第一讲几类特殊线性变换及其二阶矩阵
高考数学总复习 第1节 线性变换与二阶矩阵课件 苏教版选修4-2
1 矩阵称为切变变换矩阵．以 0
k 把平面上的点(x， 1
y)沿 x 轴方向平移|ky|个单位， 当 ky>0 时沿 x 轴正方向移动， 当 ky<0 时沿 x 轴负方向移动，当 ky＝0 时原地不动．
【基础自测】
1 －1 对应的变换作用下得到的点的坐 1． 点 A(3， －6)在矩阵 1 0 2
a11 a21
a12 b11 b12 a22b21 b22 a11×b12＋a12×b22 . a21×b12＋a22×b22
a11×b11＋a12×b21 ＝ a ×b ＋a ×b 21 11 22 21
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由 AB＝AC 不一定能推出 B＝C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数 相等时才能进行乘法运算．
a11 (2)二阶矩阵 a21 a11×x0＋a12×y0 a ×x ＋a ×y . 21 0 22 0
x0 a11 a12 x0 a12 与列向量 和乘法规则： ＝ a22 y0 a21 a22y0
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵， 其乘法法则如下：
1 M1＝ 0 1 0 ，M2＝ 0 1 0 0 ，M3＝ 0 0
0 确定的投影变换．需要注意 1
的是投影变换是映射，但不是一一映射． (6)由矩阵
1 M＝ 0
k 1 或 1 k
0 确定的变换称为切变变换，对应的 1
1 k 为例，矩阵 1 0
第 1节
线性变换与二阶矩阵
【知识梳理】 1．矩阵的相关概念 (1)由 4 个数
a a，b，c，d 排成的正方形数表 c
人教版高中数学选修四教学课件-几类特殊线性变换及其二阶矩阵
������'-������ 1
11
∴ ������'-������ = - 3 , ∴ ������'-������ = - 3 ������' + 3 ������,
������' = 3������'.
������' = 3������'.
13
1
∴
������'
=
10 3
������
+
10 9
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型四
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应 的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它 的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应 点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型三
伸缩变换
【例
3】在直角坐标系
xOy
内,将每个点的横坐标变为原来的
1 2
,
纵坐标变为原来的 2 倍, 求点������(1,2)在该变换作用下的像������′.
分析:可根据伸缩变换的坐标变换公式或对应的矩阵求解.
解:设点 M 在该变换作用下的像为 M'(x',y'),
答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
线性变换与二阶矩阵PPT课件
二阶矩阵的逆
总结词
二阶矩阵的逆是一个特殊的矩阵，它与原矩阵相乘等于单位矩阵。
详细描述
二阶矩阵的逆是一个重要的概念，它是一个与原矩阵互为逆元的特殊矩阵。如果一个二阶矩阵与其逆矩阵相乘等 于单位矩阵，则这个逆矩阵是存在的。求逆矩阵的方法有多种，如高斯消元法、伴随矩阵法等。在某些情况下， 如行列式值为零时，矩阵可能没有逆矩阵。
平移矩阵与平移操作
• 平移矩阵：平移矩阵也是二阶矩阵的一种，用于 表示平移操作。其一般形式为
平移矩阵与平移操作
```
| 0 1 ty |
| 1 0 tx |
平移矩阵与平移操作
```
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方
