反比例函数中的面积很全面
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（06山西）
3 3 y 或 y x x
12 12 y 或y x x
y
⑶如图③，A、B是函数的图 象上关于原点O对称的任意两 点，AC∥y轴，BC ∥ x轴， ⊿ABC的面积为S，则（ C ） A．S=1 B．1<S<2 C．S=2 D．S>2 解:由性质(3)可知， S△ABC = 2|k| = 2 o B A C
3 4 5 2 2 1 ⊿OP3 A3，⊿ 2 3 OP 4 4A 5 4，
⊿OP5A5之间的关系，
1 S5 5
137 60
1．如图①，双曲线 OABC的边BC的中点E，交AB交于点D， 若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析 式为（ B ） 6 1 2 3 y y B． y C．y D． A． x x x x
k y (k 0) x
y C A
2
E B
图④
o
D
x
探究2：如图，在x轴的正半轴上依次截 取OA=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1， 分析：由性质⑴ 由此可得出： A2，A3，A4，A5，分别作x轴的垂线与 可知： S⊿OP1A1 反比例函数y=2/x(x≠0) 的图象相交于点 =S⊿OP2A2 1 Sn= =S P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形 n ⊿OP3A3 ⊿OP1A1，⊿A1P2A2，⊿A2P3A3， =S⊿OP4A4 ⊿A3P4A4，⊿A4P5A5，并设其面积分别 =S⊿OP5A5 为S1，S2，S3，S4，S5， =1 求S1+S2+S3+S4+S5 的值。 1 1 S2 S3 由OA=A 1 1A2=A 2A 3=A 3A4 2 于是 S1+S +S +S +S 2 3 4 5 3 S4 =A4A5，可分别得出S2， 4 1 1 1 1 S ，S ，S 与⊿OP A ，
⑵解法3： 如图，过A作AC⊥x轴于点C， 过B点作BD⊥x轴于点D, CA与 DB相交于E点， 由A(1，8 ) 和 B (4，2)的坐标可知点E的坐标 为(4，8)，由性质（1）知， S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S矩形ODEC －S⊿OAC－ S⊿OBD－S⊿ABE =32－4－4－9=15
⑷ 你体会到哪些解题的思想和方法？
如图，在反比例函数y=2/x(x>0)的图象上有点P1，P2， 将当堂检测第 3 小题的结论由特殊推广到一般的 P3，P4，…，Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，4， 情形： … ，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成 的阴影部分的面积，从左到右依次为S1，S2，S3，…， Sn，则S1+S2+ … + S n 的值为 2n （用n的代数式 表示） n 1 2 S1 2 2 2 S1 S 2 2 2 3 (1, ) 1 2 2 S1 S S3 2 (2, ) 2 4 2 (3, )
的横坐标逐渐增大时，⊿OAB的面积将会（ A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 y
C
）
B
O C A x
⑵如图②，点P是反比例函数 一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A,C,阴 影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是
k y (k 0) 图象上的 x
3 y x
2
S1 S 2 S3 S n
2 2n 2 n 1 n 1
„ „ „ „ „
S2
S3
3
2 (4, ) 4
Sn
1 1、在 y 的图象中，阴影部分面积不为1的是（ B ） x
想一想
y P(m,n) o A x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结 论成立吗?
