同济大学高等数学第六版第七章第九节欧拉方程

第九节 欧拉方程
欧拉方程
x y
n ( n)
第七章
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn 1 x y pn y f ( x)
( pk 为常数 )
令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
一、欧拉方程
形如
x n y ( n ) p1 x n1 y ( n1) pn1 xy pn y f ( x )

一般地， x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后，
把 t 换为 ln x ， 即得到原方程的解. 例 求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 3 x 2 的通解．
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x 2 y xy y 0; 2．x 2 y 2 xy 2 y ln 2 x 2 ln x; 3．x 2 y 3 xy 4 y x x 2 ln x .
练习题答案
C2 1．y C1 . x 1 2 1 2．y C1 x C 2 x (ln x ln x ) . 2 4 1 2 3 2 2 3．y C1 x C 2 x ln x x x ln x . 6
2
x2 即 y , 2 C2 1 2 3 所给欧拉方程的通解为 y C1 C 3 x x . x 2
1 代入原方程，得 b . 2
二、小结
欧拉方程解法思路 变系数的线 性微分方程
变量代换
x e t 或 t ln x
常系数的线 性微分方程
注意：欧拉方程的形式．
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换
x e t 或 t ln x,
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
解 作变量变换 x e t 或 t ln x,
原方程化为
D( D 1)( D 2) y D( D 1) y 4 Dy 3e 2t ,
即 或
D3 y 2 D2 y 3 Dy 3e 2 t ,
d y d y dy 2 2 3 3e 2 t . dt 3 dt dt d y d y dy 2 2 3 0, 3 dt dt dt
3 2 3 2
(1)
方程(1)所对应的齐次方程为
其特征方程
r 3 2r 2 3r 0,
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
Y C1 C2e C3e
t
3t
C2 C1 C3 x 3 . x
设特解为 y be2 t bx2 ,
xy Dy,
d 2 y dy 2 2 ( D 2 D ) y D( D 1) y , x y dt dt
d3y d2y dy 3 Fra Baidu bibliotek y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
d 2 y 1 d 2 y dy 2 2 , 2 dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 3 3 3 2 2 , 3 dx x dt dt dt
d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为