高斯光束传播及其MATLAB仿真

目录
一、高斯光束 (1)
1简介： (1)
2. 命名 (1)
二、高斯定律的传播 (2)
1.振幅分布特性 (2)
2.等相位面特性 (2)
3.高斯光束的瑞利长度 (3)
4.高斯光束的远场发散角 (4)
三、用MATLAB仿真高斯光束的优势 (4)
四、提出高斯光束的问题 (4)
五、问题的求解 (5)
六、问题的MATLAB程序 (7)
1、程序如下： (7)
2.最终运行 (10)
七、结束语 (17)
八、参考文献 (17)
九、成绩评定 (18)
一、高斯光束
1简介：
通常情形，激光谐振腔发出的基模辐射场，其横截面的振幅分布遵守高斯函数，故称高斯光束。

2.命名
关于光斑大小的查询，其实问的就是光斑的束腰直径或束腰半径。

束腰，是指高斯光绝对平行传输的地方。

半径，是指在高斯光的横截面考察，以最大振幅处为原点，振幅下降到原点处的0.36788倍，也就是1/e倍的地方，由于高斯光关于原点对称，所以1/e的地方形成一个圆，该圆的半径，就是光斑在此横截面的半径；如果取束腰处的横截面来考察，此时的半径，即是束腰半径。

沿着光斑前进，各处的半径的包络线是一个双曲面，该双曲面有渐近线。

高斯光束的传输特性，是在远处沿传播方向成特定角度扩散，该角度即是光束的远场发散角，也就是一对渐近线的夹角，它与波长成正比，与其束腰半径成反比，故而，束腰半径越小，光斑发散越快；束腰半径越大，光斑发散越慢。

我们用感光片可以看到，在近距离时，准直器发出的光在一定范围内近似成平行光，距离稍远，光斑逐渐发散，亮点变弱变大；可是从光纤出来的光，很快就发散；这是因为，准直器的光斑直径大约有400微米，而光纤的光斑直径不到10微米。

同时，对于准直器最大工作距离的定义，往往可理解为该准直器输出光斑的共焦参数，该参数与光斑束腰半径平方成正比，与波长成反比，计算式是：3.1415926*束腰半径*束腰半径/波长。

所以要做成长工作距离（意味着在更长的传输距离里高斯光束仍近似成平行光）的准直器，必然要把光斑做大，透镜相应要加长加粗。

二、高斯定律的传播
1.振幅分布特性
由高斯光束的表达式可以得到：
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。

将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离定义为该处的光斑半径。

由w（z）的定义可以得到：
即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有最小值，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。

2.等相位面特性
从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：
将上式同标准球面波的总相移表达式比较：
可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知：
z=0时，，此时的等相位面是平面；
时，。

此时等相位面也是平面。

时，此时的等相位面半径最小。

3.高斯光束的瑞利长度
–当光束从束腰传播到处时，光束半径，即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作f。

在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。

从瑞利长度表达式可以得出结论，高斯光束的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。

4.高斯光束的远场发散角
–从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义当时高斯光束振幅减小到最大值1/e 处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：
包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的86.5%。

高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持球面。

三、用MATLAB仿真高斯光束的优势
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。

它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。

MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连matlab开发工作界面接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB可模拟出高斯光束传播时的路线光强分布。

四、提出高斯光束的问题
根据高斯光束数学模型，模拟仿真高斯光束在谐振腔中某一位置处的归一化强度分布并给出其二维、三维强度分布仿真图；用Matlab读取实际激光光斑照片中所记录的强度数据（读取照片中光斑的一个直径所记录的强度数据即可，Matlab读取照片数据命令为imread）,用该数据画出图片中激光光斑的强度二维分布图，与之前数学模型仿真图对比。

五、问题的求解
原始光斑如图1所示，用imread命令读入matlab后直接用imshow命令读取即可，
CCD采集的高斯光束光强分布
图1 CCD采集的高斯光束强度分布
读入的数据是一个224 X 244的矩阵，矩阵中的数值代表光强分布。

用读入的数据取中间一行（122行）画出强度分布如图2所示。

图2 实验测量高斯曲线
用理论上的高斯曲线公式画出理论高斯曲线如图3所示。

图3 理论高斯曲线
50
100150200
020406080100120140160
180实验测量高斯曲线
-40
-30-20-10010203040
00.2
0.4
0.6
0.8
1
理论高斯曲线
六、问题的MATLAB程序
1、程序如下：
M文件如下：
A=imread('D:\documents\作业\激光原理与应用\高斯.bmp');
A1=A(:,122);
x1=1:1:224;
x2=-100:1:100;
a2=exp(-x2.^2/10);
figure
imshow(A);
axis off
title('\fontsize{12}CCD采集的高斯光束光强分布');
figure
plot(x2,a2,'linewidth',1,'color','b');
axis([-40 40 0 1.2])
title('\fontsize{12}实验测量高斯曲线')
figure
plot(x1,A1,'linewidth',1,'color','r')
title('\fontsize{12}理论高斯曲线')
axis([50 200 0 180])
画三维强度分布。