平移操作：平移操作是指通过平移矩阵
向上的平移距离。
对向量进行变换，使向量在指定的方向
03
线性变换与二阶矩阵的关系
线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的一种重要概念，它描述了一个向量空间 中的向量通过一个线性映射变为另一个向量空间的过程。在 矩阵表示中，线性变换可以用一个矩阵来表示，该矩阵的行 和列分别对应于输入和输出空间的基向量。
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，例如矩阵乘法对 应于线性变换的复合，矩阵的转置对应于线性变换的共轭， 以及矩阵的逆对应于线性变换的逆。
二阶矩阵与线性变换的转换
二阶矩阵是数学中一种常见的矩阵类型，它由四个数字组成，可以用来表示一个 线性变换。通过选择适当的基向量，可以将一个线性变换转换为二阶矩阵，反之 亦然。
二阶矩阵与线性变换的转换关系是线性的，即对于任意两个线性变换A和B，以及任 意标量k，有kA=AkB=BkA。
二阶矩阵在几何变换中的应用
通过矩阵变换，可以改变向量的长度、方向和位置，从而实现二维空间中的几何变 换。
1.1几类特殊线性变换及其二阶矩阵(第1-2课时)
？
k1 0 对应的二阶矩阵为 0 k2
？
一展身手
1.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶 矩阵为
1 0 ，求点A ( 1 ,3) 在该变换作用下的像A . 1 1 5 0 2
1 3 对应的 2.在平面直角坐标系中，点A在矩阵 1 5 2
x
求其坐标变换公式 和对应的二阶矩阵。
O
x x cos y sin y x sin y cos
cos sin sin cos
反射变换
y
P( x, y)
O x
求任意点P(x,y)对应到它关于x轴的 对称点P‘(x’,y‘)的坐标变换公式 和与之对应的二阶矩阵。
旋转变换
P( x, y)
旋转角为30o 的旋转变换
P( x, y )
3 2 1 2 1 2 3 2
x y
3 1 x y 2 2 1 3 x y 2 2
P( x, y)
旋转角为180o 的旋转变换
P( x, y )
x x y y
x x 0 y 即 y 0x y
1 0 0 1
x ax by 在平面直角坐标系xOy内，形如 ……③ y cx dy
（其中 a, b, c, d 均为常数）的几何变换叫做线性变换, ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.
①R360
0
②R90o
几点说明
a b 1.二阶矩阵 中的数 a, b, c, d 称为矩阵的元素； c d
最新人教版高中数学选修4-2几类特殊线性变换及其二阶矩阵
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激趣诱思 新知预习 知识结构
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
4.反射变换 一般地,我们把平面上的任意一点 P 变成它关于直线 l 的对称点 P' 的线性变换叫做关于直线 l 的反射. 在直角坐标系 xOy 内,任意一点 P(x,y),①变成它关于 x 轴的对称点 ������' = ������, 1 0 P'(x',y'),相应的坐标变换公式是 ,对应的二阶矩阵是 ;② 0 -1 ������' = -������ 变成它关于 y 轴的对称点 P'(x',y'),相应的坐标变换公式是 ������' = -������, ,对应 ������' = ������
重点难点
1.重点:二阶矩阵与平面向量的乘法以及线性变换的基本性质. 2.难点:(1)旋转变换的坐标变换公式的推导过程;(2)矩阵与变换在数学 知识中的应用.
学法建议
1.借助转化与化归的思想,理解几类特殊的线性变换; 2.由矩阵的相等会求参数的值; 3.对于二阶矩阵与平面向量的乘法,在学习中要不断加深体会数学知识 间的相互联系; 4.在学习线性变换的基本性质时可与平面向量的有关性质进行类比,进 而加深理解.
