一类高阶中立型泛函微分方程周期解

定义范数为 Ｉ ＝ ａ｛ ｌ ｝ Ｉ ｍ ｘ Ｉ ； ｌ
ｃ ＝｛ Ｉ ∈Ｃ （ ， ） ∈（ ＋ ＝ （） Ｖ ∈ ， Ｒ Ｒ ， ｔ ） ｔ， ｔ Ｒ｝
定义范数为 Ｉ ＝ ａ ｛ Ｉ ｍｘ Ｉ ， ｌ ｝ ： ｌ ．
近年 来 ， 于一 阶 和 二 阶微 分 方 程周 期 解 的存 关 在性 与 唯 一 性 的研 究 取 得 了 很 多 结 果 ， 如 文 献 比
收 稿 日期 ： ０ １— ３— ４ ２１ ０ ２
’ｔ ， 以方 程 （ ） （）所 ２ 的解 （） Ｒ， ． 由 ｔＥＣ （ Ｒ） 再
弓理 １ Ｉ 易知，ｅＬ ＲＩ ＝ ， （ ｄ ＝ Ｋｒ ＝ ， ｍＬ ｛：∈ｙ Ｊ ｓ ｓ ）
变元 的二 阶微 分方 程 ” ｔ （ — （） ＋ｇ （ — ｔ ） （）＋ ｔ ｆ ｔ ） （ ｔ （ ） ）＝ｅ ｔ （ ） （） １
Ｎ （）＝ － （ ｔ ｒ ｔ） ｇ ｘ ｔ （） ）＋ｅｔ． ｘｔ ｆ （ — （） ）一 （ （ —ｙ ｔ） （）
（） ４
周期 解 的存 在唯 一性 ， 中 ， ，Ｅ Ｃ（ Ｒ） 连 续 其 ｒｙ ｅ Ｒ， 是
Ｖ ∈Ｅ ｆ
Ｉ ， ｆ （
究如下一类具偏差变元的高阶中立型泛 函微分方程
（ ｔ ｃ （ 一 ） ‘ ＋ （ — （） ）＋ （ ）一 ｘ ｔ ）＂ ｔ ｆ ）
ｇ （ — ｔ ） （ ｔ （） ）＝ｅ ｔ （） （） ２
由文献 ［ ］ 知 ， 程 （ ） 解 （ ） 足 ∈ ９可 方 ２ 的 ｔ满
ห้องสมุดไป่ตู้
ｅ ｃ Ｒ， ） ∈ （ Ｒ 是连续的 一 周期函数，Ｉ （）ｔ ， ｔｄ ＝０ ｅ
ｆ ｇ∈ Ｃ （ Ｒ） ， Ｒ， 且 ｂ ｇ ｂ ≠ｅ ｔ ， ｂ ）＋ （ ） （ ） Ｖｔ ∈Ｒ ， ， ， Ｃ 是 常数 且 ＩＩ ． ≠１ Ｃ 显 然 ， ｃ＝０ ｎ＝２时 ， 程 （ ） 化 为 方 程 当 ， 方 ２ 退
文章编 号 ： ００— ４ ３ ２ １ ） ｌ ０ ３— ６ １０ ５ ６ （０ ２ ｏ 一０３ ０
一
类 高 阶 中立型 泛 函微 分 方 程 周 期解
秦发金 ， 晓洁 姚
（ 广西柳州师范高等专科学校 数学 与计算机科学 系， 广西柳州 ５ ５０ ） ４０ ４
摘要 ： 利用重合度理论 ， 究了一类具有偏差变元的高阶中立型泛函微分方程（ ｔ ＋ （ 一 ） ＋ （ 一 （） ） 研 （） ｔ ） ￡ ｆ ｔ） ＋
Ｌ Ｄ ｍ Ｌ ＿ ｙ ：ｏ ｃ ＋ ，
∈Ｒ ｝ ．
＝（ ， Ａ）
（） ３
其 中 Ｄ ｍ Ｌ＝｛ ∈ Ｃ （ Ｒ） （ ＋Ｔ ； ｔ ， ｏ ： Ｒ， ， ｔ ） （） Ｖｔ
定 义 Ｊ： ｙ为 ７ 、 ，
［ ］一［ ］． 献 ［ ］ １ ７ 文 ７ 研究 了下面 一类 具 有 ２个 偏 差
华南师范大学学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ ２年 ２月