y A o P(m,n) x
3
A E S1 S 1 B F S
o
S3 2 S 3 S2
C
图②
D
x
3
k y (k 0) 3．如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB x
斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的 坐标为（-6，4），则△AOC的面积为 ( B ) A．12 B． 9 C．6 D．4 y 6 y ↑ 分析：∵A(-6,4),由D为 A x OA的中点可知，D（-3,2） 6 y ∴双曲线的解析式为： （-3，2） D x 由性质1可知，S △OBC=3
S OAP
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
k 小结：（1）反比例函数 y= (k≠0)图象上一点 x A ，则构成△POA的面 P（x，y）向 x 轴作垂线，垂足为
1 积为 |k| ，即当k一定时， 2
S
ΔPOA
也为定值。
P
O A
x
y
C
于是有， S△AOC +3=S △AOB= 12 ∴ S△AOC =9
B
O
→ x
通过这节课的学习，你有什么收获？
⑴ 反比例函数图象上任意一点“对应的直角三角形” 面积S1与k值有什么关系？
⑵ 反比例函数图象上任意一点“对应的矩形”面积S2 与k值有什么关系？ ⑶ 若反比例函数与正比例函数y=kx ( k≠0) 存在两 个交点P(x1，y1)，Q（x2，y2），则点P与点Q有什么关 系？
y
k (k 0) 经过矩形 x
y A D B E
k k 3 4 分析：由 2 2
∴ K=2
o
k 2
x C 图①
3 y 2．如图②，点A、B是双曲线 x 上的点，分别经过 A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S3=1，则S1+S2= 4
y
分析： 由性质2得， S1+S3=S2+S3=3 将S3=1代入得， 得，S1=S2=2 ∴S1+S2=4
难点:函数知识的综合应用，通 过面积问题体会数形结合思想
y
0
y
x
0
x
初二数学组 徐
弦
k 设 P ( m , n )是双曲线 y ( k 0 )上任意一点 x (1)过 P 作 x 轴的垂线 , 垂足为 A, 则
SOAP 1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
⑷如图④，A、C是函数 的图象上的任意两点，过A作x轴 的垂线，垂足为B，过C作y轴的 垂线，垂足为D，记Rt⊿AOB的 面积为S1，Rt⊿OCD的面积为S2， 则（ ） C A．S1>S2 B．S1< S2 C．S1=S2 D．S1和S2的大小关系不确定
解:由性质1，S⊿OAB=S⊿OCD，可知选 C
图②
启发：如果去掉⑵中的“如图”，结论如何？
x
⑵如图②，点P是反比例函数 y k (k 0) 图象上的 一点，过P分别向x轴，y轴引垂线段，与x、y轴所围成 的矩形的面积是3，则这个反比例函数的解析式是
k 举一反三, 在平面直角坐标系内，从反比例函数y= x
的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围 成的矩形的面积是12，则该函数解析式是 图②
分析：由性质1，得
| k | | 2| 1 S⊿OPD= 2 2
o
y
P(m,n) D
x
图①
如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于 点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函 数的解析式为 ． 4
y
x
B
y
A(m,n)
点评：将△ABO通过“等 积变换”同底等高变为 △ABP
2 y x
A
S△ABC=
k
D C
O
x B
y=-2x
y
2 y x
A
S四边形ACBD=
2k
D C
O
x B
y=-2x
y
2源自文库y x
A
S△ABE=
2k
D C E
O
x B
y=-2x
y
2 y x
A C E
O
S矩形AEBF=
4k
F D B
x
y=-2x
⑵解法2： 如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点 作BD⊥x轴于D 由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD
y
A(1，8 ) B (4，2 )
oC D
x
1 =4+ (2 8) 3 －4=15 2
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，2)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
P
o
x
k y 如图：点A在双曲线 x 上，AB⊥x轴于B， 且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k= -4
分析：由性质1可知，
|k| 2 S⊿AOB= 2
∴k=±4, ∵k<0， ∴k=-4
如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定
3 点，点B是双曲线 y ( x 0)上的一个动点，当点B x
图③
x
2 设疑4：如图，过反比例函数 y x ( x 0) 图象上任意 两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结 OA、OB，设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB 的面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 ( B ) A．S1>S2 B．S1=S2 C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
y
(0，10 ) D
A(1，8 ) B (4，2 ) C(5,0) x
则 C (5,0)，D(0,10)， 于是 S⊿OAB=25 － 5 －5 =15
o
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，2)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
学 习 目 标
1、会推导反比例函数与三角形、矩形面积 关系的性质；灵活运用性质解决与面积有关 的问题。 2、引导学生自主探索，合作研讨，培养观 察、分析、归纳问题的能力，体会数形结合 的思想。
3、通过学习活动培养学生积极参与和勇于 探索的精神，激发学习热情。
重 点 . 难 点
重点:性质的灵活运用；
1 y x
y A(m,n) B C D
o
x
图④
1 3 y y ⑸. 如图，点A在双曲线 x x 上，点B在双曲线 上，
且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩 形，则它的面积为 2 .
