迭代法收敛理论

第三章 线性代数方程组数值解法（迭代法）

3．3 迭代法收敛性理论 1．收敛性问题 现在来研究与方程组

f

Bx x +=对应的基本型迭代公式

),2,1,0()()1( =+=+k f Bx x k k

设*x 是方程组f Bx x +=（也即b Ax =）的就解，即有

f

Bx x +=**

要研究由迭代公式f Bx x k k +=+)()1(产生的序列)(k x 当 ∞→k 时是否

收敛于*x ,4

)()(*)1((*)k k x x B x x -=-+

=)()1(*2--k x x B

=)()0(*1x x B k -+

可见当∞→k 时，是否有*)(x x k →，等价于是否有0→k B （零矩阵，

即k B 的每一个元素趋于零） 略证

根据线性代数，任何n 阶矩阵B 都存在非奇异矩阵P ，使得 JP P B 1-= P J P B k k 1-= 其中J 为B 的Jordan

标准形

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=1J J 2

J

n

n r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡=k k J J 1

k

J 2

n

n k r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i J λ 1 i λ i

i n n i ⨯⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

λ1

n n r

i i =∑=1

于是，可得

),,2,1;(0)(0)(0r i k J k J k B k

i k k =∞→→⇔∞→→⇔∞→→

这时，若设

⎢⎣⎡=λ2J ⎥⎦⎤λ1 ⎢⎢⎢⎣⎡=λ3J λ1 ⎥⎥⎥⎦

⎤

λ1 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λm J λ1 1 λ ⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤λ1

⎢⎣

⎡=k

k

J λ2

⎥⎥⎦⎤-k

k k λλ1=⎢⎣

⎡k

λ

⎥⎥⎦

⎤

-k

k k

c λλ11

⎢⎢⎢⎣

⎡=k

k

J λ3

k k k λλ1

-

⎥⎥⎥⎦⎤---k

k k k k k λλλ1

22/)1(⎢⎢

⎢⎣

⎡=k

λ k k k c λλ1

1-

⎥⎥⎥⎦

⎤--k

k k k k c c λλλ1122

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=k k

m

J λ

k

k k c λλ11-

112

2--k k k k c c λλ

⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤+--+--k

m k k m m k k m c c λλλ

2

21

1

其中

)!

(!!

m k m k c k m -=

于是又可得到

),,2,1(1)(0r i k J i k i =<⇔∞→→λ 注意到

),,2,1(1r i =<λ，即 1)(

由上面就得到下面迭代法的收敛定理。

2．收敛性基本定理

定理 3.3.1 （迭代法收敛性基本定理）设方程组为 f

Bx x +=对

任意的初始向量

)

0(x ，解此方程组的迭代法

),2,1,0()()1( =+=+k f Bx x k k 收敛的充分必要条件是迭代矩阵B

的谱

半径 1)(

注意： 此定理为判断迭代法的敛散性提供了一个强有力的手段（充分必要条件）。然而，定理的条件往往不容易验证。因此，利用特征值上界性质B B ≤)(ρ,可以给出另一个条件较弱的结果。

定理 3.3.2 （迭代法收敛性充分条件） 如果迭代法 )2,1,0()()1( =+=+k f Bx x k k 的迭代矩阵B 的某一种算子范数1≤B ，则

（1） 对任意的初始向量)0(x ,迭代法收敛； （2） 迭代序列与方程组的解*x 存在误差估计式

)

1()()(*1---≤

-k k k x x B

B x x

或

)

0()1()(*1x x B

B

x x k

k --≤

-

证明 （1）由条件1≤B 及B B ≤)(ρ从而1)(<≤B B ρ，按定理3.3.2 可知迭代法收敛。

（2）

)

()()1(*)1()(*++-+-=-k k k k x x x x x x

=)

()()(*)1()(k k k x x B x x B -+-- )

(*)1()(k k k x x B x x B -+-≤-

整理得

)

1()()

(*

1---≤

-k k k x x B

B x

x

由 )()2()1()1(----=-k k k k x x B x x 得 )

2()1()1()(----≤-k k k k x x B x x

则可得(2). 例 已知 ⎢⎣⎡3.01

⎥

⎦⎤12⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡21，讨论用J 法和GS 法求解此方程组的

收敛性。

解 把方程组写成J 迭代公式得

⎢

⎣⎡-=3.00

J B ⎥⎦

⎤-02 把方程组写成GS 迭代公式得 ⎢⎣⎡=00GS B ⎥⎦⎤

-6.02

计算解出 J B 的特征值有 6.0±=λ 计算解出GS B 的特征值有 01=λ 6.02=λ