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xa (t) p(t)
5
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
Xˆ a ( j) xˆa (t)e jtdt
p(t) (t nT)
xa (t) (t nT )e jtdt
xˆa (t) xa (t) p(t)
n
xa (t) (t nT )e jtdt
n
xa (nT )e jnT
xe (n) xe*(n)
（2.2.9）
则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什
么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示： e----even
xe (n) xer (n) jxei (n)
o---odd r---real
i----image
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引 言
我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分 析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续 变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域， 则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换 表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号 （序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用 信号的傅里叶变换或Z变换表示。
列：
xor (n) xor (n)
（2.2.12）
将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：
xo (n) xor (n) jxoi (n)
xe* (n) xer (n) jxei (n)
对比上面两公式，因左边相等，因此得到：
xer (n) xer (n)
（2.2.10）
xei (n) xei (n)
（2.2.11）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚
部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序
本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号 处理的理论基础。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 时域离散信号的傅里叶变换
的定义及性质
时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变 换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。
2.2.1 时域离散信号傅里叶变换的定义
X (e j ) x(n)e jn x(n)e j(2πM )n X (e j(2πM ) )
n
n
Ｍ为整数 (2.2.5)
观察上式，得到傅里叶变换是频率ω的周期函数，周 期是2π。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图2.2.2 cosωm 的波形
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
j
r=1
P34 式（2.2.5）
i P24 图（1.5.3）c)
n
nT
n T
/
fs
2 f
fs
f
s
f /
2
P46 图（2.4.1）
xa (n)e jn
n
X (e j ) x(n)e jn DTFT
n
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
xa(t)
预滤
A/ DC
数字信号处理
D/ AC
平滑滤波
序列x(n)的傅里叶变换定义为
X (e j ) FT[x(n)] x(n)e jn n
（2.2.1）
第2章 p(时t)域离散信号和系统的频域分析
xa (t)
xa (t) p(t) xˆa (t)
理想抽样
xˆa (t)
p(t) (t nT)
…
t
T
fs
1
T
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT[x(n n0 )] e jm0 X (e j ) FT[ej0n x(n)] X (ej(0 ) )
(2.2.7) (2.2.8)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
4． FT的对称性 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称 与共轭反对称，以及它的性质。 设序列xe(n)满足下式：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
【例2.2.1】 设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。
解 x(ej )
N 1
RN (n)e jn e j
n
n0
1 e jN 1 e j
e jN /2 (e jN /2 e jN /2 ) e j/2 (e j/2 e j/2 )
j( N 1)
2． 线性 设X1(ejω)=FT［x1(n)］, X2(ejω)=FT［x2(n)］, 那么
FT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(e j ) bX 2 (e j)
(2.2.6)
式中, a，b是常数。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3．时移与频移 设X(ejω)=FT［x(n)］, 那么
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引 言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号
傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题
分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
| x(n) |
n
X(ejω)的傅里叶反变换为
（2.2.2）
x(n) 1 π X (ej )e jnd 2π π
正变换为 X (e j ) x(n)e jn n
离散时间傅里叶变换 DTFT
（2.2.3）
离散频率傅里叶变换 DFFT?
ya(t)
f
f
Biblioteka Baidu
fs 2
fs 2
数字频率
T
/
fs
2 f
fs
f
s
f /
2
f fs /
2
0,1
归一化频率
Fs=1000Hz, 则100Hz对应0.2 Fs=2000Hz, 则100Hz对应0.1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充
e2
sin( N
/
2)
sin( / 2)
（2.2.4）
当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如 图2.2.1所示。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 时域离散信号傅里叶变换的性质
1． FT的周期性 在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：
5
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
Xˆ a ( j) xˆa (t)e jtdt
p(t) (t nT)
xa (t) (t nT )e jtdt
xˆa (t) xa (t) p(t)
n
xa (t) (t nT )e jtdt
n
xa (nT )e jnT
xe (n) xe*(n)
（2.2.9）
则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什
么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示： e----even
xe (n) xer (n) jxei (n)
o---odd r---real
i----image
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引 言
我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分 析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续 变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域， 则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换 表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号 （序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用 信号的傅里叶变换或Z变换表示。
列：
xor (n) xor (n)
（2.2.12）
将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：
xo (n) xor (n) jxoi (n)
xe* (n) xer (n) jxei (n)
对比上面两公式，因左边相等，因此得到：
xer (n) xer (n)
（2.2.10）
xei (n) xei (n)
（2.2.11）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚
部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序
本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号 处理的理论基础。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2 时域离散信号的傅里叶变换
的定义及性质
时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变 换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。
2.2.1 时域离散信号傅里叶变换的定义
X (e j ) x(n)e jn x(n)e j(2πM )n X (e j(2πM ) )
n
n
Ｍ为整数 (2.2.5)
观察上式，得到傅里叶变换是频率ω的周期函数，周 期是2π。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图2.2.2 cosωm 的波形
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
j
r=1
P34 式（2.2.5）
i P24 图（1.5.3）c)
n
nT
n T
/
fs
2 f
fs
f
s
f /
2
P46 图（2.4.1）
xa (n)e jn
n
X (e j ) x(n)e jn DTFT
n
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
xa(t)
预滤
A/ DC
数字信号处理
D/ AC
平滑滤波
序列x(n)的傅里叶变换定义为
X (e j ) FT[x(n)] x(n)e jn n
（2.2.1）
第2章 p(时t)域离散信号和系统的频域分析
xa (t)
xa (t) p(t) xˆa (t)
理想抽样
xˆa (t)
p(t) (t nT)
…
t
T
fs
1
T
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT[x(n n0 )] e jm0 X (e j ) FT[ej0n x(n)] X (ej(0 ) )
(2.2.7) (2.2.8)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
4． FT的对称性 在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称 与共轭反对称，以及它的性质。 设序列xe(n)满足下式：
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
【例2.2.1】 设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。
解 x(ej )
N 1
RN (n)e jn e j
n
n0
1 e jN 1 e j
e jN /2 (e jN /2 e jN /2 ) e j/2 (e j/2 e j/2 )
j( N 1)
2． 线性 设X1(ejω)=FT［x1(n)］, X2(ejω)=FT［x2(n)］, 那么
FT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(e j ) bX 2 (e j)
(2.2.6)
式中, a，b是常数。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3．时移与频移 设X(ejω)=FT［x(n)］, 那么
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 引 言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号
傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题
分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
| x(n) |
n
X(ejω)的傅里叶反变换为
（2.2.2）
x(n) 1 π X (ej )e jnd 2π π
正变换为 X (e j ) x(n)e jn n
离散时间傅里叶变换 DTFT
（2.2.3）
离散频率傅里叶变换 DFFT?
ya(t)
f
f
Biblioteka Baidu
fs 2
fs 2
数字频率
T
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fs
2 f
fs
f
s
f /
2
f fs /
2
0,1
归一化频率
Fs=1000Hz, 则100Hz对应0.2 Fs=2000Hz, 则100Hz对应0.1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充
e2
sin( N
/
2)
sin( / 2)
（2.2.4）
当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如 图2.2.1所示。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.2.2 时域离散信号傅里叶变换的性质
1． FT的周期性 在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：