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，n)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。 m y y 解：⑴ 将A(1，8 )代入 x A 中得：m=1×8=8， 8 故所求函数解析式为 y B x ∴B(4,n) x o 将A(1，8 ) 和B (4，2)代入 y=kx+b k b 8 k 2 中得： 4k b 2 解得： 先设出函数解析式，再根据 b 10
y 以上两条性质 在课本内没有 提及，但在这 几年的中考中 都有出现，所 以在这里要把 它总结出来。
y
B
P(m,n) A
B
P(m,n) A
o
x
o
x
⑶如图③，设P(m，n)关于原点的对称点 P′(－m，－n)，过P作x轴的垂线与过P′作y轴的 垂线交于A点，则S⊿PAP′= 2|k |
图③
2 y ⑴如图①，点P(m,n)是反比例函数 x 图象上的任 意一点，PD⊥x轴于D，则⊿POD的面积为 1
y
A E C B
o D
x
设疑6．如图④，已知双曲线 经过长方形 OCED的边ED的中点B，交CE于点A，若四边形OAEB 的面积为2，则k的值为 2 分析： 由性质⑴知，S⊿OAC=S⊿OBD= ， 由S矩形OCED= S⊿OAC+S⊿OBD+SOCED=4S⊿OBD 得， k k k， 2 4 2 2 2 解得，k=2
条件确定解析式中未知的系 故所求的一次函数的解析式为：数，从而具体写出这个式子 的方法，叫做待定系数法。 y=－2x+10
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，n)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
⑵解法1：设直线y=－2x+10 与x轴、y轴分别交于点C，D
想一想？
y P(m,n) o
y P(m,n)
A
x
o
A
x
k 设 P ( m , n )是双曲线 y ( k 0 )上任意一点 x ( 2)过P分 别 作x轴, y轴 的 垂 线 ,垂足分别为 A, B,
则S矩形OAPB OA AP | m | | n || k | (如 图 所 示 ).
3 3 y 或 y x x
12 12 y 或y x x
y
⑶如图③，A、B是函数的图 象上关于原点O对称的任意两 点，AC∥y轴，BC ∥ x轴， ⊿ABC的面积为S，则（ C ） A．S=1 B．1<S<2 C．S=2 D．S>2 解:由性质(3)可知， S△ABC = 2|k| = 2 o B A C
3 4 5 2 2 1 ⊿OP3 A3，⊿ 2 3 OP 4 4A 5 4，
⊿OP5A5之间的关系，
1 S5 5
137 60
1．如图①，双曲线 OABC的边BC的中点E，交AB交于点D， 若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析 式为（ B ） 6 1 2 3 y y B． y C．y D． A． x x x x
k y (k 0) x
y C A
2
E B
图④
o
D
x
探究2：如图，在x轴的正半轴上依次截 取OA=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1， 分析：由性质⑴ 由此可得出： A2，A3，A4，A5，分别作x轴的垂线与 可知： S⊿OP1A1 反比例函数y=2/x(x≠0) 的图象相交于点 =S⊿OP2A2 1 Sn= =S P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形 n ⊿OP3A3 ⊿OP1A1，⊿A1P2A2，⊿A2P3A3， =S⊿OP4A4 ⊿A3P4A4，⊿A4P5A5，并设其面积分别 =S⊿OP5A5 为S1，S2，S3，S4，S5， =1 求S1+S2+S3+S4+S5 的值。 1 1 S2 S3 由OA=A 1 1A2=A 2A 3=A 3A4 2 于是 S1+S +S +S +S 2 3 4 5 3 S4 =A4A5，可分别得出S2， 4 1 1 1 1 S ，S ，S 与⊿OP A ，
⑵解法3： 如图，过A作AC⊥x轴于点C， 过B点作BD⊥x轴于点D, CA与 DB相交于E点， 由A(1，8 ) 和 B (4，2)的坐标可知点E的坐标 为(4，8)，由性质（1）知， S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S矩形ODEC －S⊿OAC－ S⊿OBD－S⊿ABE =32－4－4－9=15
⑷ 你体会到哪些解题的思想和方法？
如图，在反比例函数y=2/x(x>0)的图象上有点P1，P2， 将当堂检测第 3 小题的结论由特殊推广到一般的 P3，P4，…，Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，4， 情形： … ，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成 的阴影部分的面积，从左到右依次为S1，S2，S3，…， Sn，则S1+S2+ … + S n 的值为 2n （用n的代数式 表示） n 1 2 S1 2 2 2 S1 S 2 2 2 3 (1, ) 1 2 2 S1 S S3 2 (2, ) 2 4 2 (3, )
的横坐标逐渐增大时，⊿OAB的面积将会（ A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小 y
C
）
B
O C A x
⑵如图②，点P是反比例函数 一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A,C,阴 影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是
k y (k 0) 图象上的 x
3 y x
2
S1 S 2 S3 S n
2 2n 2 n 1 n 1
„ „ „ „ „
S2
S3
3
2 (4, ) 4
Sn
1 1、在 y 的图象中，阴影部分面积不为1的是（ B ） x
想一想
y P(m,n) o A x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结 论成立吗?
