高中数学曲边梯形的面积与定积分

作和式In=
f ( )x
i 0 i
n 1
i
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，来自记作ab
f ( x )dx
其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分 的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时 称f(x)在区间[a，b]上可积。
2
1 1 1 1 lim Sn lim (1 )(2 ) 由此得到S= x 0 x 0 6 n n 3
从图形上看，当n越来越大时，划分的 越来越细，阴影部分飞面积与曲边梯形 的面积相差越来越小，当n→+∞时，阴影 部分趋近于曲边三角形，因此可以将极 1 限值 视为此曲边三角形的面积。
3
例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成 正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长 量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
b 将[0，b] n等分，记△x= n ， 2b b 分点依次为x0=0，x1= ，x2= n ,……， n (n 1)b
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n
y
1
x O
1
解：将区间[0，1]等分成n个小区间，
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n
y
1
过各分点作x轴的垂线， 把曲边梯形分成n个小曲 边梯形，再分别用小区间
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 0 ,( ) ,( ) , n n n n n
2
n 1 2 1 ,( ) , n n
kb 2 n(n 1) kb 2 1 2 (1 ) n 2 2 n
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.
一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1
xi 1 xi
xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，…，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
1. 曲边三角形或梯形的面积
f ( xi ) x S= nlim
i 0 n 1
2.克服弹簧拉力的变力所做的功
f ( xi ) x W= nlim
i 0 n 1
类似地问题还很多，它们都可以归结为 求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦 心研究，得到了解决这类问题的一般方法。 求函数的定积分。
1.4.1曲边梯形的面积与定 积分
我们知道，任一多边形都可以分割成一 些三角形，通过计算这些三角形面积的和， 就可以得到这个多边形的面积，是否可以 使用类似的方法计算由曲线围成的区域的 面积呢？下面我们举例研究这个问题.
例1．求曲线y=x2与直线x=1，y=0所围 成的区域的面积。
解：将区间[0，1]等分成n个小区间，
n 1 2 1 ( ) n n
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 Sn 0 ( ) ( ) n n n n n
2
1 2 2 3 [0 1 22 n 1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
1 n(n 1)(2n 1) (n 1) ] 3 n 6
xn－1=
n
，xn=b，
当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约
b 为kxi，所做的功△W≈kxi· △x= kxi n
则从0到b所做的总功W近似地等于
ib b kb Wi k 2 [0 1 2 n n n i 0 i 0
n 1 n 1 2
(n 1)]
利用积分的定义，前面提到曲边梯形 b 面积可简洁的表示为 f ( x)dx
a
1 于是例1的结果可以写作 S 0 x dx 3
1 2
例2中克服弹簧拉力的变力所做的功
kb W kxdx 0 2
b 2
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是一条 连续的曲线，它与直线y=0，x=a，x=b所 围成的曲边梯形的面积客观存在，则f(x) 在[a，b]一定是可积的。