章末整合提升
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1.线性变换 在平面直角坐标系 xOy 内,很多几何变换都具有的形 ������' = ������������ + ������������, 其中系数 a,b,c,d 均为常数.我们把这种几何变换叫做 式: ������' = ������������ + ������������. 线性变换,上式叫做这个线性变换的坐标变换公式.P'(x',y')是 P(x,y)在这 个线性变换作用下的像. 2.二阶矩阵、零矩阵、二阶单位矩阵 由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表 0 的二阶矩阵 阵,记为 E2. 0 0 ������ ������ 称为二阶矩阵;元素全为 ������ ������ 0 称为二阶单位矩 1
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第一章 第一节 线性变换与二阶矩阵
一般地,在线性变换下,是否仍然由平面上的直线变成直线,三角形变成三角形呢?教学目标知识与能力了解矩阵的概念掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵过程与方法情感态度和价值观用代数方法表示几何变换,进而就可以从代数的角度研究几何变换体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系教学重难点重点1.二阶矩阵的概念2.线性变换及其对应的二阶矩阵难点线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵旋转变换反射变换伸缩变换投影变换切变变换1.旋转变换探究将直角坐标系所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度α.设平面内点P (x,y )经过旋转后变成点 ()y ,x P ′′′ 那么如何用P 的坐标(x,y )表示 的坐标 ?P ′()y ,x ′′得到：x ’=－x, y ’=－y.① ①称为旋转角为180°的旋转变换的表达式 P ’是P 在这个旋转变换的像. O 180°PP′ y x如图,在直角坐标系x o y 内,点P (x,y )绕原点O 按逆时针方向旋转180°,变成点 ().y ,x P ′′′例1 在直角坐标系x o y 内,将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换.(1)求点A （1，0）在这个旋转变换下的像A ′;(2)写出这个旋转变化的表达式. A(1,0) O30° A ′y x 图1 图2 O yx (x,y ) P α30° ().y ,x P ′′′的横坐标和纵坐标为点解：如图A ,′123= 23×1= °30=cos OA x °30=sin OA y 21=21×1=)21,23(′(1,0)A A 为在这个旋转变换下的像点θ=θ=rsin y rcos x (2) 如图2,分别连接OP ,OP ’,设OP = OP′=r,.OP ,x 为终边的角以轴的正半轴为始边是以记θ∴()()°30+θ=′°30+θ=′sin r y cos r x即: yx y yx x 23+21=′2123=′－② 23212123－即得到正方形数表: 由两角和的三角函数公式得:,cos y sin x y ,sin y cos x x °30+°30=′°30°30=′－其中系数a,b,c,d 均为常数，则称③的几何变换为线性变换. ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.dycx y by ax x +=′+=′③线性变换③与dc b a 一一对应 在平面直角坐标系x O y 中,很多平面变换（平面内有点构成的集合）到它自身的映射都具有下列形式定义 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表 称为二阶矩阵dc b a 数a,b,c,d 称为矩阵的元素.零矩阵: 0000记为: 单位矩阵: 1001记为: 0E2.反射变换平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P ’的线性变换叫做关于直线l 的反射. 例:在直角坐标系xOy 内,任意点P(x,y)关于直线y=x 的对称点为P ’(x ’,y ’).则相应 的坐标变换公式是: x ’=y,y ’=x.对应的二阶矩阵是 0113.伸缩变换在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2,其中k1 ,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸缩变换.定义伸缩变换的坐标变换公式为: x’=k1x,y’=k2y.对应的二阶矩阵:k k2 14.投影变换设l是一条给定的直线.对平面内任意一点P作直线l的垂线,垂足为P’,称点P’为点P在直线l上的投影.PlαP’定义平面上每一点P变成它在直线l上的投影P’,这个变换称为关与直线l的投影变换.在直角坐标系xOy 内,任意点P 关于x 轴的投影变换的坐标变换公式为: x ’=x,y ’=0.对应的二阶矩阵: 00015.切变变换如图,在直角坐标系xOy 内,将每一点P (x,y )沿与x 轴平行的方向平移ky 各单位变成P ’,其中k 为常数,称这类变换为平行于x 轴的切变变换. O y xP (x,y )P ’(x+ky ,y ) 定义平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为:x’=x+ky,y’=y.1k对应的二阶矩阵:1抢答平行于y 轴的切变变换的坐标公式?x ’=x,y ’=kx +y.