取图片矩阵的中间层，用mesh命令画出三维图如图4所示。

图4 三维强度分布
由于读入的图片有一行白边，需要手动去除掉，否则三维图会有一边整体竖起来，影响观察。

最终的M文件如下。

A=imread('D:\documents\作业\激光原理与应用\高斯.bmp');
[high, width, color] = size(A);
x=1:width;
y=1:high-1;
mesh(x', y', double(A(2:224,:,1)));
grid on
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z');
title('三维强度分布');
再用MATLAB仿真理论上传播过程中高斯光束的变化
这次先给出M文件：
%Gaussian_propagation.m
%Simulation of diffraction of Gaussian Beam
clear;
%Gaussian Beam
%N:sampling number
N=input('Number of samples(enter from 100 to 500)=');
L=10*10^-3;
Ld=input('wavelength of light in [micrometers]=');
Ld=Ld*10^-6;
ko=(2*pi)/Ld;
wo=input('Waist of Gaussian Beam in [mm]=');
wo=wo*10^-3;
z_ray=(ko*wo^2)/2*10^3;
sprintf('Rayleigh range is %f [mm]',z_ray)
z_ray=z_ray*10^-3;
z=input('Propagation length (z) in [mm]');
z=z*10^-3;%dx:step size
dx=L/N;
for n=1:N+1
for m=1:N+1
%Space axis
x(m)=(m-1)*dx-L/2;
y(n)=(n-1)*dx-L/2;
%Gaussian Beam in space domain
Gau(n,m)=exp(-(x(m)^2+y(n)^2)/(wo^2));%Frequency axis Kx(m)=(2*pi*(m-1))/(N*dx)-((2*pi*(N))/(N*dx))/2;
Ky(n)=(2*pi*(n-1))/(N*dx)-((2*pi*(N))/(N*dx))/2;
%Free space transfer function
H(n,m)=exp(j/(2*ko)*z*(Kx(m)^2+Ky(n)^2));
end
end
%Gaussian Beam in Frequency domain
FGau=fft2(Gau);
FGau=fftshift(FGau);
%Propagated Gaussian beam in Frequency domain
FGau_pro=FGau.*H;
%Peak amplitude of the initial Gaussian beam
Peak_ini=max(max(abs(Gau)));
sprintf('Initial peak amplitude is %f [mm]',Peak_ini)%Propagated Gaussian beam in space domain
Gau_pro=ifft2(FGau_pro);
Gau_pro=Gau_pro;
%Peak amplitude of the propagated Gaussian beam
Peak_pro=max(max(abs(Gau_pro)));
sprintf('Propagated peak amplitude is %f [mm]',Peak_pro)%Calculated Beam Width
[N M]=min(abs(x));
Gau_pro1=Gau_pro(:,M);
[N1 M1]=min(abs(abs(Gau_pro1)-abs(exp(-1)*Peak_pro)));
Bw=dx*abs(M1-M)*10^3;
sprintf('Beam width(numerical) is %f[mm]',Bw)%Theoretical Beam Width W=(2*z_ray)/ko*(1+(z/z_ray)^2);
W=(W^0.5)*10^3;
sprintf('Beam width(theoretical) is %f[mm]',W)%axis in mm scale
x=x*10^3;
y=y*10^3;
figure(1);
mesh(x,y,abs(Gau))
title('Initial Gaussian Beam')
xlabel('x [mm]')
ylabel('y [mm]')
axis([min(x) max(x) min(y) max(y) 0 1])
axis square
figure(2);
mesh(x,y,abs(Gau_pro))
title('propagated Gaussian Beam')
xlabel('x [mm]')
ylabel('y [mm]')
axis([min(x) max(x) min(y) max(y) 0 1])
axis square
程序主要根据高斯光束的传播规律计算传播过程中任意z处的高斯光强分布。

2.最终运行
运行结果：
Number of samples(enter from 100 to 500)=500 wavelength of light in [micrometers]=0.568 Waist of Gaussian Beam in [mm]=1
ans =
Rayleigh range is 5530.972982 [mm]
Propagation length (z) in [mm]100000
ans =
Initial peak amplitude is 1.000000 [mm]
ans =
Propagated peak amplitude is 0.210252 [mm] ans =
Beam?width(numerical) is 1.940000[mm]
ans =
Beam?width(theoretical) is 18.107635[mm]
>>
束腰半径处的理想高斯光强分布
传播1m处的理想高斯光强分布
传播10m处的理想高斯光强分布传播20m处的理想高斯光强分布
传播30m处的理想高斯光强分布
传播50m处的理想高斯光强分布
传播100m处的理想高斯光强分布而用实验测得的光斑仿真的结果是：
原始光斑的光强分布
0.1m处
1.8m处
10m以后，已经基本是均匀强度的光斑
七、结束语
两个星期紧张而又充实的学习，让我初步了解到MATLAB，发现了自己学习能力上的不足，但学会了自我学习，独立思考，认识到了理论和时间的差别，从写出去的代码到成功感受到了巨大的喜悦，今后会学习更多知识，提升自己。

八、参考文献
（1 ）刘克哲,张承琚《物理学. 上卷》第三版[ M] .北京高等教育出版社
（2）施传柱《高斯定理应用问题探讨（J）》
（3）贾瑞，薛庆忠《电磁学》.第二版
（4）周国泉《高阶洛伦兹-高斯光束的研究》科学出版社
九、成绩评定。