三角函数图像与性质(课堂PPT)
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三角函数的图象与性质ppt课件

(π,-1)
,32π,0,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象和性质(下表中 k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域Leabharlann RRxx∈R,且x≠
kπ+π2,k∈Z
值域 周期性
[-1,1]
[-1,1]
R
周期是 2kπ(k∈Z, 周期是 2kπ(k∈Z, 周期是 kπ(k∈Z 且
系中画出[0,2π]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x
为
π 4
,
5π 4
,
再
结
合
正
弦
、
余
弦
函
数
的
周
期
是
2π , 所 以 原 函 数 的 定 义 域 为
x2kπ+π4≤x≤2kπ+54π,k∈Z .
解法二:sinx-cosx= 2sinx-4π≥0,将 x-4π视为一个整体,由正弦函数 y=sinx 的 图象和性质可知 2kπ≤x-4π≤π+2kπ(k∈Z),解得 2kπ+π4≤x≤2kπ+54π(k∈Z).所以定义 域为
角度 2:三角函数的奇偶性和对称性 【例 3】 (1)已知 f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)为奇函数,则φ的一个取值可以是( D )
A.π B.-π C.π D.-π
2
24
4
(2) 函 数 f(x) = sin
2x-π 6
的 对 称 中 心 为 _____k2_π_+__1π_2_,__0_(_k_∈__Z_)___ , 对 称 轴 方 程 为
___x_=__3π_+__k2_π_(k_∈__Z_)_______.
三角函数的图像与性质PPT优秀课件

85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
(1)y=2sinx , x∈[0,2π]
x y=2sinx
02 02
3
2 2 0 -2 0
解: (1)列表
(2)描点作图
Y
y=2sinx
2
y=sinx
1
0
2 X
(2)y=sin2x , x∈[0,π]
解: (1)列表 (2)描点作图
2x x yy==ssinin2xx
0 24 01
各单位长度而得到.
y
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1)
1-
与x轴的交点 2
(0,0) ( ,0) (2,0)
-
-1
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
( ,1) 3
2
5 3
11 6
2
x
图象的最低点 3
2
-1 -
简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
y
(2) 描点
1-
代数描 点
-
0
2
3 2
2
x
(3) 连线 1 -
2、思考(1):
如何用几何方法在直角坐标系中作出点 C(π,sinπ) ? 33
Y
几何描
P
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)

(
)
3 3 A.-2,2 3 3 3 3 C. - , 2 2
解析: 当 故
π π 1 π π 5π x∈0,2 时, 2x- ∈- 6, 6 , sin2x-6 ∈-2,1, 6
上是减函数 - π , 0 C.在[0,π]上是增函数,在
)
π π π π D.在2,π和-π,-2上是增函数,在-2,2 上是减函数
3.(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)=cos 2x+2sin x 的最大值与最小值 的和是 A.-2 3 C.- 2
4.求函数 y=cos x+sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值.
π 2 2 解:令 t=sin x,∵|x|≤ ,∴t∈- , . 4 2 2
∴y=-t
2
1 2 5 +t+1=-t-2 + , 4
1- 2 1 5 2 ∴当 t= 时,ymax= ,当 t=- 时,ymin= . 2 4 2 2 ∴函数 y=cos x+sin
sin 2x>0, 解析:由 2 9-x ≥0,
π kπ<x<kπ+ ,k∈Z, 2 得 -3≤x≤3.
π π ∴-3≤x<- 或 0<x< . 2 2 ∴函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x
2
π π 的定义域为-3,2 ∪0,2 .
2
π 1- 5 x通法]
1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借 助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求;
第五章第四节三角函数的图象与性质课件共63张PPT