对应的二阶矩阵: 11k（二）变换、矩阵的相等2π3+2π3=′2π32π3=′cos y sin x y sin y cos x x－x ’=x,y ’=－x.旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 2π3即:2π32π32π32π3cos sin sincos －0110－对应的二阶矩阵:即:x ’=x,y ’=－x.）（－）（－）（－）－（－2π+2π=′2π2π=′cos y sin x y sin y cos x x 旋转角为 的旋转变换的坐标变换公式 2π－即:）（－）（－）（－－）（－2π2π2π2πcos sin sin cos 0110－即: 对应的二阶矩阵:观察1.旋转变换的坐标变换公式2.对应的二阶矩阵1.旋转角度定义设σ,ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换.若对平面内任意点P,都有σ（P）= ρ(P),则这两个线性变换相等,记为σ=ρ.设σ,ρ所对应的二阶矩阵分别为A = ,B = .若σ=ρ,则a 1=a 2,b 1=b 2,c 1=c 2,d 1=d 2.这时我们称二阶 矩阵A 与二阶矩阵B 相等.d c b a 2222d c b a 1111定义课堂练习.y ,x ,q ,p B A ,q p p q B ,x y x A ，求且－－例：设=2+=23+3=解:由矩阵定义: .x ,q p y ,p ,q x 2=+=23==+3－－.q ,p ,y x 1=3=2=2=－，－课堂小结1.几种特殊的线性变换:旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换(要求：理解并掌握各变换所对应的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵.)课堂小结2.变换和矩阵的相等（1）变换相等:对应坐标变换公式和二阶矩阵相等（2）矩阵相等:对应系数相等注:两个线性变换相等当且仅当对应的二阶矩阵相等教材习题答案1.（1）坐标变换公式为:对应的二阶矩阵: .y x y ,y x x 22+22=′2222=′－22222222－（2）坐标变换公式为: .x y ,y x =′=′－对应的二阶矩阵: 10012.设P (x,y)是平面直角坐标系x O y 内的任意一点,则它关于原点O 的对称点 为 ∴坐标变换 公式为 对应的二阶矩阵为 ..y y ,x x －－=′=′1001－－(),y ,x P ′′′3.（1）点 在这个投影变换下的像为()；03′,A ()12,A（2）设P (x ,y )是平面直角坐标系xOy 内的任意一点，则它在这个变换下的像为P ’(x +y ,0),因此,坐标变换公式是 1001对应的二阶矩阵是 .y ,y x x 0=′+=′.Z k ,R R .k ∈其中2π32π3+π2=45.由X = Y ,得x = 3 , y =－9 , z = 0.6.设P (x 0 , y 0）是平面直角坐标系xOy 内的任意一点,它关于直线l :y =2x 的投影变换下的像为P ’（x ’,y ’). 易得:过点P （x 0,y 0)垂直于直线的斜率为k =－1/2.于是,直线方程为：().x x y y 0021=－－－(),x x y y ,x y 0021=2=－－－解方程组:得直线l :y =2x 与直线y －y 0=－1/2(x －x 0)的坐标(（x 0+2y 0)/5,（2x 0+4y 0)/5）.∵M 是线段PP ’的中点,所以,y y x y ,x y x x 00000054+2×2=′52+×2=′－－即: .y x y ,y x x 53+4=′54+3=′0000－∴坐标变换公式: .y x y ,yx x 53+4=′54+3=′－对应的二阶矩阵: 53545453－(2)对应的坐标变换公式: .y B A )B A (x B A AB y ,y B A ABx B A )A B (x 222222222222++2=′+2+=′－－－－－对应的二阶矩阵:B A )B A (B A AB B A AB B A A B 222222222222++2+2+－－－－－。
高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用课件新人教A版选修4-2
2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 V，W2 V，且都是子空间，则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F） W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
W1W2 W1＋W2
和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R}
运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点：
一. 集合与映射 1. 集合 2. 集合：作为整体看的一堆东西. 3. 集合的元素：组成集合的事物.
设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示：(1 ) 列举法
2
(2) 特征性质法 Maa具有的性质
例如 P ( x ,y )x 2 y 1
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)
高中数学 第一讲 线性变换与二阶矩阵 1.1.2 变换、矩
������ = 2������ + 1,
从而有 ������-������ = ������ + 1, ������ + ������ = -������,
������ = 2������ + 1,
解得
a=-1,b=-1,c=
1 5
,
������
=
−
25.