Ｆｂ ０２ ｅ ．２ １
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴ ＣＨＩ Ｈ ＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳＴＹ Ｉ
第４ ４卷 第 １期
Ｖ １４ Ｎｏ １ ０． ４ ．
（ Ａ Ｕ Ａ ＣＥ Ｃ ＤＩＩ Ｎ） Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ ＩＮ Ｅ Ｅ ＴＯ
为 了方 便研 究 ， 本文 引进 下 面记号 ：
ｌ
／ ，
、
（ ）本文利用新的分析技巧和重合度理论 ， １． 得到 了 方程 （ ） 期 解 存 在 唯 一 性 的 新 充 分条 件 ． 得 结 ２周 所
果并 不要 求ｒ（）＜１ （）＜１ 而且 与 时 滞 无 关 ， ｔ ， ｔ ， 从而 推广 和改进 了文献 ［ ］ ７ 的结 果． 取 Ｘ＝ｃ ， Ｙ＝Ｃ ， 则 和 ｙ都 是 Ｂｎｃ 间． ａａｈ空 定义 线性 映射
Ａ： ｌ （ ｘ （ ）＝ ｔ ， ａ ） ｔ （）一ｃ （ 一 ， ， ｔ ）
ｌＩ ｌ ０（Ｉｔ ， Ｉ ｍ Ｉ Ｉ 上 ｌ ＊ ［ ） ）ｄ 。 （ ・ Ｊ ａ ， 州 ｘ
Ｃ ＝｛ ∈ Ｃ Ｒ， ， ｒ Ｉ （ Ｒ） ∈（ ＋Ｔ ＝ ， ∈ ｝ ｔ ） （） Ｖｔ Ｒ ，
１ ｌ 一 ｌ ｌ ｌ 一ｌ ｌ ， ∈Ｙ ） ≤ ｌ ｌ １ Ｖ Ａ ／Ｉ ｃ Ｉ ；
而， 据笔 者所 知 ， 目前 关 于高 阶 中立 型泛 函微 分方 程 周期 解 的存 在 唯一 性 还 未 见相 关 报 道 ， 因此 本 文 研
２ 一 ） ｄ ｒ ㈤Ｉ ｔ ＜ ￣
ｒ
的 一 周期函数， （ ＜ ， （ ＜ ， ｅｔｄ ＝ ， ｆ ｔ １ ｔ １ Ｉ （）ｔ ０ ） ）
ｆｇ ，∈Ｃ （ Ｒ） 。 Ｒ， 且 ｃ ｇ Ｃ ）＋ （ ）≠ ｅ ｔ ， ，ＥＲ．然 （ ） Ｖｔｃ
引理 １ 【
续逆 ， 且满 足
如 果 ＩＩ ， Ａ存 在 唯 一 有 界 连 ≠１ 则 ｃ
Ｃ （ Ｒ） Ｒ， 且 ∈ Ｃ （ Ｒ） 一般 地 ， ｔ 不 一 定 属 Ｒ， ． （ ）
周 期解 的存 在性 与 唯 一性 ， 中 ｎ≥２为整 数 ， ， 其 ． ， ｒ
于 ｃ （ Ｒ ， 是 当 Ｉ ≠１时， Ｒ， ） 但 Ｉ Ｃ 由引理 １易见
（ ）（） Ａ ）（ ）（）＝ ｘ （） … ， ） （）＝ ｔ ＝ ｘ ， ” Ａ ｔ ， （ ｔ
ｇ ｘ ｔ （） ）＝ｅ ｔ周 期解 问题 ， （ （ —ｙ ｔ ） （） 获得 了这 类方程存在 唯一周期解的新结果 ， 推广和 改进 了 已有 的相关结果．
关键词 ： 阶中立型泛函微分 方程 ； 高 周期解 ；存在唯一性 ；重合度
中 图分 类 号 ： １５ ６ Ｏ ７ ． 文 献 标 志码 ： Ａ