偶__函__数__
__x_x__≠_k_π_+__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_-__π_,__2_kπ___ (kπ-π2 ,kπ+π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_+__π2_,__2_k_π_+__3_2π___ __2_k_π_,__2_k_π_+__π_ _
(1)y=sin x 在第一、第四象限是增函数.( )
(2)由
sin
π6+23π
=sin
π 6
知,23π
是正弦函数
y=sin
x(x∈R)的一个周
期.( )
(3)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数.( )
(4)已知 y=k sin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( )
答案: (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t),利用复合函数的单调性列不等式求解.(如本例(1)) (2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间. [注意] 要注意求函数 y=A sin (ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,若 ω<0, 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数.同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域.
答案: 1
3.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在0,π3 上单调递增,在区间π3,π2 上单调 递减,则 ω=________.
解析: 法一:由于函数 f(x)=sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点,由已
π 知并结合正弦函数的图象可知, 3
为函数 f(x)的14
周期,故2ωπ
__x_x__≠_k_π_+__π2__ _R_ _π _
奇__函__数__
___2_k_π_-__π_,__2_kπ___ (kπ-π2 ,kπ+π2 )
递减 区间 对称 中心 对称轴 方程
_2_k_π_+__π2_,__2_k_π_+__3_2π___ __2_k_π_,__2_k_π_+__π_ _
(1)y=sin x 在第一、第四象限是增函数.( )
(2)由
sin
π6+23π
=sin
π 6
知,23π
是正弦函数
y=sin
x(x∈R)的一个周
期.( )
(3)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数.( )
(4)已知 y=k sin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( )
答案: (1)× (2)× (3)× (4)×
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t),利用复合函数的单调性列不等式求解.(如本例(1)) (2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间. [注意] 要注意求函数 y=A sin (ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,若 ω<0, 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数.同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域.
答案: 1
3.若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在0,π3 上单调递增,在区间π3,π2 上单调 递减,则 ω=________.
解析: 法一:由于函数 f(x)=sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点,由已
π 知并结合正弦函数的图象可知, 3
为函数 f(x)的14
周期,故2ωπ
数学精华课件:三角函数的图象和性质

课堂互动讲练
跟踪训练
5π π π (2)由于区间[- , )的长度为 , 12 12 2 为半个周期. 5π π 又 f(x)在- , 分别取到函数的最 12 12 3 3 3 3 小值 -1,最大值 +1,所以函数 2 2 5π π 3 3 f(x)在区间[-12,12 )上的值域为[ 2 - 3 3 1, 2 +1).
对称性
π 对称轴l: x=kπ+ (k∈Z) 2
对称轴l: x= kπ(k∈Z)
基础知识梳理
正弦函数、余弦函数的对称中心是 正弦函数、余弦函数与x轴的交点,所以 函数y=Asin(ωx+φ)+B的对称中心就是 该函数与x轴的交点,这种说法对吗? 【思考· 提示】 不正确,应是函数y= Asin(ωx+φ)+B与直线y=B的交点.
三基能力强化
2.(2009年高考福建卷改编)函数f(x) =sinxcosx的最小值是________.
1 1 解析:f(x)=sinxcosx=2sin2x≥-2. 1 答案:-2
三基能力强化
3.(2010 年绍兴质检)关于函数 y=1+ cos2x 的图象, 下面说法正确的是________. ①关于 x 轴对称 ②关于原点对称 π π ③关于点( , 0)对称 ④关于直线 x= 对称 4 2
课堂互动讲练
考点二 三角函数的单调性
1.准确记忆三角函数的单调区间是求 复合三角函数单调区间的基础. 2.形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的 函数的单调区间, 基本思路是把 ωx+φ 看作 π π 一 个 整 体 , 由 - 2 + 2kπ≤ωx + φ≤ 2 + π 2kπ(k∈Z)求得函数的增区间, 2+2kπ≤ωx 由 3π +φ≤ 2 +2kπ(k∈Z)求得函数的减区间.
三角函数图象与性质PPT优秀课件