反思两个矩阵相等,它们相应位置的对应元素分别相等.
(二)变换、矩阵的相等
1.理解并掌握变换相等与二阶矩阵相等的概念. 2.会利用变换、矩阵的相等解决简单问题.
12
1.变换相等 一般地,设σ,ρ是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果对 平面内的任意一点P,都有σ(P)=ρ(P),则称这两个线性变换相等,简 记为σ=ρ. 知识拓展根据与α角终边相同的角为2kπ+α(k∈Z),它们的三角函 数值一定相等,可知旋转变换Rα一定与旋转变换R2kπ+α(k∈Z)相等, 即有Rα=R2kπ+α.
cos������
=
cos
π 12
,
sin������
=
sin
π 12
,
∴α=
π 12
+
2������π,
������∈Z.
题型一 题型二 题型三
反思对于两个相等的旋转变换 Rα 与 Rβ,其二阶矩阵
������������������α -������������������α
������������������β -������������������β
A.−
2π 3
B.
4π 3
C.
−
4π 3
D.
几类特殊线性变换及其二阶矩阵
解:根据旋转变换公式,
3
1
' =
+ ,
' = cos(-30°)-sin(-30°),
2
2
得
即
' = sin(-30°) + cos(-30°),
1
3
' = - +
,
2
2
此变换对应的二阶矩阵为
3
2
1
-2
1
2
3
2
.
题型一
题型二
题型三
故点A(0,2)在这个旋转
' = 0 × sin60°+ 2 × cos60°= 1.
变换作用下的像为 A'(− 3, 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型六
错因分析:在旋转变换中,把旋转角的旋转方向搞错了,逆时针方
向旋转的角代入旋转变换公式时为正角,顺时针方向旋转的角代入
旋转变换公式时为负角.
反思熟记伸缩变换的坐标变换公式及相应的二阶矩阵是解决此类
题的金钥匙.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
题型五
题型六
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应
的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它
的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应
2016_2017学年高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵1.1.1几类特殊线性变换及其二阶矩阵课件
称为二阶单位矩阵, 记为E2. 0 1
名师点拨1.矩阵通常用大写的英文字母A,B,C…表示. 2.零矩阵和单位矩阵是常用的两个矩阵.
1
2
3
4
5
6
7
8
【做一做3】 在下列矩阵中,二阶单位矩阵是( 0 0 0 1 1 0 1 1
)
A. 0 0
B. 1 0
C. 0 1
D. 1 1
解析:由二阶单位矩阵的定义知,选C. 答案:C
1
2
3
4
5
6
7
8
名师点拨1.(x,y)为平面内任意一点的坐标,(x',y')是旋转后的相应 点的坐标. 2.α角可正可负,α为正角说明按逆时针方向旋转|α|,α为负角说明 是按顺时针方向旋转|α|. -1 0
3.特别地,当 α=180° 时,对应的二阶矩阵为 0 -1
.
1
2
3
4
5
6
7
8
【做一做 4】 在直角坐标系 xOy 内,将点 P(-1,3)绕原点按逆时 针方向旋转
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型六
解析:方法一:∵AA'与直线 y=kx 垂直, 又 kAA'= 18 = −2, ∴ ������ = .
5
-5-3
1
-2
1 2
方法二:AA'的中点应在直线 y=kx 上, 又 AA'的中点坐标(x,y)满足 代入 y=kx,得 k= 答案:B
反思只要明确了点A、点A'与直线y=kx的关系,此类题可灵活求 解,在点A、点A'及直线l中可知二求一.