y A o P(m,n) x
3
A E S1 S 1 B F S
o
S3 2 S 3 S2
C
图②
D
x
3
k y (k 0) 3．如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB x
斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的 坐标为（-6，4），则△AOC的面积为 ( B ) A．12 B． 9 C．6 D．4 y 6 y ↑ 分析：∵A(-6,4),由D为 A x OA的中点可知，D（-3,2） 6 y ∴双曲线的解析式为： （-3，2） D x 由性质1可知，S △OBC=3
S OAP
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
k 小结：（1）反比例函数 y= (k≠0)图象上一点 x A ，则构成△POA的面 P（x，y）向 x 轴作垂线，垂足为
1 积为 |k| ，即当k一定时， 2
S
ΔPOA
也为定值。
P
O A
x
y
C
于是有， S△AOC +3=S △AOB= 12 ∴ S△AOC =9
B
O
→ x
通过这节课的学习，你有什么收获？
⑴ 反比例函数图象上任意一点“对应的直角三角形” 面积S1与k值有什么关系？
⑵ 反比例函数图象上任意一点“对应的矩形”面积S2 与k值有什么关系？ ⑶ 若反比例函数与正比例函数y=kx ( k≠0) 存在两 个交点P(x1，y1)，Q（x2，y2），则点P与点Q有什么关 系？
y
k (k 0) 经过矩形 x
y A D B E
k k 3 4 分析：由 2 2
∴ K=2
o
k 2
x C 图①
3 y 2．如图②，点A、B是双曲线 x 上的点，分别经过 A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S3=1，则S1+S2= 4
y
分析： 由性质2得， S1+S3=S2+S3=3 将S3=1代入得， 得，S1=S2=2 ∴S1+S2=4
难点:函数知识的综合应用，通 过面积问题体会数形结合思想
y
0
y
x
0
x
初二数学组 徐
弦
k 设 P ( m , n )是双曲线 y ( k 0 )上任意一点 x (1)过 P 作 x 轴的垂线 , 垂足为 A, 则
SOAP 1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
⑷如图④，A、C是函数 的图象上的任意两点，过A作x轴 的垂线，垂足为B，过C作y轴的 垂线，垂足为D，记Rt⊿AOB的 面积为S1，Rt⊿OCD的面积为S2， 则（ ） C A．S1>S2 B．S1< S2 C．S1=S2 D．S1和S2的大小关系不确定
解:由性质1，S⊿OAB=S⊿OCD，可知选 C
图②
启发：如果去掉⑵中的“如图”，结论如何？
x
⑵如图②，点P是反比例函数 y k (k 0) 图象上的 一点，过P分别向x轴，y轴引垂线段，与x、y轴所围成 的矩形的面积是3，则这个反比例函数的解析式是
k 举一反三, 在平面直角坐标系内，从反比例函数y= x
的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围 成的矩形的面积是12，则该函数解析式是 图②
分析：由性质1，得
| k | | 2| 1 S⊿OPD= 2 2
o
y
P(m,n) D
x
图①
如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于 点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函 数的解析式为 ． 4
y
x
B
y
A(m,n)
点评：将△ABO通过“等 积变换”同底等高变为 △ABP
2 y x
A
S△ABC=
k
D C
O
x B
y=-2x
y
2 y x
A
S四边形ACBD=
2k
D C
O
x B
y=-2x
y
2源自文库y x
A
S△ABE=
2k
D C E
O
x B
y=-2x
y
2 y x
A C E
O
S矩形AEBF=
4k
F D B
x
y=-2x
⑵解法2： 如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点 作BD⊥x轴于D 由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4， ∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD
y
A(1，8 ) B (4，2 )
oC D
x
1 =4+ (2 8) 3 －4=15 2
