 １ ７ ：＝ ； ：＝ Ｓ ； ：： ｛ ｝ ｓ ｐ ｆｌｅ １ Ｓ ｏ ． ；ｔ ａ ；ｋ ｓ ｏ ｓ 。
Ｗ ｈｉｅ ｓｏ ＝ ｆ ｌｅ ｄ ｌ ｔ ｐ ａｓ ｏ
Ｉ ｙ＝ Ｔ ｅ ｆ ｈ ｎ输 出 ， ｓ ｐ— Ｔ ｕ １是 最 优 解 ， ｙ；ｔ ｏ ｒｅ（， ｙ是 最 优 值 ） 。
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第 ２期
高岳 林 等 ： 有 二 次约束 二次 规划 问题 的分 枝 定界 方法 带
８ ３
２ 线性 规 划 松 驰 确 定 下 界
在 这 一 节 ， ｒ维 单 纯 形 Ｓ ＝ ［，，，， ，， ， Ｄ ｎ Ｊ 。 估 计 问 题 （ Ｐ 设 ｂ １ ｌ … ｌ ］ 且 ｓ≠ 。 ’ 要 Ｑ ）在 Ｊ ｓ上
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最 优 值 的一 个 下 界 。 了对 问题 （ Ｐ 进 行 线 性 规 划 松 驰 ， 先 给 出关 于 凹 函数 凸 包 的 两 个 为 Ｑ ） 首
引理。
引 理 １ 设 ｌ ，，， ，， 多 面 体 Ｄ 的 所 有 不 同 的 顶 点 。 么 凹 函数 ｆ ） 多 面 体 Ｄ ， ＇ … ｌ ’ 是 那 （ 在
下 界 ， 定 确
（。 ． ）＝ Ｖ ｒＳ ｓ ｅｔ‘Ｎ Ｆ；
让 ：＝
ｎ 【 （ 】 如 果 Ｗ ＝ ≯， 么 ｙ ＝＋ ∞ ； Ｕ ．） ， ｓ 那
鱼 果 Ｗ ≠ ≯， ＝ ｍｉ ｛ （ ： ∈ Ｗ｝ 口 ｙ ｎ ） ； 选 择 ∈ Ｗ， 得 （， 使 １ ）＝ ｙ；
ｉ： ｌ
＝
∑ ａ （ ） １ ） ａ （ ＋（ 一 ∑ ） ‘
● ｌ ： ｉ： １
＝ Ａ ）＋ （ ） ） Ｆ（ １一 Ｆ（
其 次 ， 们 假 定 凸 函数 ｈ ） ｆ ） Ｄ上 ， 了 ∈ Ｄ使 得 Ｆ（ ）＜ ｈ（ ） 设 厦是 我 （ （ 在 且 。
ｅ ｄ ｉｅ ｎ ｗｈ ｌ
定 理 ２ 设 问题 （ Ｐ Ｑ ）的 可 行 域 ，是 ｎ维 的 ， 单 纯 形 剖 分 方 法 是 耗 尽 的 ， 么 且 那 １ ）如果 该算 法 在 有 限 步终 止 ， 终 止 时 必得 到 问题 （ Ｐ 则 Ｑ ）的 整 体 最 优 解 ； ２ ）如 果 该 算 法 在 有 限 步 不 能 终 止 ， 它 产 生 的 序 列 ｛，｝的 每 一 个 聚 点 ｌ 必 是 问 题 则 ｌ ‘ ， （Ｐ Ｑ ）的 整 体 最 优 解 。 证 明 结 论 １ ）显 然 成 立 ， 须 证 明 ２ 成 立 。 设 该 算 法 有 限 步 不 能 终 止 ， 产 生无 穷 只 ） 假 并