0
1
人教A版高中数学选修4-2-1.1.1 几类特殊线性变换及其二阶矩阵-教案设计
几类特殊线性变换及其二阶矩阵【教学目标】1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。
2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。
3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。
难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是：在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+⎧⎨'=+⎩③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。
③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。
(,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。
像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵。
数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素元素全为0的二阶矩阵0000⎛⎫ ⎪⎝⎭称为零矩阵，简记为0。
矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭称为二阶单位矩阵，记为E 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。
求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。
解析：教师板书。
（3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是：在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-⎧⎨'=+⎩，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
2016_2017学年高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵本讲整合课件
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1求把△ABC变换成△A'B'C'的变换对应的矩阵,其中A(2,1),B(0,1),C(0,-1);A'(-2,-3),B'(0,1),C'(0,-1). 提示:可先设出矩阵,再根据矩阵与向量的乘法进行运算求解.
专题一
专题二
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专题五
a 解:设变换对应的矩阵为 c a 由已知,得 c 0 = 1 , c d -1 a b d 1 0 = b -2 =
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用 1 下列说法错误的是( ) A.矩阵能把直线变为直线或一个点
1 0
B.任何一个几何图形在
1 0 0 1
的作用下均保持不变
C.矩阵 A=
把平面上的点变换为横坐标不变,
0 2 纵坐标为原来的 2 倍的点 0 1
D.矩阵 A=
把平面上的点变换为横坐标不变,
2 0 纵坐标为原来的 2 倍的点
专题一
专题二
专题三
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专题五
专题五 数形结合思想的应用 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合 起来,其关键是代数问题与图形之间的互相转化.本讲中,线性变换 对平面单位正方形区域的作用就运用了数形结合思想.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
0 -3 应用 设 A= , 问矩阵A 所对应的线性变换把平面上
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用2下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形?画图并指 出该变换是什么变换?
0 (1) -1 1 (2) 0 -1 0
1.1线性变换与二阶矩阵课件人教新课标2
o
p' x
例3 如图，在直角坐标系xoy内,过任意一点P作x轴的垂线，垂足为点P',
我们称点P'为点P在x轴上的（正）投影.如果一个变换把直角坐标系内的每
一点变成它在x轴上的（正）投影，那么称这个变换为关于x轴的（正）
投影变换.
设在关于 x轴的（正）投影变换的 作用下，点 P(x, y)变成点P（' x', y'),
例2 在直角坐标系xoy内，将每一点的纵坐标变为
原来的2倍，横坐标保持不变. (1)试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵； （2）求点A(1,1)在该伸缩变换作用下的像A'.
解：（1）设在这个伸缩变换作用下，直角坐标系xoy内的
任意一点P(x, y)变成点P' (x', y' ),则x' x, y' 2 y.
因此，所求的坐标变换公式为xy''
x, 2 y.
从而，对应的二阶矩阵为10 02；
(2)将点A(1,1)的坐标代入坐标变换公 式，得
x' 1,
y
'
2 (1)
2.
从而A'的坐标为 (1,2).
一般地，在直角坐标系xoy内，将每个点的纵坐标变为原来 的k倍(k是非零常数),横坐标保持不变的线性变换，其变换公式是
0 -1
1 0
.
因此，这两个旋转变换的坐标变换公式及对应的二阶
矩阵是分别相同的.这时我们称这两个旋转变换相等.
一般地，设，是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果 对平面内的任意一点P，都有 (P) (P),则称这两个线性变换 相等，简记为 .
设，所对应的二阶矩阵分别为A
高中数学 第一节 线性变换与二阶矩阵课件 新人教A版选修42
d 2.
2
2
1
1 2
x 0
4 y
,2xxy4, ,
x
2,
y
2.
【互动探究】试求在本例中矩阵M的变换作用下,点P(1,1)变
成的点P′的坐标.
【解析】由本例解答可知
M
2 1
1 2
,
则
2 1
,B Nhomakorabea
a2 c2
b2 d2
,
A=B,则_a_1_=_a_2,_b_1=_b_2_,_c_1=_c_2_,_d_1_=_d_2 .
(3)二阶矩阵与向量的乘积
ax by
设
A
a c
b d
,α
x y
,
则 Aα
=___c_x__d_y___
【思路点拨】(1)首先设出矩阵M,再利用二阶矩阵与平面向量 的乘法构造方程组，再解方程组求出矩阵M. (2)利用矩阵M与平面向量的乘法列出关于x,y的方程组,解方 程组求x,y.
