4.1 一级动力学反应模型
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Mg R
(4.1.14)
0.32293 标准大气压，和模型一的计算结果很接近.
4.1.4 海拔与大气压
3. 强健性分析
执行以下 MATLAB 程序，绘图观察(4.1.12)式和 (4.1.15)式的计算结果之间的差别： M=28.8e-3; g=9.8; R=8.315; a=0.006; T1=273; T0=293; p1=@(y)exp(-M.*g./R./T1.*y); p2=@(y)(1-a./T0.*y).^(M.*g./R./a); [p1(8844),p2(8844)] % 珠峰峰顶的大气压 y=0:10000; plot(y,p1(y),'k:',y,p2(y),'k') „„ 命令窗口显示的计算结果为： ans = 0.333 0.32293
t
lim x (t ) A ；当 x0 A ，有 x(t ) A 且 lim x (t ) A .
t
在(4.1.6)式，令 dx dt k ( x A) 0 ，解得 x=A， 这是微分方程(4.1.6)式唯一的临界点 （即平衡点） 以 . 上分析说明，临界点 x=A 是渐进稳定的.
p p0e
Mg y RT1
(4.1.12)
4.1.4 海拔与大气压
1. 模型一
根据模型一的假设和(4.1.12)式，如果 p0 =1，可 以计算得，在珠穆朗玛峰顶海拔 8844 米，大气压只 有 0.333 标准大气压，空气非常稀薄，于是解释了登 山运动员需要携带氧气瓶的原因. 但是模型一假设大气温度不随海拔升高而变化 明显不符合实际，可能会导致计算有一定偏差.
4.1.4 海拔与大气压
2. 模型二
初值问题(4.1.10)式就变为 dp Mgp , p(0) p0 dy R y T0 初值问题(4.1.14)式可以用分离变量法解得
(4.1.15) p p0 1 y T0 如果 p0 =1，可以计算得在珠穆朗玛峰顶大气压只有
4.1.4 海拔与大气压
根据物理学知识，可以假设大气压对海拔的变化 率与大气压成正比，因此在海拔 y 米处，大气压 p 满 足微分方程初值问题 (4.1.10) dp dy kp , p(0) p0 其中比例系数
Mg (4.1.11) k RT 其中，T 为海拔 y 米处的气温（单位：K） ，常数 R M 28.8 103 kg/mol ， =9.8m/s2 ， 8.315J/mol K . g
0
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 解答（续） 而根据测量结果，有 dx dt t 1950 4.09 dx dt t t 6.68
0
所以 x(1950) x(t0 ) 4.09 6.68 ，再根据(4.1.4)式，有
e0.000121(1950t0 ) 4.09 6.68 解得 t0 2104.3 (年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前 21 世纪.
x(t ) A x0 A e
k t t0
(4.1.7)
（提示：可做变量替换 y(t ) x(t ) A ）
4.1.3 牛顿冷却定律
根据(4.1.7)式，当 x0 A ，有 x(t ) A ，即微分方 程 (4.1.6) 式 的 常 数 解 ； 当 x0 A ， 有 x(t ) A 且
一级动力学反应的指数衰减过程和半衰期 x=x 0
x=x 0/2
x
t=0
t=
t
图4.1
4.1.2 碳-14测年法
当人们看见一件很古老的东西，最常见的疑问是 “这是多少年前的东西”？考古学家一直在努力发展 新技术来考证古物的年代. 在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14 定年 法”最为普遍. 它的原理是根据生物体死亡之后，体 内碳-14 衰减的速率来估计年代. 美国化学家威拉得· 法兰克· 利比（Willard Frank Libby）因在 20 世纪 40 年代发明碳-14 定年法而于 1960 年获得诺贝尔化学奖.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 解答 记发掘出古莲籽的时间为 t 年，古莲籽生 活的年代为 t 0 年，则根据测量结果，有 (4.1.5) x(t ) 0.879x(t0 ) 由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有 e0.000121(t t0 ) 0.879 所以 t t0 1065.9 ，即古莲籽生活的年代大约在发掘 时间之前 1066 年.