谢谢观赏
再见
85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时,我看着切石工人在他的石头上,敲击了上百次,而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时,石头被劈成两半。我体会到,并非那一击,而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想,因为梦想一死,生命就如一只羽翼受创的小鸟,无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术,而较不像跳舞的艺术;最重要的是:站稳脚步,为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里,确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言,快乐来自于工作,有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了,因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣,就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己;而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳,只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利,如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。--[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由,完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票,明天是张信用卡,只有今天才是现金;要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事,浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地,努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验,但适度的休息绝不可少,否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程,而是螺旋形的路径,时而前进,时而折回,停滞后又前进,有失��
第5节 三角函数的图象与性质课件

3.[思想方法]换元思想在求单调区间上的应用 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思想是把 ωx +φ 看作一个整体,比如:由 2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)解出 x 的范围, 所得区间即为增区间.若函数 y=Asin(ωx+φ)中 A>0,ω<0,可用诱导公 式将函数变为 y=-Asin(-ωx-φ),则 y=Asin(-ωx-φ)的增区间为原函数 的减区间,减区间为原函数的增区间.对函数 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx +φ)等单调性的讨论同上.
所以 2kπ<x≤π3+2kπ(k∈Z),
所以函数的定义域为x2kπ<x≤π3+2kπ,k∈Z.
3.函数 y= sin x-cos x的定义域为________. 答案:x2kπ+π4≤x≤2kπ+54π,k∈Z 解析:方法一:要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,在同一 坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.在[0,2π] 内,满足 sin x=cos x 的 x 为π4,54π,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,所 以原函数的定义域为x2kπ+π4≤x≤2kπ+54π,k∈Z.
特训点2 三角函数的单调性(师生互动类)
典例 1 (1)(2020·河北省衡水中学高三临考模拟)已知函数 f(x)的图象可看作
是由函数 g(x)=sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的,则函数 f(x)的一
个单调递减区间为( )
A.-π4,π4
B.π4,78π
C.-π8,38π
D.-58π,-π8
方法二:sin x-cos x= 2sinx-π4≥0,将 x-π4视为一个整体,由正弦函数 y =sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x-π4≤π+2kπ(k∈Z),解得 2kπ+π4≤x≤2kπ +54π(k∈Z).所以定义域为x2kπ+π4≤x≤2kπ+54π,k∈Z.
高中数学课件三角函数ppt课件完整版

2024/1/26
单调性
在各象限内,正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值,如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系,将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系,即对于某个变量或一组变量的取值范围内,无论这些变 量取何值,等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中,代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式;几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式;三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式,可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式,从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系, 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式,可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件,实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内,正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值,如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系,将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系,即对于某个变量或一组变量的取值范围内,无论这些变 量取何值,等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中,代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式;几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式;三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式,可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式,从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系, 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式,可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件,实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
三角函数的图象和性质-PPT课件

3
2
2
x
14
y
(3
2
)
1
-1
2
-2
y=2sinx, x[0, 2
]
3
2
2 x
15
10
思考:
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系? 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系?
11
y 2
1
o
2
-1
y
1
o
2
-1
y=1+sinx x[0, 2 ]
3
2
x
2
y=sinx x[0, 2 ]
y=cosx x [0, 2 ]
3
2
x
2
y=-cosx
●
3
y
●
1
●
0
2
-1
●
3
●
2
x
2
●
练习:用“五点画图法”画出正弦函数
y=sinx x∈ [0, 2 ]的图象
4
一、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+
2
)= cosx
y
y=sinx的图象
1
2 0 3 2 3
2 -1 2
2
4 5
y=cosx的图象
6 x
5
余弦函数的“五点画图法”
x [0, 2
]
12
小结:
正弦函数、余弦函数图象的五点法
练习:(1)画出函数y=-sinx x∈ [0,2π]
(2)画出函数y=1+cosx x∈ [0,2π] (3)画出函数y=2sinx x∈ [0,2π]
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质ppt课件.ppt