【规范解答】
1 设M
a
c
b
d
,
则由
a c
b d
1 2
2 6
7 18
,
Aβ
5
3
1 2 4
4 2
最新人教版高二数学选修4-2电子课本课件【全册】
一 线性变换与二阶矩阵
（一）几类特殊线性变换及其
二阶矩阵
1．旋转
最新人教版高二变数换学选修4－2电子
课本课件【全册】
2．反射变换
3．
伸缩变换
最新人教版高二数学选修4－2电子 课本课件【全册】
第三讲 逆变换与逆矩阵 一 逆变换与逆矩阵
二 二阶行列式与逆矩阵
1．二元一次方程组的矩阵形式
探索与发现 三阶矩阵与三阶行列式
2．特征值与特征向量的计算
2．特征向量在实际问题中的应用
后记
引言
最新人教版高二数学选修4－2电子 课本课件【全册】
第一讲 线性变换与二阶矩阵
最新人教版高二数学选修4－2电 子课本课件【全册】目录
0002页 0102页 0155页 0157页 0168页 0286页 0375页 0398页 0435页 0464页 0488页 0515页
引言
2．反射变换
3．伸缩变换
5．切变变换
（二）变换、矩阵的相等
三 线性变换的基本性质
（一）线性变换的基
第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法 一 复合变
选修4-2 矩阵与变换第一讲 线性变换与二阶矩阵
2 试写出这个旋转变换的表达式.
y P'
x r cos y r sin
P x
x r cos +30 r sin +30 y
30° θ O
x y
3 1 x y 2 2 1 3 x y 2 2
那么旋转角为30的旋转变换的坐标变换公式就可以写成
x y
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
x a b 定义：设A , , 规定二阶矩阵A与向量的乘积为 c d y a b x ax by 向量 .记为A或 ，即 cx dy c d y a b x ax by A = = . c d y cx dy
a1 b1 a2 b2 设 , 所对应的二阶矩阵分别为A , B . c1 d1 c2 d 2 若 =，那么它们对应的系数分别相等.这时我们也称二阶矩
阵A和B相等, 简记A B.
§2 二阶矩阵与平面向量的乘法
线性变换与二阶矩阵是一一对应的，能否直接用二阶矩阵 表示线性变换呢？
1 2 探究：设向量 , = , 利用平行四边形法则求 + , 2 1 再对 + 进行关于x轴的反射变换；或者，先对，做关于
在平面直角坐标系中，
形
平面内的点 平面内的曲线
数
有序实数对 方程
平面内的图形变换
§1.1 旋转变换
探究：将直角坐标系中所有点绕原点沿逆时针 方向旋转一个角度 .设平面内点P x, y 经过旋转 后变成点P x, y , 那么如何用P的坐标 x, y 表
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1 对应的二阶矩阵 0
k 1
平行于 y 轴的切变变换是指将直角坐标系 每一点 P 沿着与平行 y 轴的方向平移 kx 个 单位的线性变换
x x 坐标变换公式 ' y kx y
'
1 对应的二阶矩阵 k
0 1
变换、矩阵相等
一般地， 设 , 是同一个直角坐标系内的 两个变换。 如果对平面内的任意一点 P， 都 有 ( P) ( P) ，则称这两个线性变换相等， 记为
线性变换
二阶矩阵与平面向量的乘积
A(1,0) A' (2,1)
2 1 1 2 1 1 0 2 11 (1) 0 1 1 1 0
矩阵就是一个几何变换
它把平面上的任一个点 ， 变成平面上的另一个点。
a1 , 对应的二阶矩阵 A c1
则 a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 , d1 d2
b1 a2 B c d1 2
b2 d2
1 x 1 p 1 例 3设A ，B 0 y 2 B，求 p，q，x，y。
x k1 x ' y k2 y
'
二阶矩阵
k1 0
0 k2
投影变换
例 3：在直角坐标系 XOY 内,过任意一点 P 作 x 轴的垂线， 垂足为点 P ， 我们称点 P 为 点 P 在 x 轴上的（正）投影。如果一个变 换把直角坐标系内的每一点对应到它在 x 轴上的（正）投影，称这个变换为关于 x 轴 上的（正）投影
例2：在直角坐标系XOY内,将每一点的纵坐标 变为原来的2倍,横坐标保持不变. (1)试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应 的二阶矩阵. (2)求点A(1,-1)在该伸缩变换作用下的A’.
