极值点偏移(老师版)

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有02

12

x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，

则

2

2

1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若22

1x x m +>，则称为极值点右偏.

如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2

21x

x +的左边，我们称之为极

值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2

2

10x x x +=

，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2

2

10x x x +=，求证：0)('0>x f .

三、问题初现，形神合聚

★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x .

所以)2()2(x h x h -<+，

所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21，即421>+x x .

★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(2

1)(2

≠+=

a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，

过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.

四、招式演练

★过点P(−1,0)作曲线f(x)=e x 的切线l ． （1）求切线l 的方程；

（2）若直线l 与曲线y =a

f(x) (a ∈R)交于不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求证：x 1+x 2<−4． 【答案】（1）y =x +1（2）见解析 【解析】

试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率y ′|x=0=1，再根据点斜式求切线方程y =x +1．

因为x1≠x2，不妨设x1<−2，x2>−2．

设g(x)=f(x)−f(−4−x)，则g′(x)=f′(x)+f′(−4−x)=(x+2)e x(1−e−2(2+x))，

当x>−2时，g′(x)>0，g(x)在(−2,+∞)单调递增，

所以g(x)>g(−2)=0，所以当x>−2时，f(x)>f(−4−x)．

因为x2>−2，所以f(x2)>f(−4−x2)，

从而f(x1)>f(−4−x2)，因为−4−x2<−2，f(x)在(−∞,−2)单调递减，所以x1<−4−x2，即x1+x2<−4．

极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，

（1）若)2()(201x x f x f -<，则02

1)(2

x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；

（2）若)2()(201x x f x f ->，则02

1)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以02

1)(2

x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；

（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏22

1x x m +<

⇔） 左慢右快（极值点右偏2

21x x m +>⇔）