Z变换定义与性质
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信号与系统
第 26 讲
Z变换的定义与性质
本讲主要内容
• z变换的定义 • z变换的收敛域 • 常用序列的z 变换 • z变换的性质及应用
Z变换的定义
对于序列f(n)，定义其 z 变换 F(z)为：
F (z)
f (n)zn
n
当序列f(n)为因果信号，上式可写为：
象函数
F ( z) f (n)z n
解： 利用z 变换定义求：
1,0 n N -1
f (n) RN (n)
0，
其他
3
F (z) f (n)zn 1 zn
n0
n0
z3 z2 z1 1
z0 z1 z2 z3
z3
f (n) 1
01 2 34 n
R (n) 1z( N 1)
N
1z1
1 z1 z2
z( N 1)
f (n 2) (n) 4
f (n) (n )
4
1 0 1
左移
n
右移
4
f (n 2)(n)
10 1
n
10 1
n
时移性质
双边序列左移和右移后，序列的单边z变换。
如果： f (n) F (z) m 0
则：
f
(n
m)
zm
F
(
z)
m1 k 0
f
(k)zk
f
(n
m)
zm
F ( z)
m k 0
f (n)zn
n
收敛的所有 z 值的区域，称为 F(z)的收敛域。
z变换定义和收敛域
例1 已知 f (n) an (n) 求其双边Z变换及收敛域。
解
F(z)
n
f
(n)zn
anzn
n0
(az 1 )n
n0
1 1 az1
只有 az1 1 即 z a 该级数收敛。
ReZ
a
o
jImZ
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
n
n
n0
z z zb za
收敛域第一项为 z b 第二项为 z a
故
F(z) z z zb za
bza
jImZ
a b
o
ReZ
图 3 双边序列的收敛域
a b 时双边序列Z变换的收敛域为 b z a 为一个圆环区域。 如果 a b 则该序列的双边Z变换不存在。
双边z变换的收敛域
（1）对于右边序列的双边z变换，其收敛域为z平面 上以原点为圆心的一个圆外区域，圆的半径与 F(z) 的极点有关。
解：
cos(0n)
e e j0n
j0n
2
Z e j0n (n)
z z e j0
Z cos(0n) (n)
1 z
2
z
e j0
z z e j0
z( z cos0 ) z2 2z cos0 1
思考与练习
1 设有序列 f (n) (n) (n 4) ，其双边 z 变换的收敛域 在何处？ 2 f1(n) 2n2 (n 2) 与 f2(n) 2n2 (n) 的单边 z 变换有何 不同？
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
z 0
常用序列的z变换
求指数序列 f (n) a n (n) 的 z 变换
解：F (z)
n0
a
n
z
n
1
1 az1
z za
za
当a eb, 则
Z ebn (n)
z z eb
z eb
当a ej0 , 则
Z e j 0n (n)
z z e j0
常用序列的z变换
求 f (n) cos(0n) (n) ?
(n)
0 1
(n 0) (n 0)
(n) 1 z 0
常用序列的z变换
求单位阶跃序列的z变换。 解：
(n)
1 0
n0 n0
F (z) 1 z 1 z 2 z 3
(n)
1 1 z 1
z z1
1
(n) z
z 1
2 1 0 1 2 3
n
z 1
常用序列的z变换
求矩形序列的z变换。
（2）对于左边序列的双边z变换，其收敛域为z平 面上以原点为圆心的圆内区域，圆的半径取决于F ( z) 的极点。 （3）对于双边序列，其收敛域为z平面上以原点为 圆心的圆环区域，内外半径同样取决于 F(z) 的极点。
常用序列的z变换
求单位冲激序列的 z 变换。
解： 利用z 变换定义求 ：
F (z) (n)zn (0) z0 1 n0
例1 求序列 f (n) (3)n (n) (n 2) 的z变换
解 由于 Z (n) (n 2) z z z2
z 1 z 1
根据尺度变换特性，得
z ( z )1 z 3( z )1
F(z) Z f
(n)
z
3 1
3 z 1
3 z3
1 3z1
33
时移性质
双边序列左移和右 移后，序列的单边 z变换。
1
பைடு நூலகம்
1
1 b1z
z z b
ReZ
b
r 1 o
jImZ
级数收敛的条件为 b1z 1 即 z b
图2 左边序列的收敛域
故 F(z) z
zb
zb
左边序列Z变换的收敛域是 以b 为半径的圆内。
z变换定义和收敛域
例3 双边序列 f (n) an(n) bn(n 1)，求其双边Z变换及收敛域。
1
解
F (z) f (n)zn bnzn anzn
f
(k ) z k
时移性质证明
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