伸缩变换 1.在直角坐标系XOY内,将每个点 的纵坐标变为原来的k倍(k是非零 常数),横坐标保持不变的线性变换, 其坐标变换公式是:
2 ，且 A＝ q
二阶矩阵与平面 列向量的乘法
b a x 定义 : 设矩阵A＝ 与列矩阵 = , c d y 规定二阶矩阵A与向量的乘积为: b x a 记为A 或 ，即 c d y b x ax+by a A＝ ＝ c d y cx+dy
x, y
P'
A'
x ' 1 0 x y ' 0 1 y
' x x ' y y ' x x 0 y ' y 0x y
B
C
C'
B'
轴对称图形
2 0 x 2 x (5)计算: 0 1 y y
y
O
x
反射变换
关于 x 轴的反射变换把直角坐标系下的任意一点 P( x, y) 对应到它关于 x 轴的对称点 P( x, y)
x x 坐标变换公式 ' y y
'
1 对应的二阶矩阵 0
0 1
关于 y 轴的反射变换把直角坐标系下的任意一点 P( x, y) 对应到它关于 y 轴的对称点 P( x, y)
x x 坐标变换公式 ' y y
'
Байду номын сангаас1 对应的二阶矩阵 0
0 1
关于 y=x 轴的反射变换把直角坐标系下的任意一 点 P( x, y) 对应的对称点 P( x, y)
x y 坐标变换公式 y x
'
0 对应的二阶矩阵 1
1 0
第一讲 线性变换与二阶矩阵
图形 初中 变换
矩阵 高中 与变换
高等 大学 代数
选修4-2 矩阵与变换
矩阵是研究图形（向量）变换的 基本工具，有着广泛的应用，许多数 学模型都可以用矩阵来表示。
引言
选修线性变换 4-2矩阵与变换 二阶矩阵与平面向量的乘积
反射变换
列向量
列向量
二阶矩阵
x, y
P
A
做线性变换
a b 2.二价矩阵 c d 0 3.零矩阵 0 4. 单位矩阵 0 0
坐标变换公式
1 0
0 1
旋转变换的坐标变换公式(R )
绕原点O按逆时针方向旋转 的坐标变换公式是:
'
角的旋转变换
x x cos y sin ' y x sin y cos cos sin 对应的二价矩阵为 R cos sin
x x 坐标变换公式 ' y 0
'
1 对应的二阶矩阵 0
0 0
切变变换
在直角坐标系 XOY 内,将每一点 P 沿着与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位变成点 P ，称 这类变换为平行于 x 轴的切变变换
x x ky 坐标变换公式 ' y y
旋转变换
例1：在直角坐标系XOY内,将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转300的变换称为旋转角 是300的旋转变换. (1)求点A(1,0)在这个旋转变换作用下的像A’; (2)试写出这个旋转变换的表达式.
概念
x ax by 1.形如 ' y cx dy
'
的几何变换叫
x x ' y ky
'
二阶矩阵
1 0
0 k
2. 将每个点的横坐标变为原来 的k倍(k是非零常数),纵坐标保持 不变的线性变换,其坐标变换 公式是
x kx ' y y
'
二阶矩阵
k 0
0 1
3.将每个点的横坐标变为原来 的k1倍,纵坐标保持变为原来的 k2倍(k1,k2均为非零常数) 的线性变换,其坐标变换 公式是: