几种激光光斑中心定位算法的比较

Ana lysis and com par ison of severa l ca lcula tion m ethods of beam spot cen ter
TANG Guan 2qun
( School of Photoelectric Infor mation and Telecommunication Engineering, Beijing Infor mation Science and Technology University, Beijing 100192, China)
第 24 卷 第 1期 北 京 机 械 工 业 学 院 学 报 Vol . 24 No. 1 2009 年 3 月 Journal of Beijing Institute of M achinery M ar . 2009
文 章 编 号 : 1008 - 1658 ( 2009 ) 01 - 0061 - 04
[ 5, 6 ]
0
( 3)
而对于目标灰度值小于背景灰度值的情况 : T - I ( i, j) I ( i, j) < T ( 4) W ( i, j) = 0 I ( i, j) ≥T 其中 , T 为区分目标和背景的阈值 。 1. 2 椭圆中心二次拟合 拟合法是一种基于最小二乘准则的数学方法 , 通过对目标的坐标或灰度进行拟合 , 可以得到目标 的连续函数形式 , 从而可以确定描述物体的各个参 数值 。当目标的特征是圆或椭圆时 , 对提取的目标 [2 ] 边界的一组点进行椭圆最小二乘拟合 , 从而确定 目标的中心位置和主轴方向 。当 : 2 ( 5) B - C <0
2 2 2 ( 1 + C ) ( CF + 2BD E - D C - B F - E ) < 0 时 , 式 ( 7 ) 就代表一个椭圆 : 2 2 x + 2B xy + Cy + 2D x + 2 Ey + F = 0 其均方差和为 :
是一个理想的拟合函数 :
x
Ω ( x ) = c G ( x ) dx =
i=1
2
N
2
2
2
( 8)
对式 ( 8 ) 中的 B , C, D , E, F 分别取偏导 , 令每个 式子为零 , 可以得到一个包含 5 个方程和 5 个未知 数的方程组 , 通过解这个方程组可以求解椭圆的中 心坐标 ( x0 , y0 ) 为 : x0 =
1. 3
B E - CD BD - E 2 , y0 = 2 C-B C-B
+∞
σx 2
y0
-
y0
2 2
σy 2
fi + ( 11 )
σx
2
( xi fi ) +
2
σ2 y
( yi fi ) -
1
σx 2
2
( xi fi ) -
1
σy 2
2
( yi fi )
2
Ω ( - E) = - c G ( - E) d ( - E)
-∞
∫
( 16 )
第 1 期 唐冠群等 : 几种激光光斑中心定位算法的比较
2 2
等式 14 是一个坐标变换 , 将 ( cx , cy ) 定义为椭 圆的中心 , < 定义为椭圆正长半轴在标定坐标系 XO Y 中与 x 轴正半轴的夹角 。通过这个变换 , 可以 得到等式 ( 15 ) 所示的标准椭圆方程 , 即使等式 ( 13 ) 中 μ = 0, 来拟合光斑的形状 。 由之前的分析 , 将等式 ( 15 ) 带入等式 ( 13 ) 中 , 即用 - E 代替 x, 我们可以得到这个椭圆光斑在三 维空间中的累积高斯分布 :
j) 。
如果背景灰度值较小 , 目标灰度值较高 , 而且目 标的灰度分布为抛物面或高斯曲面 , 那么灰度重心 法可以获得较高的定位精度 。但是实际图像中目标
作者简介 : 唐冠群 ( 1983 - ) ,男 ,辽宁大连人 ,北京信息科技大学光电信息与通信工程学院硕士研究生 ,主要从事光电检测研究 。
62
用伪逆法或豪斯荷尔德变换来进行最小二乘求 解可以得到目标点的中心为 : 2 2 ( 12 ) x0 = c2σx , y0 = c3σy 高斯累积分布拟合 一个普通的几百个像素的光斑在空间的灰度分 布成一个灰度高原的形状 ,针对光斑的这种特性 , J.
1. 4 O. O tep lca 和 C. S . Fraiser认为 , 可以通过高斯累积 [7] 分布来拟合光斑的形状 。高斯累积分布 ( CDG) ,
1. 1
x0 = y0 =
∑( i, j) ∈S i W ( i, j) ∑( i, j) ∈S W ( i, j)
( 1)
∑( i, j) ∈S W j ( i, j) ( 2) ∑( i, j) ∈S W ( i, j) 其中 , W ( i, j) 为权值 , 上式中取 W ( i, j) = I ( i,
图 2 和图 3 表示了不同的参数对于目标函数 T 的影响 。可见目标函数 T 较好地拟合了灰度高原 的形态 , 从而可以给出需要求解的椭圆参数 。 对目标图像 , 选取目标光斑和光斑周围 3 个像 素左右宽度的边缘像素 , 可以得到 N 个像素 , 将每 一个像素的坐标 ( x, y ) 带入 T 中 , 可以得到 N 个含 有 8 个未知数的方程 , 其中 , 每一个等式的左边是该 像素的灰度值 , 右边是函数 T, 用梯度下降法求解这 个方程组 , 解出光点的中心坐标值 cx 和 cy 。
利用激光进行各种精密测量时 , 摄像系统的物 面分辨率和图像中目标的定位精度是很重要的 。在 一定的测量视场中 , 提高系统测量精度最直接的方 法就是提高 CCD 的分辨率 ,即增加像素点阵数 。然 而 ,这种提高硬件分辨率的代价非常昂贵 , 所以 , 通 过软件处理提高图像中目标的定位精度成为光学测 量、 数字图像处理中的重要技术 。在计算机视觉和 模式识别领域已经有大量相关的工作来研究光斑中 心的亚像素定位问题 。然而 , 每种方法都有其优点 和缺点 ,在进行光斑识别的时候 ,适当地选择光斑中 心识别方法是非常重要的 , 它直接影响了系统的测 量精度 。 目前 ,比较常见的识别方法有质心法 、 高斯分布 拟合和椭圆拟合 、 高斯累积分布等方法 ,对于不同形 状、 大小的光斑 ,这些方法分别有着不同的性能 。
[ 3, 4 ]
图 1 一维高斯分布
( 9)
高斯分布拟合 二维高斯分布可表示为 : f ( xi , yi ) = A exp ( xi - x0 )
2
为了得到可以拟合三维高斯的函数 , 用一个椭 圆方程来替代 x。 x cos < sin < x - cx ( 14 ) = y - sin < cos < y - cy
63
式 ( 16 )是 cx , cy , a, b, < ,σ,μ的函数 。 接下来构造一个二维目标函数 T: T ( s,β , cx , cy , a, b, < ,σ,μ = 0 ) = Ω ( - E ) +β ( 17 ) s・ 这里 ,Ω是高斯分布函数 , 只能取 0 到 1 之间的 值 ; s是一个尺度因子 , 它表示的是图像灰度的范 围 。由于进行了式 ( 14 ) 的坐标变换 , 因此 μ = 0。β 是背景噪声 , 通过解方程得到背景噪声 , 可以省去光 斑图像的去噪过程 。
Abstract: This paper compares som e popular m ethods of calculating the center position of beam spot such as gray barycentric m ethod, ellip tical fitting, Gaussian distribution and cumulative Gaussian distribu2 tion. An experim ent system is established and result p roves that calculation m ethod based on cumulative Gaussian distribution p rovides high accuracy and leaves out background noise p rocessing . The app lication situations of the methods are also summarized in this paper . Key words: beam spot center; barycentric m ethod; Gaussian distribution; cum ulative Gaussian distri2 bution; ellip tical fitting
图 2 参数为 ( 255, 0, 0, 0, 4, 4, 0, 0. 3, 0 ) 时 T 的图像
图 3 参数为 ( 200, 0, 5, 4, 8, 5, 0, 0. 5, 0 ) 时 T 的图像
2 实验结果和分析
通过 M atL ab 程序随机产生一组大小约为 300 × 300 像素 ,具有不同形状 、 灰度值和中心位置的光 斑来模拟实际应用中遇到的各种采集结果 , 然后用 以上各方法求取光斑的中心坐标 。观察求取的点中 心和实际中心的误差 , 可以比较以上方法的光斑中 心定位精度 。
图 4 是通过高斯累计分布法对两种不同形状 、 灰度的光斑进行光斑中心定位的结果 。 如图 5 所示为文中介绍的几种光斑中心定位算 法的定位结果 ,在表 1 表示了利用各种算法进行中 心定位的误差 ,可以看到高斯累积分布法提供了最 为精确的中心坐标 。在测量中 , 如果采集到的图像 灰度对称性不好 ,灰度重心法将会产生更大的误差 , 这也是灰度重心法不能提供高定位精度的原因 。
几种激光光斑中心定位算法的比较
唐冠群
(北京信息科技大学 光电信息与通信工程学院 ,北京 100192)
摘 要 : 针对光斑中心定位在激光精密测量中几种光斑中心定位方法 ,建立了实验系统 , 对灰度重心法 、 椭圆中心二次拟合 、 高斯分布拟合以及高斯累积分布拟合法处理普通光斑的能力 进行了比较 。结果表明高斯累积分布法不但提供了较高了的定位精度 ,而且省去了背景噪声的处 理过程 ,加快了处理的速度 。同时给出了这些方法在实际应用中的适用条件 。 关 键 词 : 光斑中心 ; 质心法 ; 高斯分布 ; 高斯累积分布 ; 椭圆拟合 中图分类号 : TP 391 文献标识码 : A
北京机械工业学院学报 第 24 卷
特征的情况很复杂 , 例如亮背景和暗目标 、 目标和背 景的灰度值都比较高等 , 因此用灰度作为权重的应 用是有限的 。 一般来说 , 对于目标灰度值大于背景灰度值的 情况 , 权重 W ( i, j) 为 :
W ( i, j) = I ( i, j) - T I ( i, j) > T I ( i, j) ≤T
-∞
∫
1
x
π σ 2
2
-∞
exp [ ( x - μ) ∫
2
σ ] dx = /2
2
( x - μ) 1 1 ) + e rf ( 2 2 σ 2
( 13 )
其中 G ( x ) wk.baidu.com示的是高斯分布 ,σ是响应的标准 差 ,μ是期望值 。一维高斯累积分布的图像如图 1 所示 。
( 6) ( 7)
E = ∑ ( xi + 2B xi yi + Cyi + 2D xi + 2 Eyi + F )
收稿日期 : 2008 - 12 - 09 基金项目 : 北京市重点实验室 (机电系统测控 ) 开放课题 ( KF20071123206)
1 光斑的识别方法
灰度重心法 [1] 灰度重心法 可以看成是以灰度为权值的加 权型心法 。灰度图像 I ( i, j) 中目标 S 的灰度重心 ( x0 , y0 ) 为 :
E= x y 2 + 2 - 1 a b
2 2
( 15 )
σx 2
2
-
( yi - y0 )
2
σy 2
2
( 10 )
其中 , A 是幅值 ; σx , σy 是 2 个方向上的标准 差 。对上式两端取对数 , 展开平方项并整理 , 同时两 边再乘以 A, 可得下式 :
fi ln ( fi ) = ln ( A ) x0 x0