直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
采用PP管及配件:根据给水设计图配 置好PP管及配 件,用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ,边剪 边旋转 ,以保 证切口 面的圆 度,保 持熔接 部位干 净无污 物
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期 性是: 弦减半、切不变.
课
前 热 采用PP管及配件:根据给水设计图配置好PP管及配件,用管件在管材垂直角切断管材,边剪边旋转,以保证切口面的圆度,保持熔接部位干净无污物
身
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
要特别注意, 若由 或向右平移应平移 |
y=s| i个n(单x位) 得. 到
y=sin(x+)
的图象,
则向左
采用PP管及配件:根据给水设计图配 置好PP管及配 件,用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ,边剪 边旋转 ,以保 证切口 面的圆 度,保 持熔接 部位干 净无污 物
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(xR) 是奇函数, 对称中心是 (k, 0)(kZ), 对 对称称轴 中是 心直 是线(kx+=k2,+0)2(k(kZZ),);对余称弦轴函是数直y线=coxs=xk(x(kR)Z是)(偶正函, 数余,
1、 解:(1) m n 2 3sin xcos x 2cos2 x
作函数
y
2
s
in(1
x
3
)
的图象,并说明图象可
由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换得到.
三角函数的图像与性质课件PPT

正解:因为 x∈π6,π,所以借助函数 y=sin x 的图象可知, 此时 0≤sin x≤1.于是由 sin x=2m-1,得 0≤2m-1≤1,解得 m 的取值范围12≤m≤1.
纠错心得:三角函数的取值范围与定义域有关,因此,在求解 有关范围问题时,一定要先看清定义域,再由定义域推得三角函数 的取值范围,最后求出正确答案.
思路点拨:要使函数有意义,则 sin x>0 且 25-x2≥0,即 sin x>0 且-5<x<5,结合图象求出在区间(-5,5)上满足 sin x>0 的 x 的取值范围,即原函数的定义域.
解: 使函数有意义的条件是s2i5n-x>x2≥0,0, 记 sin x>0 的 x 取值为 集合 A,25-x2≥0 的 x 取值为集合 B,则 A=(2kπ,2kπ+π),k∈Z, B=[-5,5].用图象表示如下:
小结 为了突出函数的这个特性,我们把函数f(x)=sin x称为周 期函数,2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).
思考3 正弦函数y=sin x的周期是否唯一?正弦函数y=sin x 的周期有哪些? 答 正弦函数y=sin x的周期不止一个. ±2π,±4π,±6π,… 都 是 正 弦 函 数 的 周 期 , 事 实 上 , 任 何 一 个 常 数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现 其理论依据是什么? 答 诱导公式sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整 数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律.
思考2 设f(x)=sin x,则sin(x+2kπ)=sin x可以怎样表示?把函数 f(x)=sin x称为周期函数,那么,一般地,如何定义周期函数呢? 答 f(x+2kπ)=f(x)(k∈Z)这就是说:当自变量x的值增加到x+2kπ 时,函数值重复出现. 一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y= f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.
1.4《三角函数的图像和性质》课件ppt

-
x
余弦函数y=cosx =sin(x+ ) 由y=sinx 2 y=cosx
左移
2
y=cosx y=sinx
余弦曲线
回忆描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?
(1)列表 y sin x, x 0, 2 π
x
y
π π 0 6 3 1 0 2 23
y 1
π 2
1
2π 5π 3 6 3 1 2 2
知识储备
(1)三角函数定义:
y sin x ( x R) y cos x ( x R)
(2)正弦线 、余弦线
y P
T
——正弦函数 ——余弦函数
三角函数线
cos=OM
三角函数 正弦函数 sin=MP
x
正弦线MP 余弦线OM
-1
O
M
A(1,0)
余弦函数
注意:三角函数线 是有向线段!
1.描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的? (1)列表 y sin x, x 0, 2π
x
y
π π 0 6 3 1 0 2 23
y 1-
π 2
1
2π 5π 3 6 3 1 2 2
π
0
7 π 4 π 3 π 5 π 11π 6 3 2 3 6 1 1 3 3 2 2 1 2 2
π
0
7 π 4 π 3 π 5 π 11π 6 3 2 3 6 1 1 3 3 2 2 1 2 2
2π
0
(2) 描点
π 2
0
π
1
-
3π 2
-
2π
-
x
三角函数解三角形三角函数的图像与性质课件理ppt