Z变换的收敛域
对于给定的序列 f (n) ，在Z平面上使级数
第 26 讲
Z变换的定义与性质
本讲主要内容
• z变换的定义 • z变换的收敛域 • 常用序列的z 变换 • z变换的性质及应用
Z变换的定义
对于序列f(n)，定义其 z 变换 F(z)为：
F (z)
f (n)zn
n
当序列f(n)为因果信号，上式可写为：
象函数
F ( z) f (n)z n
解： 利用z 变换定义求：
1,0 n N -1
f (n) RN (n)
0，
其他
3
F (z) f (n)zn 1 zn
n0
n0
z3 z2 z1 1
z0 z1 z2 z3
z3
f (n) 1
01 2 34 n
R (n) 1z( N 1)
N
1z1
1 z1 z2
z( N 1)
f (n 2) (n) 4
f (n) (n )
4
1 0 1
左移
n
右移
4
f (n 2)(n)
10 1
n
10 1
n
时移性质
双边序列左移和右移后，序列的单边z变换。
如果： f (n) F (z) m 0
则：
f
(n
m)
zm
F
(
z)
m1 k 0
f
(k)zk
f
(n
m)
zm
F ( z)
m k 0
f (n)zn
n
收敛的所有 z 值的区域，称为 F(z)的收敛域。
z变换定义和收敛域
例1 已知 f (n) an (n) 求其双边Z变换及收敛域。
解
F(z)
n
f
(n)zn
anzn
n0
(az 1 )n
n0
1 1 az1
只有 az1 1 即 z a 该级数收敛。
ReZ
a
o
jImZ
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
n
n
n0
z z zb za
收敛域第一项为 z b 第二项为 z a
故
F(z) z z zb za
bza
jImZ
a b
o
ReZ
图 3 双边序列的收敛域
a b 时双边序列Z变换的收敛域为 b z a 为一个圆环区域。 如果 a b 则该序列的双边Z变换不存在。
双边z变换的收敛域
（1）对于右边序列的双边z变换，其收敛域为z平面 上以原点为圆心的一个圆外区域，圆的半径与 F(z) 的极点有关。
解：
cos(0n)
e e j0n
j0n
2
Z e j0n (n)
z z e j0
Z cos(0n) (n)
1 z
2
z
e j0
z z e j0
z( z cos0 ) z2 2z cos0 1
思考与练习
1 设有序列 f (n) (n) (n 4) ，其双边 z 变换的收敛域 在何处？ 2 f1(n) 2n2 (n 2) 与 f2(n) 2n2 (n) 的单边 z 变换有何 不同？
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
z 0
常用序列的z变换
求指数序列 f (n) a n (n) 的 z 变换
解：F (z)
n0
a
n
z
n
1
1 az1
z za
za
当a eb, 则
Z ebn (n)
z z eb
z eb
当a ej0 , 则
Z e j 0n (n)
z z e j0
常用序列的z变换
求 f (n) cos(0n) (n) ?
(n)
0 1
(n 0) (n 0)
(n) 1 z 0
常用序列的z变换
求单位阶跃序列的z变换。 解：
(n)
1 0
n0 n0
F (z) 1 z 1 z 2 z 3
(n)
1 1 z 1
z z1
1
(n) z
z 1
2 1 0 1 2 3
n
z 1
常用序列的z变换
求矩形序列的z变换。
（2）对于左边序列的双边z变换，其收敛域为z平 面上以原点为圆心的圆内区域，圆的半径取决于F ( z) 的极点。 （3）对于双边序列，其收敛域为z平面上以原点为 圆心的圆环区域，内外半径同样取决于 F(z) 的极点。
常用序列的z变换
求单位冲激序列的 z 变换。
解： 利用z 变换定义求 ：
F (z) (n)zn (0) z0 1 n0
例1 求序列 f (n) (3)n (n) (n 2) 的z变换
解 由于 Z (n) (n 2) z z z2
z 1 z 1
根据尺度变换特性，得
z ( z )1 z 3( z )1
F(z) Z f
(n)
z
3 1
3 z 1
3 z3
1 3z1
33
时移性质
双边序列左移和右 移后，序列的单边 z变换。
1
பைடு நூலகம்
1
1 b1z
z z b
ReZ
b
r 1 o
jImZ
级数收敛的条件为 b1z 1 即 z b
图2 左边序列的收敛域
故 F(z) z
zb
zb
左边序列Z变换的收敛域是 以b 为半径的圆内。
z变换定义和收敛域
例3 双边序列 f (n) an(n) bn(n 1)，求其双边Z变换及收敛域。
1
解
F (z) f (n)zn bnzn anzn
f
(k ) z k
时移性质证明
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
Z变换的收敛域
对于给定的序列 f (n) ，在Z平面上使级数