如 果 Ｗ ＝ ≯ 那 么 ｙ ＝＋ ∞ ； 果 Ｗ ≠ ≯， 么 ｙ ＝ ｍ ｎ （ ） ∈ Ｗ｝ ， 如 那 ｉ｛ ： ； ｎ． （ ： ／ ｓ 。 ７ ｓ 计 算 １ ＝ ｍｉ ｉ￣ ｘ） ∈ ， ｎ ． ｝的下 界 １ ； ７ ｓ
。 。
选 择 一 个 点 ｌ ∈ Ｗ， 得 （， ， 使 １ ）＝ ｙ；
ｃｌ ， ｂ ＝ｆ １） ｆ＝０ １ … ，ｂ ‘＋ （， ， ‘ ，， ｒ 进 而 有 （， ｌ ）ｃ ＝ｆ １ ）一， １ ）＝ ａ ， ｆ＝ ０ １ … ，ｂ １ 。一 ， （， 。 （， ‘ ｉ ，， ｒ 令
Ｗ ＝ ［， ｓ １ 。一ｌ ， ，， ， … ｌ 。一ｌ ］ ａ ＝ （ ｌ ａ ， ， ， ， ａ，２… ａ） 则
０ １ … ，ｂ ，， ｒ ）唯 一 地 确 定 。
证 明 设 ｚ ｘ）＝ Ｃｘ＋ ｂ ｃ∈ Ｒ ， （ ｒ （ ｂ∈ Ｒ） 使 得 ｚ １）＝ ｆ １） ｉ＝ ０ １２ … ，ｂ ， （， （， ， ，， ， ｒ 那 么得 到 （ｂ＋１ 个 等 式 的 线 性 系统 ｒ ）
证 明 首 先 证 明 Ｆ（ 在 Ｄ上 是 凸 函数 。 ０５ ） 设
分 别 在 ＝ ’ 和 ＝ 时 最 小 解 。 么 那
１ ， ∈ Ｄ， ， 是 问题 （＊） ，
Ｆ Ａ ＋（ 一 ） ∑ ［ ＋ １ ） ］（ ） （ｘ １ ） （一 ａ ， ‘
上 的 凸 包 Ｆ（ ）可 以表 示 为
Hale Waihona Puke Ｆｘ （）＝ｍｎ ａ （‘ ｉ∑ １ Ｆ， ）
ｉ １ ＝
、
ｓ． ． ∑ ｔ
● ｌ －
＝ ， Ｇ ＝１ ∑ ｌ ｉ
ｉ： １
．
（） ＊
ｉ ＝ １， … ， ２， ｍ
并记 ＝ （ ａ ， ， ）∈ Ｒ： ａ ，：… ａ 。
问题 （ ＊）在 ＝ 时 的 最 小 解 ， 么 那
Ｆ２ ＜＾ ＝ｈ ∑ 川 ∑ ａ （ ） ∑ 丘 （ ） （ （） （ ） 【 ｖ ｈ １ ＝Ｆ ） ，
推 出 矛盾 ， 因此 ｈ（ ）； Ｆ（ ）于 Ｄ 之 上 。
引 理 ２ 设 Ｊ ＝ ［，，，， ，，］ 纯 形 ， （ 是 Ｊ 的 凹 函数 。 么 ｆ（ ） Ｓ上 的 凸 ｓ １ ｌ … ｌ 单 。 ｆ ） ｓ上 那 在 包 是仿 射 函数 ｚ ）＝ ｃ ＋ ｂ 其 中 ｃ∈ Ｒ ， （ ， ｂ∈ Ｒ被 线 性 等 式 系 统 ， １）＝ ｃｌ ＋ ｂ ｉ＝ （， ‘ ， ｊ （
（ ）ｎ Ｆ ＝０ 那 么 ｙ ． ｓ ， ＝＋ ∞ ； 果 Ｖ ｒ （ ）ｎ Ｆ ≠ ≯ 那 么 ｙ ＝ ｍ ｎ｛ （ ： ∈ Ｖ ｒ（ ） 如 ｅｔ ． ｓ ， ｉ ） ｅｔ Ｓ
ｎ ，｝ 。
算法 １
Ｉ ｔａ ｉ ａｔｏ ： ｎｉｉ ｌｚ ｉ ｎ
构 造 包 含 Ｄ 的 ｎ维 单 纯形 Ｓ ； 。Ｃ Ｒ 确 定 Ｗ ＝ Ｖ ｒＳ ｅｔ０Ｎ Ｆ；