表达式
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
适用情况
已知两边及其中一边的对角
求解内容
根据已知条件,利用正弦定理可以求解出三角形的三个边 长
利用余弦定理求解三角形
总结词:余弦定理是求解三角形边长及角度的公式, 适用于已知三边的情况。
2023
三角函数解三角形三角函 数的图像与性质课件
目 录
• 引言 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角形解法及应用 • 习题及答案 • 总结回顾
01
引言
课程概述
课程背景
介绍三角函数在数学、物理、工程等学科中的应用背景,以 及在解三角形和解决实际问题中的重要性。
详细描述
正切函数的习题通常会涉及到一些高级的概念和计算方法,需要掌握一些较为复杂的技巧和方法,同时需要运用多个知识 点进行综合解题。
举例
例如求$y=tan(x+5)$的定义域、值域、单调区间、对称轴以及周期等,需要运用到一些三角函数的恒等变换和化简方法。
07
总结回顾
重要知识点回顾
正弦、余弦、正切等函数的定义及表达式; 三角函数的图像及特征,包括振幅、相位、频率等;
正弦函数的值域为[-1,1],周期 为2π。
正弦函数是奇函数,图像关于原 点对称。
正弦函数在[π/2+2kπ,π/2+2kπ]区间内单调 递增,在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ] 区间内单调递减,其中k为整数 。
三角函数的诱导公式
公式一
公式二
sin(x)=cos(π/2-x)。
sin(π/2-x)=cos(x)。
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D.2sin
2x-π 3
+1
2、将函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,
纵坐标不变,再向右平移π个单位长度可得 6
π
2
y=sin x 的图象,则 f 6 =________. 2
方法总结
在利用图象求三角函数 y=Asin(ωx+φ)的有关 参数时,注意从图中观察振幅、周期,即可求出 A、 ω,然后根据图象过某一特殊点来求 φ,若是利用零 点值来求,则要注意是 ωx+φ=kπ(k∈Z),根据点在 单调区间上的关系来确定一个 k 的值,此时要利用数 形结合,否则易步入命题人所设置的陷阱.
三角函数的图像与性质
高考预测
1.高考对三角函数图象的考查主要包括三个方 面:一是用五点法作图,二是图象变换,三是已 知图象求解析式或求解析式中的参数的值,以选 择题或填空题的形式考查.
2.高考对三角函数性质的考查是重点,以解答 题为主,考查y=Asin(ωx+φ)的周期性、单调性 、对称性以及最值等,常与平面向量、三角形结 合进行综合考查,试题难度属中低档.
由 2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z,
26
2
得 kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z.
3
6
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ-π3,kπ+π6 ,k∈Z.
(2)因为
x∈
0,π 2
,所以
2x+π6∈
π,7π 66
,
则-12≤sin
2x+π 6
≤1.
所以 f(x)在 0,π2 上的取值范围是 -12,1 .
63
[探究 2] 若函数 f(x)的图象向左平移 θ(θ>0)个单
位,得到 F(x)的图象.若 y=F(x)的图象的一个对称中心
为71π2,0,则 θ 的最小值是多少?
解:f(x)=
33sin
2x+π 6
向左平移θ个单位得
y=
33sin
2
x+θ
+π 6
=
33sin
2x+2θ+π6
,
即 F(x)= 33sin 2x+2θ+π6 .
学习目标
1.理解并熟记三角函数的图像与性质。 2.会运用图像与性质解决相关问题。 3.掌握数形结合与整体转化思想方法。
复习提问(根据图像说出性质)
在确定正弦函数y=sinx在[0, 2π]上的图象形状时,
起关键作用的五个点是 __( 3_π2__, _1_) , __(_2_π_,_0_)__.