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，2)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
P
o
x
k y 如图：点A在双曲线 x 上，AB⊥x轴于B， 且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k= -4
分析：由性质1可知，
|k| 2 S⊿AOB= 2
∴k=±4, ∵k<0， ∴k=-4
如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定
3 点，点B是双曲线 y ( x 0)上的一个动点，当点B x
图③
x
2 设疑4：如图，过反比例函数 y x ( x 0) 图象上任意 两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结 OA、OB，设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB 的面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 ( B ) A．S1>S2 B．S1=S2 C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
y
(0，10 ) D
A(1，8 ) B (4，2 ) C(5,0) x
则 C (5,0)，D(0,10)， 于是 S⊿OAB=25 － 5 －5 =15
o
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，2)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
学 习 目 标
1、会推导反比例函数与三角形、矩形面积 关系的性质；灵活运用性质解决与面积有关 的问题。 2、引导学生自主探索，合作研讨，培养观 察、分析、归纳问题的能力，体会数形结合 的思想。
3、通过学习活动培养学生积极参与和勇于 探索的精神，激发学习热情。
重 点 . 难 点
重点:性质的灵活运用；
1 y x
y A(m,n) B C D
o
x
图④
1 3 y y ⑸. 如图，点A在双曲线 x x 上，点B在双曲线 上，
且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩 形，则它的面积为 2 .
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，n)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。 m y y 解：⑴ 将A(1，8 )代入 x A 中得：m=1×8=8， 8 故所求函数解析式为 y B x ∴B(4,n) x o 将A(1，8 ) 和B (4，2)代入 y=kx+b k b 8 k 2 中得： 4k b 2 解得： 先设出函数解析式，再根据 b 10
y 以上两条性质 在课本内没有 提及，但在这 几年的中考中 都有出现，所 以在这里要把 它总结出来。
y
B
P(m,n) A
B
P(m,n) A
o
x
o
x
⑶如图③，设P(m，n)关于原点的对称点 P′(－m，－n)，过P作x轴的垂线与过P′作y轴的 垂线交于A点，则S⊿PAP′= 2|k |
图③
2 y ⑴如图①，点P(m,n)是反比例函数 x 图象上的任 意一点，PD⊥x轴于D，则⊿POD的面积为 1
y
A E C B
o D
x
设疑6．如图④，已知双曲线 经过长方形 OCED的边ED的中点B，交CE于点A，若四边形OAEB 的面积为2，则k的值为 2 分析： 由性质⑴知，S⊿OAC=S⊿OBD= ， 由S矩形OCED= S⊿OAC+S⊿OBD+SOCED=4S⊿OBD 得， k k k， 2 4 2 2 2 解得，k=2
条件确定解析式中未知的系 故所求的一次函数的解析式为：数，从而具体写出这个式子 的方法，叫做待定系数法。 y=－2x+10
m 探究1：反比例函数 y 与一次函数y=kx+b交于点 x A(1，8 ) 和B (4，n)， 求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。
⑵解法1：设直线y=－2x+10 与x轴、y轴分别交于点C，D
想一想？
y P(m,n) o
y P(m,n)
A
x
o
A
x
k 设 P ( m , n )是双曲线 y ( k 0 )上任意一点 x ( 2)过P分 别 作x轴, y轴 的 垂 线 ,垂足分别为 A, B,
则S矩形OAPB OA AP | m | | n || k | (如 图 所 示 ).