4.1.2 碳-14测年法
碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛 存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚 石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本. 自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%） 、 碳-13 及碳-14（极少）. 碳-12 和碳-13 属稳定型，碳 -14 具有放射性. 碳-14 是由宇宙射线撞击空气中的氮 原子而产生，衰变方式为 β 衰变，碳-14 原子转变为 氮原子. 碳-14 的半衰期长达 5730 年，考古学家就是 根据碳-14 的半衰期计算年代.
4.1.4 海拔与大气压
为什么攀登珠穆朗玛峰的登山运动员需要携带 Байду номын сангаас气瓶呢？ 人体从大气吸入氧气的能力主要依赖于大气压. 当大气压低于 0.65 105 Pa ， 人体吸入的氧气就会显著 下降. 地球海拔 6000 米以上的地区没有永久性居民， 人类在海拔更高的地方仅能短暂生存，这都是因为大 气压随着海拔增高而下降.
4.1.2 碳-14测年法
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子. 放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素. 放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.
4.1.4 海拔与大气压
1. 模型一
假 设 在 任 何 海 拔 高 度 气 温 都 是 T1 273K （ 即 0 C ） 海平面大气压为 p0 个标准大气压 ， （1 个标准大 气压等于 1.013 105 Pa ） ，并且忽略海拔高度对重力加 速度 g 的影响，则初值问题(4.1.10)式改写为 dp Mg p , p(0) p0 dy RT1 所以
4.1.2 碳-14测年法
因为碳-14 的半衰期为 τ=5730 年， 所以根据(4.1.3) 式可计算得到 k=0.000121，由此可知碳-14 的衰变服 0.000121t t0 从公式 (4.1.4) x(t ) x0e x=x(t)是古物中的碳-14 在时刻 t 的剩余量，x0 x(t0 ) . 例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出 的古莲籽，至今大部分还能发芽开花. 现测得出土的 古莲籽中碳-14 的剩留量占原始量的 87.9%，试推算 古莲籽生活的年代.
4.1.4 海拔与大气压
2. 模型二
仍假设海平面大气压为 p0 个标准大气压， 并且忽 略海拔高度对重力加速度 g 的影响.在平流层， 也就是 从地面到海拔约 11 千米之间的大气层，大气温度 T 随着海拔 y 的增加而递减，可以简单的假设成 (4.1.13) T T0 y 其中设海平面气温 T0 293K （即 20 C ） ，下降率 （α 因大气条件不同而变化， 取平均值） . 0.006K/m Mg 将(4.1.13)式代入(4.1.11)式，得 k . R T0 y
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 1950 年在巴比伦发现一根刻有汉穆拉比王朝字 样的木炭， 当时测定， 其碳-14 原子的衰减速度为 4.09 个/(g· min)，而新砍伐烧成的木炭中碳-14 原子的衰减 速度为 6.68 个/(g· min). 请估算出汉穆拉比王朝所在 年代. 解答 记发现汉穆拉比王朝木炭的时间为 t=1950 年， 汉穆拉比王朝所在年代为 t 0 年， 根据(4.1.1) 式，有 dx dt t 1950 k x(1950) ， dx dt t t k x(t0 ) .
4.1.3 牛顿冷却定律
例 4.1.3 热茶水的冷却 解答（续） 从开始冷却算起，2 分钟后，茶水温度降到 80 C ，即 (4.1.8) 15 80e2 k 80 如果茶水在时刻 t 的温度是 37 C ，则 (4.1.9) 15 80e kt 37 联 立 (4.1.8) 式 和 (4.1.9) 式 ， 可 以 解 得 k=0.10382 ， t=12.435. 即从开始冷却算起， 分 26 秒后茶水温度 12 降到 37 C . 根据前面对(4.1.7)式的讨论知，如果室温 保持在 15 C 不变，茶水不可能冷却到 12 C .
