电磁场与电磁波之镜像法

这类问题可用镜像法求解。
把导体球面移去，用一个镜像电荷来 等效球面上的感应电荷。
为了不改变球面上的电荷分布，镜像 电荷必须放置在导体球面内。
由于对称性镜像电荷应位于球心与点
电荷 的q连线上。
r
a
d
设镜像电荷 ，q与球心距离为 。d 任一点电位函数为
r
a
d
1 [
q
q
]
4πε0 r 2 d 2 2rd cosθ r 2 d2 2rd cosθ
导体球接地 0 ra
1[
q
4πε0 a2 d 2 2ad cosθ
q
]0
a2 d2 2ad cosθ
(a2 d 2 )q2 (a2 d2 )q2 2a cosθ(dq2 dq2 ) 0
有 (a2 d 2 )q2 (a2 d2 )q2 0
dq2
d q 2
0
解得 q a q d
l l
R y P(2,5,0)
R
x
30109 2πε0 13 (ex 2 ez 3)
E
eR
ρl 2πε0 R
30109 2πε0 22 32
(ex
30109 2πε0 13
(ex
2
ez
3)
2 22 32
ez
3 )
22 32
E
ez
30109 6 2πε0 13
P点处的感应电荷面密度则为
1)2
1 (0.45 1)2
]
ez
3.14
10
4
V
/
m
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
沿 y轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方
其镜像电荷仍是无限长线电荷
l l , z h
z
l
h
x
在 z 的0 上半空间中，电位函数为
(x, y, z) l ln x2 (z h)2 (z 0)
E(0,0,
z1)
ez
106
4 0
[
1 (1.67
1)2
1 (1.67 1)2
]
ez
1.88
10
4
V
/
m
当 z 时1 ， 轴z上的电场强度
E(0,0,
z)
ez
106
4 0
[ (z
1 1)2
(z
1 1)2
]
将 z2 0.代45入m，得
E(0,0,
z2 )
ez
106
4 0
[
1 (0.45
一. 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
上半场域边值问题
2 0
(除q所在点外的区域)
z
q h
x
0
sD dS q
(导板及无穷远处) (S为包围q的闭合面)
z
q
R
P
h h
R
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(x, y, z) q ( 1 1 ) z 0
q
4 R R
q
4
{ [x2
y2
1
(
z
例 求空气中一个点电荷 在q 地面引起的感应电荷分布情况。
解: 设点电荷 离q 地面高度为h
Ep E E 方向指向地面
Ep
2
q
4 0r
2
cos
qh
2 0 (h2
x2 )3/2
P
S
en
D
ey
(ey
0
E)
0Ep
qh
2 (h2 x2 )3/ 2
整个地面上感应电荷的总量
S pdS
解: 去掉导体平板，在 z 3m处放置
z
l
y
(0,0,3)
线电荷密度为 l 30 nC / m的镜像线
电荷替代其作用。
O
x
P点电场强度为 Ep E E
E
eR
ρl 2πε0 R
30109 2πε0 22 32
(ex
2 22 32
ez
z (0,0,3)
3)
O
22 32 (0,0,3)
S
en D (2,5,0)
ez
(ez
0
E
)
180 109 2.2 nC / m2 2π 13
二. 导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像
设点电荷 q 位于一个半径为 a 的接地导体球外，与球心距离为 d。
导体球面将产生感应电荷，导体球外
a
的电位应由点电荷 和感应电荷共同产生。
y2
1
(
z
h)
2
1
]2
[x2
y2
1
(
z
h)2
1
]2
}
由 (0,0, z) 106 [ 1 1 ] 104 4 0 z 1 z 1
可解得
z1 1.67 m z2 0.45m
⑵ 当 z 时1， 轴z上的电场强度
106 1
1
E(0,0,
z)
ez
4
0
[ (z
1)2
(z
1)2
]
将z1 1.6代7入m，得
2
x2 (z h)2
z
l h
h
x
l
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
y A d1 q
d2 o
B x
q d1 d1 q
d2
d2 q d1
d2
d2 d1 q
可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由４个点电荷所引起的。
半无限大导体平面形成劈形边界。但是仅当这种导体劈的夹角等
于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边
产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及
导体表面上的感应可电见荷，。上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷
代替导体表面上异性的感应电荷的作用。
根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。
半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上 半空间中，源及边界条件未变。
d a2 , q q d d （舍去） d
由惟一性定理，球外的电位函数为
q [
1
a
]
4πε0 r2 d 2 2rd cosθ d r2 (a2 / d)2 2r(a2 / d) cosθ (r a)
h)
2
]
1 2
[x2
y2
1
(
z
h)
2
]
1 2
}
导体表面上感应电荷
S
z
z0
2
(h2
qh x2
y2 )3/2
电场线与等位面的分布电偶极
z
子的上半部分完全相同。
由此可见，电场线处处垂直
于导体平面，而零电位面与导体 表面吻合。
电场线
等位线
电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将
界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 需引入 5 个镜像电荷。
π的导电劈 3
q /3
q
/3
若两导体平面相交成角, 只要 ， n为整数
n 就可用镜像法求解，其镜像电荷数为有限的，为 (2n 个1)
例 线电荷密度为 l 3的0 n无C限/ m长直导线位于无限大导体平板（ 处）的 上z方 0 处，沿 轴方z 向3。m试求该导y体板上的点 处的感应电荷密P度(2。,5,0)
0
2
qh (h2 x2
)3/ 2
2xdx
qh[ (h2
1 x2 )1/ 2
]0
q
例 真空中，电量为 1的C点电荷位于点 P处(0,，0,1) 平面x是O一y个无限大的 接地导体板。⑴求 轴上电位z为 的点的坐10标4V；⑵计算该点的电场强度。
解: ⑴ 根据镜像法可知上半空间的电位
q {
4 0 [x2