在[0,π]上恰有两个零点,若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零 点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值 为 4π+11π=59π.
12 12
方法总结
研究三角函数的性质的两个步骤 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式 把待求函数转化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函 数性质求 y=Asin(ωx+φ)+B 的单调性及奇偶性、最值、 对称性等问题.
合作探究(性质问题)规范解答
例题:设函数 f(x)=sin(2x+π)+ 3sin2x- 3cos2x.
33
3
(1)求 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;
(2)求
f(x)在区间
-π,π 63
上的值域.
[探究 1] 在本例条件下,讨论函数 f(x)在-π6,π3上
的单调性.
解 : 当 x [ , ]时 ,2 x [ , 5 ] ,
63
6
66
所 以 当 2 x ,即 x 时 ,
6
62
6
6
f ( x)单 调 递 增 ;
当 2 x 5 ,即 x 时 , f ( x)单 调 递 减 。
2
66
6
3
故 函 数 f ( x )在 [ , ]上 单 调 递 增 ;
66
在 [ , ]上 单 调 递 减 。
向上平移
3 6
个单位,得函数
h(x)的图象,若函数
y=
h(x) 在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.
解:函数 f(x)= 33sin
2x+π6
向右平移 π 个单位得 12
y=
33sin
2x,然后再向上平移
3个单位,得 6
h(x)=
33sin
2x+
63.
令 h(x)=0,则 x=kπ+71π2或 x=kπ+1112π(k∈Z).所以
y ycox,sxR
2
o 2
3 2
x
ytanx,xk
2
y
3
2
2
o
2
x 3
2
指导自学(图像问题)
1、已知函数
f(x)=Asin(ωx+φ)+b
A>0,-π<φ<0,ω>0 2
的部分图象如图所示,则 f(x)=( D )
A.3sin 2x+π3 -1
B.2sin
2x+π 3
-1
C.3sin 2x+π3 +1
__( _0 _, 0_)__
,
__(_π2_,_1_) _
,
__(π__, 0_)__,
y
ysixn,xR
o
π
2π x
在确定余弦函数y=cosx在[0,
起关键作用的五个点是 __(_0_,_1_) _ , __(_3π2__, _0 )_ , __(_2_π_,_1_)__.
_2_π(_π]2上_,_0的_) _图, _象_(π_形,__状1_)_时, ,
回顾总结
本节的学习,同学们要注意对以下思想方法的应用.
目标检测 1.已知函数y=Acos( x+φ)(A>0)
2
在一个周期内的图象如图所示,
其中P,Q分别是这段图象的最高点
和最低点,M,N是图象与x轴的交
点,且∠PMQ=90°,则A的值为
3 ____.
目标检测
2.已知函数 f(x)= 3sin ωx-sin2ωx+1(ω>0)的最小
2
22
正周期为π.
(1)求ω的值及函数 f(x)的单调递增区间;
(2)当 x∈ 0,π2 时,求函数 f(x)的取值范围.
解:(1)f(x)= 3sin ωx-1-cos ωx+1= 3sin ωx+
2
2
22
12cos
ωx=sin
ωx+π 6
,因为
f(x)最小正周期为π,
所以ω=2,于是 f(x)=sin 2x+π6 .
因为函数 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令 2x+2θ+π6=kπ,解得 x=k2π-1π2-θ.
又函数
y=F(x)的图象关于
7π,0 12
对称,
令kπ- π -θ=7π,解得θ=kπ-2π.
2 12 12
23
由θ>0 可知,当 k=2 时,θ取最小值π. 3
[探究 3] 若函数 f(x)的图象向右平移1π2个单位,再