4.1.3 牛顿冷却定律
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律 来描述：物体温度对时间的变化率与物体温度和它周 围介质温度之差成正比. 记物体在时刻 t 的温度为 x=x(t)，它周围介质的温度为 A，设 A 保持不变，则 根据牛顿冷却定律建立微分方程模型（k>0） (4.1.6) dx dt k ( x A) (4.1.6)式满足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为
第4章
常微分方程模型
4.1节
一级动力学反应模型
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物 含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程 (4.1.1) dx dt kx 其中 t 为时间，x=x(t)为 t 时刻系统中反应物的含量， 一阶导数 dx dt 是反应速率，比例系数 k 是反应速率 常数，k>0，负号表示反应物的含量在衰减. 一级动力学反应的数学模型(4.1.1)式有很多应 用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸 收与排除、污染物降解等.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
在初始时刻 t 0 ， 设反应物的含量为 x0 . (4.1.1)式满 足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为 (4.1.2) x(t ) x0e 0 (4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时 间衰减.
k t t
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
半衰期是指某种特定物质的含量经过某种反应 降低到初始值的一半所消耗的时间，记为 τ 或 t1 2 . 在(4.1.2)式中，令 t t0 且 x(t ) x0 2 ，则
x0 2 x0ek
所以 (4.1.3) k ln 2 所以一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无 关的常数.
牛 顿 冷 却 定 律 dx/dt=-k(A-x)的 典 型 解 曲 线
温度x
x=A
时间t
图4.2
4.1.3 牛顿冷却定律
例 4.1.3 热茶水的冷却 现有一杯 95 C 的热茶，放置在 15 C 的房间中， 如果 2 分钟后，茶水温度降到 80 C ，问从开始冷却 算起，多长时间之后茶水温度降到 37 C ？茶水会不 会冷却到 12 C ？ 解答 由题意， x0 95 C ，A 15 C ， t0 0 ， 有 设 由(4.1.7)式，茶水在时刻 t（分钟）的温度（ C ）为 x(t ) 15 80ekt
4.1.2 碳-14测年法
碳-14 与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中， 生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳 -14，且与大气中的碳-14 维持恒定. 但是一旦生物体 死亡，体内的碳-14 无法补充，每隔 5730 年就会减少 一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、 木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14 浓度，就可以推算 出生物体于何时停止补充碳-14， 也就是生物体已死亡 多久的时间. 碳-14 定年法只适用于测定距今 70000 年内的古物所属的年代.
(4.1.14)
0.32293 标准大气压，和模型一的计算结果很接近.
4.1.4 海拔与大气压
3. 强健性分析
执行以下 MATLAB 程序，绘图观察(4.1.12)式和 (4.1.15)式的计算结果之间的差别： M=28.8e-3; g=9.8; R=8.315; a=0.006; T1=273; T0=293; p1=@(y)exp(-M.*g./R./T1.*y); p2=@(y)(1-a./T0.*y).^(M.*g./R./a); [p1(8844),p2(8844)] % 珠峰峰顶的大气压 y=0:10000; plot(y,p1(y),'k:',y,p2(y),'k') „„ 命令窗口显示的计算结果为： ans = 0.333 0.32293
t
lim x (t ) A ；当 x0 A ，有 x(t ) A 且 lim x (t ) A .
t
在(4.1.6)式，令 dx dt k ( x A) 0 ，解得 x=A， 这是微分方程(4.1.6)式唯一的临界点 （即平衡点） 以 . 上分析说明，临界点 x=A 是渐进稳定的.
p p0e
Mg y RT1
(4.1.12)
4.1.4 海拔与大气压
1. 模型一
根据模型一的假设和(4.1.12)式，如果 p0 =1，可 以计算得，在珠穆朗玛峰顶海拔 8844 米，大气压只 有 0.333 标准大气压，空气非常稀薄，于是解释了登 山运动员需要携带氧气瓶的原因. 但是模型一假设大气温度不随海拔升高而变化 明显不符合实际，可能会导致计算有一定偏差.
4.1.4 海拔与大气压
2. 模型二
初值问题(4.1.10)式就变为 dp Mgp , p(0) p0 dy R y T0 初值问题(4.1.14)式可以用分离变量法解得
(4.1.15) p p0 1 y T0 如果 p0 =1，可以计算得在珠穆朗玛峰顶大气压只有
4.1.4 海拔与大气压
根据物理学知识，可以假设大气压对海拔的变化 率与大气压成正比，因此在海拔 y 米处，大气压 p 满 足微分方程初值问题 (4.1.10) dp dy kp , p(0) p0 其中比例系数
Mg (4.1.11) k RT 其中，T 为海拔 y 米处的气温（单位：K） ，常数 R M 28.8 103 kg/mol ， =9.8m/s2 ， 8.315J/mol K . g
0
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 解答（续） 而根据测量结果，有 dx dt t 1950 4.09 dx dt t t 6.68
0
所以 x(1950) x(t0 ) 4.09 6.68 ，再根据(4.1.4)式，有
e0.000121(1950t0 ) 4.09 6.68 解得 t0 2104.3 (年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前 21 世纪.
x(t ) A x0 A e
k t t0
(4.1.7)
（提示：可做变量替换 y(t ) x(t ) A ）
4.1.3 牛顿冷却定律
根据(4.1.7)式，当 x0 A ，有 x(t ) A ，即微分方 程 (4.1.6) 式 的 常 数 解 ； 当 x0 A ， 有 x(t ) A 且
一级动力学反应的指数衰减过程和半衰期 x=x 0
x=x 0/2
x
t=0
t=
t
图4.1
4.1.2 碳-14测年法
当人们看见一件很古老的东西，最常见的疑问是 “这是多少年前的东西”？考古学家一直在努力发展 新技术来考证古物的年代. 在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14 定年 法”最为普遍. 它的原理是根据生物体死亡之后，体 内碳-14 衰减的速率来估计年代. 美国化学家威拉得· 法兰克· 利比（Willard Frank Libby）因在 20 世纪 40 年代发明碳-14 定年法而于 1960 年获得诺贝尔化学奖.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 解答 记发掘出古莲籽的时间为 t 年，古莲籽生 活的年代为 t 0 年，则根据测量结果，有 (4.1.5) x(t ) 0.879x(t0 ) 由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有 e0.000121(t t0 ) 0.879 所以 t t0 1065.9 ，即古莲籽生活的年代大约在发掘 时间之前 1066 年.
4.1.2 碳-14测年法
碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛 存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚 石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本. 自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%） 、 碳-13 及碳-14（极少）. 碳-12 和碳-13 属稳定型，碳 -14 具有放射性. 碳-14 是由宇宙射线撞击空气中的氮 原子而产生，衰变方式为 β 衰变，碳-14 原子转变为 氮原子. 碳-14 的半衰期长达 5730 年，考古学家就是 根据碳-14 的半衰期计算年代.
4.1.4 海拔与大气压
为什么攀登珠穆朗玛峰的登山运动员需要携带 Байду номын сангаас气瓶呢？ 人体从大气吸入氧气的能力主要依赖于大气压. 当大气压低于 0.65 105 Pa ， 人体吸入的氧气就会显著 下降. 地球海拔 6000 米以上的地区没有永久性居民， 人类在海拔更高的地方仅能短暂生存，这都是因为大 气压随着海拔增高而下降.
4.1.2 碳-14测年法
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子. 放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素. 放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.
4.1.4 海拔与大气压
1. 模型一
假 设 在 任 何 海 拔 高 度 气 温 都 是 T1 273K （ 即 0 C ） 海平面大气压为 p0 个标准大气压 ， （1 个标准大 气压等于 1.013 105 Pa ） ，并且忽略海拔高度对重力加 速度 g 的影响，则初值问题(4.1.10)式改写为 dp Mg p , p(0) p0 dy RT1 所以
4.1.2 碳-14测年法
因为碳-14 的半衰期为 τ=5730 年， 所以根据(4.1.3) 式可计算得到 k=0.000121，由此可知碳-14 的衰变服 0.000121t t0 从公式 (4.1.4) x(t ) x0e x=x(t)是古物中的碳-14 在时刻 t 的剩余量，x0 x(t0 ) . 例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽 在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出 的古莲籽，至今大部分还能发芽开花. 现测得出土的 古莲籽中碳-14 的剩留量占原始量的 87.9%，试推算 古莲籽生活的年代.
4.1.4 海拔与大气压
2. 模型二
仍假设海平面大气压为 p0 个标准大气压， 并且忽 略海拔高度对重力加速度 g 的影响.在平流层， 也就是 从地面到海拔约 11 千米之间的大气层，大气温度 T 随着海拔 y 的增加而递减，可以简单的假设成 (4.1.13) T T0 y 其中设海平面气温 T0 293K （即 20 C ） ，下降率 （α 因大气条件不同而变化， 取平均值） . 0.006K/m Mg 将(4.1.13)式代入(4.1.11)式，得 k . R T0 y
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 1950 年在巴比伦发现一根刻有汉穆拉比王朝字 样的木炭， 当时测定， 其碳-14 原子的衰减速度为 4.09 个/(g· min)，而新砍伐烧成的木炭中碳-14 原子的衰减 速度为 6.68 个/(g· min). 请估算出汉穆拉比王朝所在 年代. 解答 记发现汉穆拉比王朝木炭的时间为 t=1950 年， 汉穆拉比王朝所在年代为 t 0 年， 根据(4.1.1) 式，有 dx dt t 1950 k x(1950) ， dx dt t t k x(t0 ) .
4.1.3 牛顿冷却定律
例 4.1.3 热茶水的冷却 解答（续） 从开始冷却算起，2 分钟后，茶水温度降到 80 C ，即 (4.1.8) 15 80e2 k 80 如果茶水在时刻 t 的温度是 37 C ，则 (4.1.9) 15 80e kt 37 联 立 (4.1.8) 式 和 (4.1.9) 式 ， 可 以 解 得 k=0.10382 ， t=12.435. 即从开始冷却算起， 分 26 秒后茶水温度 12 降到 37 C . 根据前面对(4.1.7)式的讨论知，如果室温 保持在 15 C 不变，茶水不可能冷却到 12 C .
4.1.3 牛顿冷却定律
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律 来描述：物体温度对时间的变化率与物体温度和它周 围介质温度之差成正比. 记物体在时刻 t 的温度为 x=x(t)，它周围介质的温度为 A，设 A 保持不变，则 根据牛顿冷却定律建立微分方程模型（k>0） (4.1.6) dx dt k ( x A) (4.1.6)式满足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为
第4章
常微分方程模型
4.1节
一级动力学反应模型
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物 含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程 (4.1.1) dx dt kx 其中 t 为时间，x=x(t)为 t 时刻系统中反应物的含量， 一阶导数 dx dt 是反应速率，比例系数 k 是反应速率 常数，k>0，负号表示反应物的含量在衰减. 一级动力学反应的数学模型(4.1.1)式有很多应 用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸 收与排除、污染物降解等.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
在初始时刻 t 0 ， 设反应物的含量为 x0 . (4.1.1)式满 足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为 (4.1.2) x(t ) x0e 0 (4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时 间衰减.
k t t
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
半衰期是指某种特定物质的含量经过某种反应 降低到初始值的一半所消耗的时间，记为 τ 或 t1 2 . 在(4.1.2)式中，令 t t0 且 x(t ) x0 2 ，则
x0 2 x0ek
所以 (4.1.3) k ln 2 所以一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无 关的常数.
牛 顿 冷 却 定 律 dx/dt=-k(A-x)的 典 型 解 曲 线
温度x
x=A
时间t
图4.2
4.1.3 牛顿冷却定律
例 4.1.3 热茶水的冷却 现有一杯 95 C 的热茶，放置在 15 C 的房间中， 如果 2 分钟后，茶水温度降到 80 C ，问从开始冷却 算起，多长时间之后茶水温度降到 37 C ？茶水会不 会冷却到 12 C ？ 解答 由题意， x0 95 C ，A 15 C ， t0 0 ， 有 设 由(4.1.7)式，茶水在时刻 t（分钟）的温度（ C ）为 x(t ) 15 80ekt
4.1.2 碳-14测年法
碳-14 与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中， 生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳 -14，且与大气中的碳-14 维持恒定. 但是一旦生物体 死亡，体内的碳-14 无法补充，每隔 5730 年就会减少 一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、 木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14 浓度，就可以推算 出生物体于何时停止补充碳-14， 也就是生物体已死亡 多久的时间. 碳-14 定年法只适用于测定距今 70000 年内的古物所属的年代.